高中数学学案2：高中数学人教A版2019必修 第一册 n次根式与分数指数幂

高中数学第一册[新教材]人教A版(2019)必修一

第四章

4.1.1n次方根

【学习目标】

1.理解〃次方根及根式的概念，掌握根式的性质.

2.能利用根式的性质对根式进行运算.

【核心素养】

1.理解〃次方根及根式的概念，掌握根式的性质.

2.能利用根式的性质对根式进行运算.

核心概念掌握

【知识导学】

1.根式及相关概念

(Da的〃次方根定义

如果k=a,那么x叫做a的〃次方根，其中〃>1,且A£N*.

(2)a的〃次方根的表示

①当〃为奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数,

这时，a

的〃次方根用符号板表示.

②当〃为偶数时，正数的〃次方根有两个，它们互为相反数，这时，这个数的

n次方根可

以合写成土f(a>0).

③负数一没有偶次方根，零的任何次方根都是零

(3)根式:式子名叫做根式，这里〃叫做根指数，a叫做被开方数.

2.根式的性质(〃>1,且〃WN*)

(1)〃为奇数时，y[an=a.

(2)〃为偶数时，^'=\a\=[-a'。；

I—5,3<0.

⑶m=0.

(4)负数没有偶次方根.

3.分数指数幕

一然的，我们规定：

(if=廊(a>0,m,77EN*,/?>!)；

，、叫1

(2、〃=——:=(a>0,m,〃£N*,z?>l).

in

Qn

4.有理数指数事的运算性质

⑴a0,ns£Q).

⑵(a丁=贵(办0,r9sGQ).

【名师点拨】

1.曾与(金)”的区别

(1)胞是实数H的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制,

但这个式子的值受〃的奇偶限制.其算法是对a先乘方，再开方(都是〃次)，

结果不一定等于a,当〃为奇数时，置=a；当〃为偶数时，^"=\a\=

a,a20,

*

、一H,水0.

(2)(缶)"是实数a的〃次方根的n次累，其中实数a的取值范围由n的奇

偶决定.其算法是对a先开方，后乘方(都是〃次)，结果恒等于a

2.分数指数幕的理解

(1)分数指数累是指数概念的又一推广，分数指数累a0不可理解为幺个a

n

相乘，它是根式的一种新的写法.在这样的规定下，根式与分数指数暴是表示

相同意义的量，只是形式不同而已.

(2)把根式跖化成分数指数毒的形式时，不要轻易对孤行约分.

3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数累，如（―5）

23

3="~一5」有意义,但（-5）4=寺~一5'就没有意义.

【初试身手】

1.（2020•浙江高一课时练习）化简的结果是（）

A.3B.6C.一立D.-73

33

【答案】A

【解析】先计算小括号里面的，然后化简负分数指数累.

原式=3-5=正.故选A.

3

2.（2020•全国高一专题练习）下列命题中正确的个数为（）

①技=4,②aeR，则+③亚行'=④g=,（—5）2

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

①当〃为偶数时，^=\a\,①错误；

②当aeR时，a2-a+\^O>则_g+1）。=i,②正确；

4

③外=^7・y=次7,③错误；

④小了=疗=指，④错误

故选3

3.用根式的形式表示下列各式（於0）：

13

o5o4

①a=；②a=；

_3_2

③a5=；④a3=.

答案①%②瑞断二0L

75ac73「a

4.(2020•全国高一课时练习)而-犷+也叫5的值是.

【答案】0或2(a—8)

[解析]而工?+,(。_域Ra—引+(ai)=<2'(。询,。〉丁

故答案为：0或2(0一6).

5.若〃为偶数时，勺x—1〃=x—1,则x的取值范围为一

答案后1

【重点学习四种题目类型】

类型一

根式的概念、求值、化简

例1.求下列各式的值.

(1)[(-2)\(2)1(-3),

7

(3)yj(3—JT)；(4)y[^—2xy+~^+yl~(y—x).

答案.：(1)-2⑵ml⑶K-3.⑷([0,⑶x^一y,)

解析：（1）勺Q___（___—____2__）____.一2.

（2）勺（-3）2=弱=近

8

(3)y/(3—JI)=13—n|=n—3.

(4)原式=yj(x—y)'+y—x=\x—y\+y—x.

当xeyO寸，原式=矛一y+y—x=0；

当xVy时，原式=y—x+y—x=2(y—x).

0,

所以原式=

2(y—x),x<y.

［方法技巧］

1.判断关于〃次方根的结论应关注的两点

（1）〃的奇偶决定了〃次方根的个数；

（2）〃为奇数时，a的正负决定着〃次方根的符号.

2.正确区分,与（缶）"

（1）（缶）〃已暗含了缶有意义，据〃的奇偶性可知a的范围;

（2）胃中的a可以是全体实数，的的值取决于n的奇偶性.

［变式训练］

1.（2020•全国高一课时练习）化简：J（万一4）2+＜（乃一4）3=

【答案】0.

【解析】

J（万-4）+（（5-4）、=|乃一4|+（万一4）=（4-万4）=0.

2.(2020•浙江高一课时练习)当8<x<l()时，向二8了+&%-10)2

【答案】2

【解析】

V8<x<10,Ax-8>0,x-10<0,

••yj(x—8)~+-10)-=|x-8|+|x—1O|=(x-8)+(10-x)=2.

故答案为：2

_________Q_________

3.若y/(2a—1)(1—2a)1则实数a的取值范围为.

答案：(一8，T

_________3_________

解析：(2a—1)—|2a—11,yj(1—2a)=1—2a.

因为|2a—11=1—2a,

故2a—IWO,所以aWg.

类型二

根式与分数指数幕的互化

例2.把下列根式表示为分数指数幕的形式，把分数指数幕表示为根式

的形式：

3

(1)(a—Z>)4(a>Z?)；(2)(ab)；

3________.i之

(3)N(xT)5；(4)---；(5)(a—Z?)7.

3r-,

2

125--

答案：⑴----------(2)(ab)5.(3)(%-1)3.(4)a3(5)

yj(a­Z?)3

7

(a-b)3

解析:

_3

⑴(i4=——-——

yj(a-b)3

5(______:2

(2)yj(ab)=(aLi)5.

3________.g

(3)7(x—1)”=(x—1)3.

_7；----------；

(5)(a一b)7=#(a—6)1

［方法技巧］

根式与分数指数累互化依据

(1)在解决根式与分数指数幕互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幕

min

的转化式子：an=加和an=-=—,其中字母a要使式子有意义.

-nj-*

n7a

(2)将含有多重根号的根式化为分数指数累的途径有两条：一是由里向外化

为分数指数毒；二是由外向里化为分数指数幕.

［变式训练］

(2020•全国)设u>0,表示成分数指数累的形式,其结果是

【答案】/

【解析】

a1a22-1-,

•.•〃>(),.../11=a=".

\la-\la202b3

故答案为：

类型三

利用指数幕的性质化简求值

翻⑶计算下列各式(式中字母都是正数)：

⑴阊+2”85-(0.01严;

2

⑵阊：。.…图23.。+条

(3)(a-2/？-3)•(一4/6+(您-%%)；

(4)2\[a~4-4^/a•b,3yj^.

]63--

答案：(1)77(2)100.(3)—3a(4)X寇西

io6cZ

解析：

⑴原式=i+H3M献=i+e=16

T?

,2

⑵原式=母声阖2+圜3—3+条=5937

f+100+——3+—=100.

31648

⑶原式=一4二-+中+=(12/6%)

一(LT-T

1T

=—逆C

O

a

=一瓦.

(4)原式=2a3+4

1211(3)

=5%获,^6飞司

311

=］a2b3.

［方法技巧］

（1）进行指数幕的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数塞，

化小数为分数，同时兼顾运算的顺序.

（2）在明确根指数的奇偶（或具体次数）时，若能明确被开方数的符号，则可

以对根式进行化简运算.

（3）对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数塞的形式表示.

［变式训练］

（2020•云南省泸西县第一中学高一月考）计算：

_17L

(1)0.0643-(--)°+[(2-^)2]2+16-0-75；

8

（2）限0疗.它.

3

【答案】（1）（2）1

O

【解析】

（1）原式=（总JT+（~2）+（2于=［儒）［+万-3+2-"1+1+（

(2N节(9丫

a2-a2a2

(2)原式------4=1^=3=1

(_2a

a3.a3a3

7

类型四

条件求值问题

1

1-

232

CW4］已知亚+x=求广E的值.

1

,--

23

【解】因为应+x-

1-1

所以(应+x2)2=9,

所以(无产+2叔2+(T2>=9,

所以X+2+/T=9,

所以x+x~'=7,

21

所以原式=H=曰

7+35

［方法技巧］

条件求值问题的解法

(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如

平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法.

(2)利用整体代换法解决分数指数暴的计算问题，常常运用完全平方公式及

其变形公式.

［变式训练］34.(2020•全国)已知j+.W求下列各式的值：

(1)(2+a1；(2)a?+a-.

【答案】⑴3；(2)7.

【解析】

(1)，+/=有平方得。+2+1=5,

:.a+a=3;

（2）由（1）a+a'=3,平方得/+2+。以=9,

:.a2+a~2=7.

课堂小结

1.注意的同（表）"的区别.前者求解时，要分〃为奇数还是偶数，同时

要注意实数a的正负，而后者（缶）"=a是恒等式，只要（名）"有意义，其值恒

等于a.

2.一个数到底有没有〃次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是

负数，还要分清〃为奇数或偶数这两种情况.

3.对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数累，这样可以方便使用

同底数幕的运算律.

4.解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”.

课堂达标检测

1.（2020•全国高一课时练习）已知炉=6,则x等于（）

A.76B.逐C.一灰D.土"

【答案】B

【解析】

因为X、=6，故可得X=>/6.

故选：B.

1

2.（2020•浙江高一课时练习）函数y=（如2+4尤+加+2户的定义域是全

体实数，则实数用的取值范围是（）.

A.(6-1,2)B.(75-l,+oo)

C.(-2,2)D.(-1-A-1+V5)

【答案】B

【解析】

函数+4x+根+2)*=J——鼻----------------------

'7'mx+4x+m+2

因此，要使函数y=(蛆2+4x+/〃+2)T的定义域为全体实数，

需满足加？+4%+m+2>0对一切实数都成立

叫f4m2>—04小+2)<0解-得〃厂

故选：B