数学选择性必修第一册5数学选择性必修第一册第1课时 组 合、组合数公式及其性质

第1课时组合、组合数公式及其性质

―川川加川伽伽伽川―，蜀囱/陶•I课I前I预I习“加川”加川川拼川伽拼川"川”川伽州"加川川"

［教材要点］

要点一组合的概念

一般地，从n个不同元素中，任取m(mWn,且m,nGN+)个元素为,叫作从

n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

状元随笔(1)组合的特点:组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，

即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.

(2)组合的特性：元素的无序性.取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求.

(3)根据组合的定义，只要两个组合的元素完全相同，不论元素的顺序如何，都是相同

的组合；如果两个组合的元素不完全相同，那么这两个组合就是不同的组合.

要点二组合数及其性质

1.组合数的概念

从"个不同元素中取出且MJ,〃WN+)个元素的所有组合的，叫作从

〃个不同元素中取出且加，"GN+)个元素的,记作.

状元随笔1.同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”

也是两个不同的概念.例如，从3个不同的元素a,b,c中取出2个元素的所有组合为ab,

ac,be,其中每一种都叫做一个组合，即组合不是数，而是完成一件事的一种方法，而该问

题的组合数为3,是一个数字.

2.我们可以从集合的角度理解组合数的概念.例如，从3个不同的元素a,b,c中任

取2个的所有组合构成的集合为A={ab,ac,be},则组合数即为集合A的元素个数.

3.符号C7是一个整体，n,m均为正整数，且mWn.

2.组合数公式及其性质

(1)公式：C$=篝=------------------------=---------

(2)规定：C°=l.

(3)性质1：C?=，

性质2：C^i=.

［基础自测］

1.思考辨析(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)从0,“2,〃3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是髭.()

(2)从4，b,c,"中选取2个合成一组，其中“，b与b,a是同一个组合.()

(3)“从3个不同元素中取出2个合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个的组

合数”.()

(4)组合和排列一样，都与“顺序”有关.()

2.［多选题］下列问题中是组合问题的是()

A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的社会调查，有多少种不同

的选法？

B.从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法？

C.3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？

D.3本相同的书分给5名同学，每人一本，有多少种分配方法？

3.若鬣=28,则〃=()

A.9B.8C.7D.6

4.现有6名党员，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为

"加川川川川伽伽川川加I"川川川川川川加川加川/E应课卜图解拼川加川"川州"川加"加川"川川川拼”川加川川川.

题型一组合的概念

例1判断下列问题是组合问题还是排列问题：

(1)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？

(2)10名同学分成人数相同的两个学习小组，共有多少种分法？

(3)从1,2,3,9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样

的和共有多少个？

(4)从a,b,c,d四名学生中选2名，去完成同一件工作，有多少种不同的选法？

方法胆必)

区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无

顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，

看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无

顺序，是组合问题.

跟踪训练1判断下列问题是排列问题还是组合问题：

①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种

分配方法？

②从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，

共能构成多少个不同的分数？

③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？

题型二组合数公式的应用

例2解方程：(1)C岩i=C岩7；⑵c露+C%=0A>3.

方注烟佃

进行组合数的相关计算时，注意以下几点：

(1)像排列数公式一样，公式C)=n(n-l).：*n-m+l)一般用于计算,而公式(：7=

)及。记=萼■■一般用于证明、解方程(不等式)等―

m!(n-m)!裕

(2)要注意公式47=C$4胴的逆向运用.

(3)对于含有组合数的方程或不等式的问题，只需根据组合数公式的连乘形式或阶乘形

式，把问题转化为不含组合数的方程或不等式问题.但在求出结果后应注意验证能不能使组

合数有意义，既要保证组合数CA中下标“大于或等于该组合数的上标〃?，又要保证〃，，"均

为正整数.

跟踪训练2(1)7C看-4妗的值为.

(2)若的。=/，则C%=()

A.380B.190

C.18D.9

题型三组合数性质的应用

例3⑴计算：C羽+嚼+。温=;

(2)若。2＞年，则"的取值集合是.

方祛阳相

组合数公式①体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用

到.组合数公式②的主要作用有：

(1)计算，"，"较大时的组合数；

(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.

特别地，当相当时计算Cr,用性质C7=C『m转化，减少计算量.

跟踪训练3⑴化简：CW-*+1+第=

(2)已知B+i—B=CR,求”的值.

易错辨析忽视组合数中参数的限制条件致误

例4已知：/一金=孟「求机

解析：依题意，机的取值范围是{词mEN*}

m!(5-m)!m!(6-m)!7xm!(7-m)!

原等式化为:

516110x7!

化简得：,话一23，"+42=0,解得〃?=21或机=2.

因为0W%W5,mCN*,所以加=21应舍去.

所以，“=2.

【易错警示】

易错原因纠错心得

忽视组合数公式中参数的限制，本例中，易

应用组合数公式C?时，首先要考虑〃"附GN*,

忽视0W，*W5,mWN*这一条件，导致出现两

且〃?这一条件，不要盲目求解.

解的错误.

［课堂十分钟］

1.［多选题」给出下面几个问题，其中是组合问题的有（）

A.由1,2,3,4构成的二元素集合

B.五个队进行单循环比赛的分组情况

C.由1,2,3组成两位数的不同方法数

D.由1,2,3组成无重复数字的两位数

2.下列计算结果为21的是（）

A.A^+ClB.C；

C.膨D.酷

3.若稣=6第，则〃的值是（）

A.6B.7

C.8D.9

4.计算盘+*+/+…*望020的值为（)

4C%208^2020

^2021—1D.C2020—］

5.求不等式髭一”<5的解集.

第1课时组合、组合数公式及其性质

新知初探•课前预习

要点一

一组

要点二

1.个数组合数C?

।“m(m-l)(m-2>...21m!(n-m)!1；71n71

［基础自测］

1.(1)X(2)V(3)X(4)X

2.解析：AC与顺序有关，是排列问题；BD与顺序无关，是组合问题.故选BD.

答案：BD

3.解析：髭=妁/=28,解得〃=8.

答案：B

4.解析：由题意得，不同选法的种数为髭=15.

答案：15

题型探究•课堂解透

例1解析：(1)两人之间相互握手，与顺序无关，故是组合问题；

(2)分成的两个学习小组没有顺序，是组合问题；

(3)取出3个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺序，其和均不变，此问题只

与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题；

(4)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题.

跟踪训练1解析：①是组合问题.由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不

同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关.

②是排列问题.选出的2个数作分子或分母，结果是不同的.

③是组合问题.选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序.

例2解析：(1)由原方程得x+1=2x—3或x+1+2x—3=13,

(0<x+l<13,

由(0W2x-3<13,

(xGN*,

得2WxW8且

故原方程的解为x=4或x=5.

(2)原方程可化为C二尹卷A如，即C如=2A如,

.(x+3)!_(x+3)!

**5!(x-2)!10x!'

.・.1=1

■,120(x-2)!10x(x-l)-(x-2)!’

Ax2—X—12=0,解得尤=4或工=—3.

经检验，x=4是原方程的解.

跟踪训练2解析：(1)7*一4第=7X^0—4X篝|0=0.

(2)••・*=/,

二〃=18,

.•・受0=(：舞=喝)=3誉=190.故选B.

答案：(1)0(2)B

例3解析：(1)C罂+C招+C瑞)=C器。+C^o=C^=C%=U*=5O5O.

(2)由鬃>C„,得n,>n.所以"2—9〃-10<0,得一因为〃£N*

4!(n-4)16!(n-6)!

且〃26,所以〃=6,7,8,9,所以〃的取值集合为{6,7,8,9).

答案：(1)5050(2){6,7,8,9}

跟踪训练3解析：⑴原式=(%+酰)—明+1=*+1Y+］=0.

(2)根据题意，的+1-或=若，变形可得(%+1=4+第，

由组合数的性质，可得以+1=叱+】，故8+7=〃+1