高中数学各章节基础练习立体几何基础题

立体几何基础A组题

一、选择题：

i.下列命题中正确命题的个数是()

⑴三点确定一个平面

(2)若点P不在平面a内，A、B、C三点都在平面a内，则P、A、B、C四点不在同一平面内

⑶两两相交的三条直线在同一平面内

⑷两组对边分别相等的四边形是平行四边形

A.OB.lC.2D.3

答案：A

2.已知异面直线。和b所成的角为50。，P为空间肯定点，则过点P且与a、人所成的角都是30。的直线条数有

且仅有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

答案：B

3.己知直线/_!_平面a,直线mu平面夕，下列四个命题中正确的是()

(1)若a〃/，贝(2)若贝”〃加

(3)若/〃6，则(4)若Um,则a〃尸

A.⑶与(4)B.(1)与(3)C.(2)与(4)D.(1)与(2)

答案：B

4.已知巾、”为异面直线，，wu平面a,nu平面/7,=则/()

A.与优、”都相交B.与，"、〃中至少一条相交

C.与相、”都不相交D.至多与加、w中的一条相交

答案：B

5.设集合｛直线｝,｛平面｝,C=AU8，若aeA,h&B,c&C,则下列命题中的真命题是

()

cllbalh

A.>na_LcB.>=>Q〃C

aLbh±c

a//b]a//h]

C.nallcD.

ciihcLb

答案：A

6.已知a、人为异面直线，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且，，则直线6所成的角为

()

A.90°B,60°C.45°D.30°

答案：A

7.下列四个命题中正确命题的个数是()

有四个相邻侧面相互垂直的棱柱是直棱柱

各侧面都是正方形的四棱柱是正方体

底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

A.1个B.2个C.3个D.0个

答案：D

8.设｛正四棱柱｝，｛长方体｝，｛直四棱柱｝,｛正方体｝,则这些集合之间关系是

()

六三半望京茎mwm望茎望

答案：B

9.正四棱锥P一中，高的长是底面长的,，且它的体积等于W。?？，则棱与侧面之间的距离是

23

（）

A.42cmB.2cmC.1cmD.——cm

2

答案：A

10.纬度为a的纬圈上有A、B两点，弧在纬圈上，弧的长为成cosa（R为球半径），则A、B两点间的球面

距离为（）

A.咸B.Qr-a）RC.Q兀-a）RD.（兀一2a）R

答案：D

11.长方体三边的和为14,对角线长为8,则（）

A.它的全面积是66B.它的全面积是132

C.它的全面积不能确定D.这样的长方体不存在

答案：D

12.正四棱锥P-的全部棱长都相等，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值等于

（）

答案：D

13.用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.一般平行四边形

答案：B

二、填空题：

14.正方体ABCO-AgGQ中，E、F、G分别为、、।的重点，则与所成角的余弦值为

答案：—

15.二面角a-a一夕内一点P到两个半平面所在平面的距离分别为2行和4,到棱a的距离为4后，则这个二

面角的大小为

答案：75。或165。

16.四边形是边长为a的菱形，ZBAD=60°,沿对角线折成12（T的二面角A——C后，与的距离为

V3

答案:——a

4

17.P为120P的二面角a—a—/?内一点，P到a、夕的距离为10,则P到棱〃的距离是

20V3

答案:

3

18.如图：正方形所在平面与正方形所在平面成60。的二面角，则异面直线与所成角的余弦值是

V2

答案：—

DC

19.已知三棱锥P一中，三侧棱、、两两相互垂直，三侧面与底面所成二面角的大小分别为①则

cos2a+cos2（3+cos2y=

答案：1

20.若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体，则其体积的值是（只需写出一个可能的值）。

答案:—或吗

o1212

21.三棱锥P一的四个顶点在同一球面上，、、两两相互垂直，且这个三棱锥的三个侧面的面积分别为后，

则这个球的表面积是

答案：18万

三、解答题：

22.已知直线a_La,直线4_1_直线〃，h<zoc,求证：blla

答案：略

23.如图：在四面体中，平面BCD,,ZBCD=90°,ZADfi=30°,E、F分别是、的中点。（1）求

证：平面_L平面；（2）求平面和平面所成的锐二面角。

arctan也

答案：（1）略；（2）

3

27.如图所示：已知所在的平面，是OO的直径，C是。O上随意一点，过A作AELPC于E,求

证：平面P5C答案：略

AGB

24.已知正方体一A1B1C1D1的棱长为〃，求异面直线BiC和।间的距离。

.V6

答案：—-

6

25.如图：正方体一AiBCiD］的棱长为。，E、F、G分别是、1、BC的中点，求异面直线与A】F的距离。

26.矩形中，6,26,沿对角线将AABO向上折起，使点A移至点P,且P在平面上射影位0,且0在上，

(1)求证：PDLPC：

(2)求二面角P——C的平面角的余弦值；

(3)求直线与平面所成角正弦值。

_171

答案：(1)略，(2)(3)—

33

28.已知：空间四边形中，。、N分别为和的中点，设和所成的角为a,求cosa的值。

…2

答案：一

3

29.己知：正三棱锥S一的底面边长为a,各侧面的顶角为3()。，D为侧棱的重点，截面ADEE过D且平行于,

当ADEF周长最小时，求截得的三棱锥S一的侧面积。

答案：------a2

8

30.在四面体A一中，5,245,求该四面体的体积。

答案:8

立体几何基础B组题

一、选择题:

1.在直二面角a—一夕的棱上取一点P,过P分别在a、用两个平面内作与棱成45°的斜线、，则NCP。的

大小为（）

A.45°B.60°C.12（FD.60°或120°

答案：D

2.假如直线/、机与平面a、夕、y满意：I=BCy，IHa,mua和m_L/,贝U必有（）

A.a-L/且/J_/nB.a工yAm//。

C.m/i0且,11mD.a〃〃且a_L7

答案：A

3.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案：D

4.如图：在多面体中，已知是边长

3

为3的正方形，，EF=-,与面的距

2

离为2,则该多面体的体积为（

9八,15

A.—B.5C.6D.—

22

答案：D

5.假如一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是

()

A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系不确定

答案：D

6.已知球的体积为361，则该球的表面积为（）

A.9万B.12〃C.24万D.361

答案：D

7.已知MN//a,M|Aua,且NA1MN,若MN=2,M,A=3,NA=4则M|N等于

（）

A.屈B.5C.4V3D.2713

答案：A

8.异面直线a、人成60°角，直线c_La,则直线。与c所成角的范围是（）

A.[30°,90°]B.[60°,90°]C.[60°,120°]D.[30°,120°]

答案：A

9.一个三棱锥，假如它的底面是直角三角形，则它的三个侧面（）

A.至多只有一个是直角三角形B.至多只有两个是直角三角形

C.可能都是直角三角形D.必定都是非直角三角形

答案：C

10.如图：在斜二棱柱一AiBiCi的底面AABC中,Bi

ZA=90°,KBCX±AC,过Ci作G”，底面，

垂足为H,则点H在（

A.直线上B.直线上

C.直线上D.A4BC内部

答案：B

SE_BF_SG_I

11.如图：三棱锥S—中，~EA~~FS~~SC~2则截面把三棱锥分成的两部分的体积之比为

()

A.1:9B.1:7C.1:8D.2:25

12.正四面体内随意一点到各面的距离和为一个常量，这个常量是（）

A.正四面体的一个棱长B.正四面体的一条斜高的长

C.正四面体的高D.以上结论都不对答案：C

13.球面上有三点A、B、C,每两点之间的球面距离都等于大圆周长的过三点的小圆周长为4%,则球面面

6

积为（）

A.16万B.24打C.32万D.48万答案：D

二、填空题：

14.a、夕是两个不同的平面，丸〃是平面a与尸之外的两条不同直线，给出四个论断:

①加_L〃②。，/?③“_1_夕④〃?_La以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论,

写出你认为正确的一个命题是答案：②③④=①或①③④0②

15.关于直角在平面a内的射影有如下推断：①可能是0。的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角;

⑤可能是180°的角，其中正确推断的序号是

（注：把你认为是正确推断的序号都填上）答案：①②③④⑤

16.如图所示：五个正方体图形中，/是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出/_L

面的图形的序号是

①②③

答案：①④⑤

17.如图：平面。〃平面尸平面且夕在a、7之间。若a和夕的距离是5,4和/的距离是3,直线/和a、

夕、/分别交于A、B、C,12,则，

答案：”或2

22

18.已知三条直线两两异面，能与这三条直线都相交的直线有条。

答案：多数

19.一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为（写

出一个可能值）答案：也或乖或直

241212

20.正三棱锥两相邻侧面所成角为a,侧面与底面所成角为p，则2cosa+cos2尸

答案：一1

21.正四面体的四个顶点都在表面积为36万的一个球面上，则这个正四面体的高等于

答案：4

22.如图所示：AIBICIDI是长方体的一个斜截面，其中4,3,尸12,尸5,则这个几何体的体积为

答案：102

三、解答题:

23.已知平面1平面夕，、是夹在夕间的两条线段，A、C在a内，B、D在月内，点E、F分别在、上,

且AE:EB=CF:FD=m:n,求证：EFUa

24.在底面是直角梯形的四棱锥S—中，ZABC=9CP,SAL面ABC。，1,AD=-,（如图）,

2

（1）求四棱锥S一的体积；（2）求面与面所成二面角的正切值。

_1V2

答案：（1）yS-ABCD=1（2）—

25.从二面角a—MN一尸内一点A分别作，平面a于B,，平面夕于C,已知3,1,NABC=60°,求：

（1）二面角a—MN—4的度数；（2）求点A到棱的距离。

答案：（1）1209,（2）-721

3

26.如图：在棱长为a的正方体O4BC—O'AR'C'中，E、F分别是棱、上的动点，且，（1）求证：AF1CE；

（2）当三棱锥目的体积取得最大值时，求二面角的大小。

答案：（1）略，（2）arctan2近

27.已知正四棱柱一AIBIGDI，1,产2,点E为I中点，点F为1中点（如图），（1）证明为i与i的公垂线；（2）

求点Di到面的距离。

2-73

答案：（1）略，（2）——

3

28.如图：在直三棱柱一AIBIG中，底面是等腰直角三角形，NACB=90°,侧棱尸2,D、E分别是।与A|B

的中点，点E在平面上的射影是AABO的重心G。

（1）求AiB与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求点Ai到平面的距离。

276

答案：(1)arcsin—,(2)

3亍

29.如图：三棱柱043-OA3,平面。_L平面，ZOOB=60°,ZAOB=90°,且尸2,退，求：

1111

（1）二面角01——O的大小；

（2）异面直线AiB与।所成角的大小。（上述结果用反三角函数值表示）

答案：（1）arctanV7,（2）arccos—

7

30.，矩形所在平面，连，，，求证：ZPBD+ZBPC<9Q°,如图。

31.长方形纸片，4,7,在边上任取一点E,把纸片沿折成直二面角，问E点取何处时，使折起后两个端点B、

D之间的距离最短？

答案：当4时，的最小值为J方

32.如图：ABCD内接于直角梯形AiA2A3D,已知沿AfiCD三边把入4出。、AA2BC,AA3C。翻折上去，恰

好使Ai、A2>A3重合成A,

（1）求证：AB_LCD；（2）若A。=10,A,A2=8,求二面角A---B的大小。

VF7

答案：（1）略，（2）arctan----

8

32.如图：四棱锥P一中，底面为矩形，，平面，，E、F分别为、的中点。（1）求证：，平面；（2）设后，求

与平面所成的角的大小。

p

答案：(1)略，(2)arcsin—

6

33.在三棱锥P一中，、的长度分别为〃、b,与两条异面直线间的距离为力，且与所成的角为求三棱锥P一

的体积。答案：-abhsmO

6

34.如图所示：四棱锥P一中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是面积为2石的菱形，ZADC

为菱形的锐角，M为的重点，

(1)求证：PA±C£＞；

(2)求二面角P——D的度数;

(3)求证：平面_L平面；

(4)求三棱锥C一的体积。

答案：(1)略，(2)45°,(3)略，(4)-

2

35.如图所示：直三棱柱一AIBCI中，产2,ZACB=9CP,E为।中点，ZA,DE=90°,

(1)求证：J■平面An；

(2)求二面角C—AiE—D的大小;

(3)求三棱锥Ai一的体积。

答案：(1)略,(2)45°,(3)1

A,C,

36.如图所不：已知在斜三棱柱一A|B|C|中，，D为的中点，平面AiBiGJ_平面1A”异面直线।与1相互垂直。

（1）求证：।J■平面A,；

（2）若।与平面向的距离为1,A、C=后，A与=5,求三棱锥4一AC。的体积。

立体几何基础C组题

一、选择题：

1.过空间任一点作与两条异面直线成60°的直线，最多可作的条数是（）

A.4B.3C.2D.1

答案:A

2.用一块长方形钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有下列四种不同的规格（长x宽

的尺寸如各选项所示，单位均为m）«若既要够用，又要所剩最小，则应选择钢板的规格是

（）

A.2x5B.2x5.5C.2x6.1D.3x5

答案：C

3.已知集合｛直线的倾斜角｝,集合｛两条异面直线所成的角｝,集合｛直线与平面所成的角｝,则下列结论中正确

的个数是（）

7T

（1）（“nN）np=（o,—।（2）（MDN）UP=（O,万]

2

TTTT

（3）（“nN）up=（o,—]（4）（“nN）rip=（o,—）

22

A.4个B.3个C.2个D.l个

答案：D

4.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的全部内接圆柱中，全面积的最大值是（）

QQ5

A.2欣2B.-TTR2C.-TTR2D.-TIR2答案：B

432

5.一个四面体的全部棱长都为收，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（)

A.3"B.4万C.36兀答案：A

6.如图：四棱锥P—的底面为正方形，

，平面，1,设点C到平面

的距离为4,点B到平面的距离^2,则有（

A.\<d]<d2B.<d2<\

C.4<1<12D.J2<（/,<1

答案：D

7.平行六面体一AIBCIDI的六个面都是菱形，则Di在面।上的射影是AAC名的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

答案：D

8.设正三棱锥P一的高为，M为的中点，过作与棱平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，则这两部分体积

之比为)

答案：C

9.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32二万，则该三棱柱的体积是

3

（）

A.9673B.1673C.2473D.4873答案：D

10.在侧棱长为2百的正三棱锥S一中,ZASB=ZBSC=ZCSA=40°,过A作截面，则截面的最小周长为

()

A.272B.4C.6D.10

答案：C

11.设O是正三棱锥P一底面AABC的中心，过。的动平面与P—的三条侧棱或其延长线的交点分别记为，则

A.有最大值而无最小值

B.有最小值而无最大值

C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等

D.是一个与平面为之无关的常量答案：D

12.三棱锥的三个侧面两两相互垂直，且三条侧棱长之和为3,则三棱锥体积的最大值为（）

A.1B.-C.-D.6答案：B

63

二、填空题：

13.过正方体的每三个顶点都可确定一个平面，其中能与这个正方体的12条棱所成的角都相等的不同平面的个

数为个答案：8

14.在平面几何里，有勾股定理：“设A45C的两边、相互垂直，则AB2+AC2拓展到空间，类

比平面几何的勾股定理，探讨三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A一

的三个侧面、、两两相互垂直，则”

答案：S2MBC+S2&ACD+S2MDB=S2ABen

15.下图是一个正方体的绽开图，在原正方体中，有下列命题（1）与所在直线平行；（2）与所在直线异面；（3）

与所在直线成60°角；（4）与所在直线相互垂直，其中正确命题的序号为（将全部正确的都填入空格内）

答案：⑵、（4）

16.如图：在透亮塑料制成的长方体一AliGDi容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾

斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：

①水的部分始终呈棱柱形；②水面四边形的面积不变；③棱AD始终与水面平行；④当容器倾斜如图所示时，

5尸•BE是定值，其中全部正确命题的序号是

答案：①③④

17.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底粘在一起，恰得到一个全部二面角都相等的六面体，并且该六面体的

最短棱的长为2,则最远的两顶点间的距离为

答案：3

三、解答题：

18.在长方体一ABCQ1中，a,BC=b,A4,=c,求异面直线।和B,C所成角的余弦值。

\c2-b2\

答案：11.----

-7a2+b2+c2-ylb2+c2

19.如图所示：四棱锥P一的底面是边长为。的正方形，，面，

（1）平面，平面所成的二面角为60。，求这个四棱锥的体积；

（2）证明无论四棱锥的高怎样改变，面与面所成的二面角恒大于90°。

答案：（1）VP_ABCD=^-a\（2）略

p

20.如图：已知平行六面体ABC。—A'©。'。'的底面是菱形，且NC]CB=NCiCD=ZBC。，(1)证明:

CD

CqiBD；(2)当cq的值为多少时,能使平面C门请给出证明。

CD

答案：(1)略，(2)——=I

CC,

21.在长方体一AiBCiDi中，己知产2,3,求:

(1)异面直线BC与।所成的角；(2)当a为何值时，使BiCLi?

答案：⑴arccos(2)。=2

yja2+137a2+4

22