高中数学人教A版必修第一册第二册综合拔高试卷1

高中数学人教A版必修第一册第二册综合拔高试卷1

第I卷（选择题）

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一、单选题

1.已知三棱锥P—ABC三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直，且％=尸8=?。=6,

M、N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN的长度的最小值为

（）

A.26-3B.4G-6C.6-2石D.2也

2.已知正六棱锥V-ABCDEF,尸是侧棱VC上一点（不含端点），记直线P3与直线DE

所成角为a,直线总与平面ABC所成角为夕，二面角'的平面角为则

（）

A./3<y,«</B.P<a,/3<y

C.J3<a,Y<aD.a</3,

3.设集合5,T,SUN*,TUN*,S,T中至少有两个元素，且S,T满足：

①对于任意x,yeS,若加，都有xyeT

②对于任意x,y^T,若x<y,则上小；

X

下列命题正确的是（）

A.若S有4个元素，则SU7有7个元素

B.若S有4个元素，则SUT有6个元素

C.若S有3个元素，则SU7有5个元素

D.若S有3个元素，则SU7有4个元素

4.如图，已知P,。分别是正四面体A8C。的侧面A8C与侧面的上动点（不包含侧

面边界），则异面直线CP,BQ所成角不可能的是

A.45°B.65°C.75°D.90°

5.如图所示，在平面四边形ABCO中，已知兀皿=|AO「+忸

NBAD+NBCD=%,ZABC=ZBCD,记8。的中垂线与AC的中垂线交于一点尸，恰

好CP为N4CB的角平分线，则|墨『=（）

28+2>/17

17

6.关于x的不等式2cos2x>a-46sinx在区间（〃,⑼上恒成立，的最大值为丁,

则实数”的取值范围（）

A.a<-2-j3+\B.a=-2y/3+lC.a<-7D.a=-l

二、多选题

7.已知菱形A88的边长为2,NABC=120。，沿对角线AC折叠成三棱锥4-AC。，

使得二面角S-AC-。为直二面角，设E为CO的中点，尸为三棱锥用-AC。表面上的

动点，则（）

A.四面体用-ACQ的外接球的半径为百

B.BC与AE所成的角的

C.线段所的最大值是不

D.若ACLEF,则点尸轨迹的长度为1+立

2

8.如图，在边长为2的正方形ABC。中，点E是AB的中点，点尸是BC的中点，点M

是AD上的动点.将△/也。,△。6分别沿。目。尸折起，使AC两点重合于尸，连接

下列说法正确的是（）

试卷第2页，共4页

A.PDA.EF

B.若把AEB/沿着E尸继续折起，B与尸恰好重合

C.无论M在哪里，尸B不可能与平面EFM平行

D.三棱锥P-Z)EF的外接球表面积为67r

第H卷(非选择题)

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三、填空题

9.已知关于x的方程折fi=x+a有两个不同的解，则实数。的取值范围是

10.在AABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，。为AABC的外心，且有

AB+BC=,sinC(COSA-G)+COSAsinA=0,AO=xAB+yAC,x,yER,贝I」

x-2y=.

ii.已知九万均为单位向量，与九分共面的向量向满足即+相215|,(c-a)-g=o,

则力二的最大值是.

12.设印表示不超过x的最大整数，若[)]=3,[-1.2]=-2.给出下列命题：

①对任意的实数x,都有x-

②对任意的实数x、儿都有[x+y]N[幻+[)]

③[lg1]+[lg2]+[lg3]+L+[lg2014]+Pg2015]=4940.

④若函数/(幻=卜1幻],当xe[0,〃)(〃eN*)时，令/*)的值域为A,记集合A中元素个

数为巴，则生土勺的最小值为程，

n2

其中所有真命题的序号为.

四、解答题

13.已知定义在R上的函数y=/(x)满足：y=/(x)在区间[L3)上是严格增函数，且

其在区间［1,3)上的图像关于直线y=x成轴对称.

(1)求证:当xw［l,3)时,f(x)=Xi

(2)若对任意给定的实数x,总有〃x+2)=〃x),解不等式〃力之/；

(3)若y=/(x)是R上的奇函数，且对任意给定的实数x,总有〃3x)=3/(x),求f(x)

的表达式.

14.已知函数=-勿|+l(xeR).

(1)当”=1时，求函数y=〃x)的零点.

(2)当求函数y"(x)在xe［l,2］上的最大值；

(3)对于给定的正数。，有一个最大的正数T(n),使xe［O,T(”)］时，都有|f(x)|vi,

试求出这个正数T(a)的表达式.

15.对于集合A={4，%,…=

A+B={x+y\xGA,y^B}.集合A中的元素个数记为同.规定：若集合A满足

|A+A|=吗W,则称集合A具有性质T.

(1)已知集合4={1,3,5,7},8=［；,|,*皆，写出A+AB+B,并求出此时

H+H，忸+用的值；

(2)已知均有性质7，且w=，〃，求|A+B|的最小值.

16.已知一元二次方程如2+法+。=0有两个大于0,小于I的相异实根，其中“是正整

数，6、c是整数，求a的最小值.

试卷第4页，共4页

参考答案

1.B

【分析】

采用补形法得正方体，作出图形，找出内切球，外接球球心，由几何关系知：两点间

距离的最小值为PG-2r，易求外接圆半径R,结合等体积法可求出内切圆半径『和PG,进

而得解.

【详解】

由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示.

设三棱锥内切球球心为。-外接球球心为。2，内切球与平面45c的切点为G,

易知1：0,02，G三点均在上，且尸。,平面A8C,

设内切球的半径为「，外接球的半径为R,则R=；xj62+6+62=35

由等体积法：+Sjjcp+S4ABp+SiABc)r=§5㈤50,PC,得r=3-6,

由等体积法：15ABCPG=1\ABPPC,得PG=2jL

将几何体沿截面PCDC切开，得到如下截面图：大圆为外接球最大截面，小圆为内切球最

大截面，

答案第1页，共20页

.••加,代两点间距离的最小值为27?-002-代—，=/>6-2厂=30-6—（6-25/5）=4百-6.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：根据题设将三棱锥补成正方体，进而确定内切球，外接球球心，结合等体积法

求内切圆半径及PG,即可得MN的长度的最小值.

2.B

【分析】

通过明确异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，应用三角函数知识求解，而后

比较大小.

【详解】

解：如图，设点V在底面上的射影为。点，连接OC,PB,

作尸G//V。，则PGJ■平面ABC,所以P8与平面ABC所成的角为/PBG,

即/=NPBG,

根据线面角最小定理知a,作GMLCD,则二面角-F的平面角为NPMG,即

答案第2页，共20页

Y=Z.PMG,根据tany=--->——=tana，所以y>尸.

GMGB

故选B

【点睛】

本题考查立体几何中异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角

的计算，考查空间想象能力，数形结合思想，分析问题能力，属于难题.

3.A

【分析】

分别给出具体的集合S和集合T,利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即

可.

【详解】

首先利用排除法：

若取S={1,2,4},则7={2,4,8},此时SUT={1,2,4,8},包含4个元素，排除选项C；

若取S={2,4,8},则7={8,16,32},此时SUT={2,4,8,16,32},包含5个元素，排除选项D-,

若取S={2,4,8,16},则7={8,16,32,64,128},此时S|JT={2,4,816,32,64,128},包含7个

元素，排除选项应

下面来说明选项A的正确性：

设集合5={月，。2，必，0}，且Pl<P2Vp3Vp4，。”。2，死，。4eN",

则P1P2<P2PA，且PR，P2P4eT，则a€S,

Pl

同理区wS,aS,ds,ds,三sS,

P2〃3PiP\PT

若Pl=l，则。222,则上<〃3，故。2即〃3=P；，

P2P2

又P4>乙>乙>1,故包="=%,所以=

PlP3〃3P2

故5={l,P2，p；,p",此时近£?；「2£丁，故矛盾，舍.

若P|N2,则上<区<凸，故'i=，2，'1=Pl即Pa=〃；，

P\PiPiPT

X/^4>—>—>—故区二冬二化，所以P4=P：，

P\P2〃3P3Pl

故S={0,p",p"，此时{〃：,P；,P：,P；,P；}£T.

答案第3页，共20页

若qeT,则与wS,故与=p：,i=1,2,3,4,故q=p-j=1,234,

PlP\

即4€｛p：,p：,P；,浦,p：｝,故｛p：,p：,p；,p6,p；｝=T,

此时SuT=｛p“p；,pt，p；,p：,p：｝即SUT中有7个元素.

故A正确.

故选：A.

【点睛】

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新

定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理

解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”,

掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

4.A

【分析】

取8。的中点N,根据线面垂直判定定理可得CNL平面ACN,进一步可得CM,平面加

然后计算直线8与平面的所成角，最后进行判断即可.

【详解】

另设正四面体的边长为2,

取3。的中点N,连接4V,CN,并作CM_L4V,连接0M

如图

在该正四面体中，有A8=A3BC=CD

所以8£>_1。2,8£>_1_42,CNcAN=N,CN,ANu平面ACN

所以BD_L平面ACN,又CMu平面ACN

所以比由8£>c4V=N,BD,4Vu平面45。

所以CN_L平面4BD,则8与平面4步所成的角为NC7W

答案第4页，共20页

又CN=AN=2xsin6()=道，则cosZACN=期+0。一二**二=—

2CNAC3

所以sinZACN=—,

3

则LAN-CMJcN'ACsinNACNnCM=冯^

223

所以sinNCOM=也=">巫，所以/COM>45

CO32

所以若点尸为点。，CP与平面曲所成的角要大于45

则当Q在平面ACD内运动时，CP与BQ所成角要大于45。

所以P,Q在侧面ABC与侧面运动，CP与BQ所成角要大于45

故选：A

【点睛】

本题考查异面直线所成角，通过等价转化，线线角转化为线面角，便于计算与判断，考查分

析能力与逻辑推理能力，属难题.

5.B

【分析】

由题意可知四边形A8C3是以户为圆心的圆内接四边形，由NAfiC=ZBCO可得BO=AC,

CP=AP=6P=Z)P,则笔=，由50利=|仞『+|30|2-|筋|2可得$皿/408=^^,

从而得cosN/WB=遮=cosNAC8,再利用cos24”=匕5学"结合余弦定理可得结

172

果

【详解】

由题意可知四边形ABCO是以P为圆心的圆内接四边形，因为NABC=/BC。，

所以8£>=AC,CP=AP=BP=DP,

BD'_AC2

所以

~AP~~PC

又由题目条件可知，

S,ABD=IAD|2+1BD|2-1AB|2=IAD|•IBD\sinZADB=2\AD\-\BD\COSZADB,

所以sinN4OB=^^,cosZADB=—=cosZACB,

1717

答案第5页，共20页

17+旧_(|PC|2+|AC2-PApy_|7C「

14-cosZAC^

所以COS2/ACP=

234-12|PC|-AC川PC|

BD234+2V17

所以

AP——Vl~

故选：B

【点睛】

关键点点睛:此题考查余弦定理的综合应用，考查降某公式，考查三角形的面积公式的应用，

考查圆内接四边形的性质的应用，解题的关键是由NB4O+NBC0="得四边形ABC。是以

产为圆心的圆内接四边形，从而有CP=AP=BP=DP,由/48。=/88可得8。=4^,

再结合已知条件和余弦定理可得结果，考查数形结合的思想和计算能力，属于中档题

6.D

【分析】

根据题中条件，得至ij(2sinx-6y<5-〃，求出K-j5-a<2sinx<^+j5-a,根据特殊

值验证，分别取〃=-26+1,«=-11,a=-7,结合正弦函数的性质，即可得出结果.

【详解】

由2cos2x>a-4\/3sinxW2-4sin2x>«-4>/3sinx,

2

即4sinx-4gsinx—2+Q<0,则(2sinx-\/J)<5-a9

为使不等式有解，必有。<5；

所以-15-a<2sinx->/3<15-ci,即6-邪-a<2sinx<\/3+\/5-a,

若a=-26+1，则上-"+2。<2sinxvg+14+26,即

6-(6+l)<2sinx<g+(G+l),则-g<sinx<G+g,

又sinx41<g+,显然恒成立，所以-'<sinx41,

22

TT

解得---1~2kjr<x<-----F2k冗,左£Z；

66

由题意可得，(*，㈤是(一7+2ym+2br}eZ的子集，此时时”的最大值为

不满足题意,故排除AB选项：

答案第6页，共20页

若〃=一11,则6—4v2sinx<百+4,W--2<sinx<—+2，显然对任意XER恒成立，

22

此时m-几无最大值；故C错；

若a=—7,则百一v2sin尤<6+V12，BP<sinx<,

22

因为sinx4l<t8显然恒成立，所以-且〈sinxWl,

22

7744

解得---2女乃<x<------F2k兀,kwZ；

33

由题意可得，（〃,〃?）是,?+2版■号+2可标Z的子集，此时，…的最大值为

y-（-f^=y,满足题意，故D正确；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查由三角不等式恒成立求参数的问题，考查正弦函数的性质，二倍角公式的应用

等，属于常考题型.

7.ABD

【分析】

对A,找到两个面的外接圆心，进而找到球心，最后通过勾股定理得出答案；

对B,建立空间直角坐标系即可求得；

对C,容易判断；

对D,找到AE的垂面（过点E）即可求出.

【详解】

对A,对如图1,延长80至。1,使得0。|=。3,由题意可知0i是AACBi的外心，同理

作出AAOC的外心。2,过0i作面ABC的垂线，同理作面4OC的垂线，两条垂线交于O',

容易判断O'四面体的外心.易得。。2=2,。'。2=1,由勾股定理可得外接球半径0'。=后,

A正确;

答案第7页，共20页

对B,如图建立空间直角坐标系，易得危=[,相,0）,辰=仅,凤1）,二

IcosvAk,耳">|=2近>:，所以B正确；

282

容易判断c错误:

对D,

若4CJ_£F,分别取8。，OC的中点“，/,连接EH,HI,IE,则点尸轨迹的长度为

EH+HI+IE=1+—,D正确.

2

故选：ABD.

【点睛】

对于外接球问题我们一定要找到外接球球心，先选择两个比较特殊的面（等腰三角形、直接

三角形、等边三角形等等）找到外接圆心，通过外接圆心作面的垂线，两条垂线的交点即是

外接球心；最后计算轨迹问题，根据ACLEF,找到AC的垂面（过点E）,垂面与三棱锥的

答案第8页，共20页

交线就是轨迹.

8.ABD

【分析】

A选项，线面垂直得到线线垂直；B选项，利用边长相等，得到B与尸恰好重合；C选项,

找到M点使得尸8〃平面EFM，D选项，求出外接球半径，进而得到三棱锥的外接球表面

积.

【详解】

连接8。，与EF相交于G,连接尸G,因为正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是8c

的中点，所以A故CE=£>F,所以8。是EF的垂直平分线，所以

G是EF的中点，因为PE=P凡所以PG_LE凡因为PGD8G=G,所以E7U平面P8G,

因为叨u平面P8G,所以P£>_L£F,A正确；

因为BE=BF=PF=PE,故把AEB尸沿着E尸继续折起，8与尸恰好重合；B正确；连接

AC交BD于点。，则80=。0,因为E是A8的中点，点尸是BC的中点，所以E尸〃AC,

且8G=GO,当M位于靠近P的三等分点时，端=嗫=三,可得：MG〃PB,因为PB

<2平面MEF,MGu平面MEF,可得：尸3〃平面ER0,故C错误；

/-FD2+DF2-FF25+5-?4

由DE=DF=SEF=6,由余弦定理得：COSNEDF=「八芯一=,

2.LD-Dr27575〉

答案第9页，共20页

所以sinNEDF=Jl-cos?NEDF=：,设△OEF的外接圆半径为R,由正弦定理得：

EF&5&万

而7而下一于一亍，如图，。。=/?=亡丝，过点P作于点“，则

56

平面DEF,又因为PE=PF=1,EF=^，所以PELPF,且PG=^,设HG=m,则HD=半-m,

由勾股定理得：PG"G—»,即(+-病=22一心RY,解得:友

m=—

6

所以=所以PH=：,设球心为/,则/Q,底面BFDE,过1作INSH于点

1oy。

N,连接/£>,则小=”。="。-。。=土叵-述=立，设IQ=HN=h,则

362

PN=P〃—HN=上—〃，设外接球半径为九则〃>/P=r，即/+土=\--h\+—

3613J2

解得：h=-；,所以Tn半=*,

三棱锥P-DEF的外接球表面积为

4兀产=4兀x3=6兀，D选项正确.

2

故选：ABD

【点睛】

三棱锥外接球题目，要先找到球心在其中一个平面三角形的投影，然后利用正弦定理或其他

知识求出这个三角形的外接圆半径，找到顶点在次三角形上的投影,利用勾股定理列出方程,

求出外接球半径，进而求出外接球的表面积或体积.

9.(-l,0)U{l}U{V2}

【分析】

令y=x+a,则原方程化为|1-》2|=y，当1-/40即一14x41时，原方程化为

答案第10页，共20页

x2+y2=l（y>0）,表示单位圆的上半部分；当1-*2<。即x<—1,或时，则原方程化

为/-丁=1（丫>0）,表示等轴双曲线的上半部分（不含与坐标轴的交点）；再结合图象借助

直线与圆和双曲线的位置关系分类讨论即可得出结论.

【详解】

解：：方程=？l=x+a有两个不同的解，令丫=犬+。，则y20,

则原方程化为11--|=丁，

当1—V20即twxwi时，原方程化为幺+9=1&20）,表示单位圆的上半部分，

当1-V<0即x<-l,或x>l时，则原方程化为，-/=1（>>0）,表示等轴双曲线的上半部

分（不含与坐标轴的交点），

作出图象得，

•.•等轴双曲线渐近线为y=±x,

...直线y=x+a与双曲线/-y2=］最多有一个交点，

.♦.直线尸工+。与半圆9+9=1（”0）至少有一个交点，

*41，得-&<a<41>

（1）当〃=应时，直线与半圆相切，有1个交点，与双曲线有1个交点，则原方程有两个

不同的解；

（2）当1<“<血时，直线与半圆相交，有2个交点，与双曲线有1个交点，则原方程有三

个不同的解，不合题意；

（3）当。=1时，直线与半圆有2个交点（-1,0）和（0,1）,与双曲线没有交点，故原方程有两

个不同的解;

答案第11页，共20页

（4）当0＜。＜1时，直线与半圆有1个交点，与双曲线没有交点，故原方程只有1个解，不

合题意；

（5）当时，直线与半圆有1个交点，与双曲线有1个交点，故原方程有两个不同

的解；

（6）当a=-1时，直线与半圆有1个交点（1,0）,与双曲线没有交点，故原方程只有1个解，

不合题意；

（7）当时，直线与半圆没有交点，与双曲线也没有交点，故原方程没有解，不

合题意；

综上，实数。的取值范围是（TO）U{1}U{&},

故答案为：（-1,O）U{1}U{@.

【点睛】

本题主要考查方程的解的个数的判断，考查数形结合思想，考查分类讨论思想，属于难题.

八43

10.-3或---

33

【分析】

由边角互化可得c+4=2,"c（cosA-石）+〃cosA=0,所以2Z?cosA=3c,

即/=a2+2c2,联立解得a=c,b=J5c,或。=5＜7,/?=3百0.分两种情况将近=%南+丁代

两边分别同乘以向量得方程组，解得结果.

【详解】

由正弦定理得c（cosA—G）+QCOSA=0,所以2/?cosA=3c，即。？=a2+2c2，

由条件得c+。=，联立角毕得〃=,或。=5C,〃=3GC.

3

当〃=c,Z?=V3c时，AB-AC=hccosA=—c2

2

由=6+y/，得芯•砺=恁•通，

1Q

叩—/=工P2+y二。2,所以2x+3y=l.------------------------------①

2.2

同理，由=得加•前=不通.部+y前）

即万1从=XjQ/+y/2,即1//=片1^^+y/,

答案第12页，共20页

所以x+2y=l.・②

联立①②解得x=T,y=l.故x_2y=_3.

当a=5c,8=3石c时，同理可得2x+3y=l---(3),x+18y=9----(4)

解得x-2y=-瞪43.

33

43

故答案为：-3或-

33

【点睛】

(1)三角形中的边角关系为条件时，常用正余弦定理统一化边或化角；

(2)若。为AABC的外心，则有而?通-AB2=-C2,X02AC-AC2=-h2；

2222

(3)此题的关键是找出三边关系和将向量转化为边长，得乂》的关系式.

11.2

3

【分析】

由已知，结合向量数量积的运算律可得3仅+砌=0,作砺=心，丽=£，AC=c，则

OCLAC,即C的轨迹是以OA为直径的圆上，其半径为2,圆心为由伍-3)出=0,

得48八CN且=记ZNAB=B,则ZH=COS(9，当CN与圆M相切时，。最小，即

可求力」的最大值.

【详解】

将匹+0=忸一4两边平方，得2.伍+甸=0,

如图，作丽=42，AN=a<AC=c>则OC_LAC,

；.C的轨迹是以OA为直径的圆上，其半径为2,圆心为M,再以A为圆心作单位圆，

由伍一£"=0,得4B-C7V且

.••当。在圆M上运动时，区在圆A上的轨迹是8Q、EP,

要使最大，记/NAB=9,则Z4=cos。，当CN与圆Af相切时。最小，

此时ZWC=e,gpcos0=—=~,

MN3

••工；的最大值是g.

答案第13页，共20页

2

故答案为：j

【点睛】

关键点点睛：根据向量的几何性质，作3=4£,AN=a>*="，C的轨迹是以OA为直

径的圆上，其半径为2,圆心为再以A为圆心作单位圆，C在圆〃上运动时，8的在

圆A上轨迹是8£)、EF'记=9,则2/=H=cose，当CN与圆M相切时。最小,

即此时力二的最大.

12.①②④

【分析】

直接利用定义判断①②;利用新定义分类求出各式的值,作和后加以判断③；由题意先求k]，

再求x[x],然后再求得到。“，进而得到&L詈，用基本不等式求解生詈的最小

值判断④，得到答案.

【详解】

对于①，由[可表示不超过X的最大整数，则对任意的实数X,都有x-l<[x]4x,命题①正

确；

对于②，记X=[x]+{x}(0<{%}<1),y=[y]+{»

则[x+y]=[[小{x}+[y]+{用2[x]+[y],故②正确；

对于③，Qlgl=O,lglO=l,lgl00=2,lglOOO=3.

.•.[lgl]=[lg2]=[lg3]=[lg4]=L=[lg9]=0,[lglO]=[lgll]=L=[lg99]=l,

[lgl(X)]=[lglO2]=L=[lg999]=2,[lg!000]=[lgl001]=L=[lg2015]=3,

答案第14页，共20页

.•.[lgl]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+...+[lg2015]=90+900x2+1016x3=4938,命题③错误;

0,xe[0,l)0,XG0,1)

Ue[l,2)x,xe12)

对于④，根据题意：«］=•/.x[x]='

(n-l)x,xG[/?-!,«)

.［在各区间中的元素个数是：U23,L，〃-1.

n(n-l).a+49n501

1则二n一=-+——->

2n2n2

1Q

当〃=10时，最小值为三，命题④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查命题的真假的判断，对新定义的理解应用是解题的关键，通过取整函数来建立新函

数，进而研究其定义域和值域，该题是中档题.

13.

(1)证明见解析；

⑵［三叵,1］；

2

(3)f(x)=x.

【分析】

(1)在函数y=/(x)(xe［l,3))的图像任取点，推导可得/(f(x))=x,再结合严格递增推理作

答.

(2)根据给定条件结合(1)可得y=/(x)的值域［1,3),在/<3的条件下分段求解作答.

(3)求出函数f(x)区间(0,1)、［3,一)上表达式，再借助奇函数性质计算作答.

(1)

依题意，Vxe［l,3),函数y=〃x)的图象上任意点(”)关于直线y=x对称点(孙龙)在函数

y=的图象上，

答案第15页，共20页

则有:x=F(y),且14y<3,于是得：/(/«)=%,显然f(x)=x满足旦/(x))=x,

当/(x)#x时,若/(x)>x,而”F(x)<3,又y=/(x)在区间［1,3)上是严格增函数,

则f(f(x))>/(x),即x>f(x),与y(x)>x矛盾，

若f(x)<x,而14f(x)<3,又y=〃x)在区间［1,3)上是严格增函数，则f(/(x))</(x),

即x<f(x),与/(x)<x矛盾，

所以当xw［l,3)时,/(x)=x.

(2)

由(1)知，函数y=/(x)在区间［1,3)上的值域为［1,3),函数y=/(x+2)的图象可由y=/(x)

的图象向左平移2个单位而得，

因对任意给定的实数x,总有/(x+2)=/(x),

则函数y=/(x)在R上的图象可由数y=〃x)(x叩,3))的图像向左向右每2个单位平移而

得，

于是得函数y=在R上的值域为［1,3),由是<3得:-43<X<43,

当-34X<-1时,1<%+4<3,则/'(x)=/(x+2)=f(x+4)=x+4,由/(x)Nx2得:

x2<x+4,解得喑I则有上当

2

当-14x<l时，1<%+2<3,则f(x)=/(x+2)=x+2,由〃力2f得：x<x+2,解得

-l<x<2,则有一14x<l,

当14x<3时，，由〃力2/得：x2<x,解得04x41,则有x=l,

综上得：-■~<%<1,

2

所以不等式/(x)Nf的解集是［上空』］.

(3)

因对任意给定的实数x,总有f(3x)=3/(x),

X

neN',当3"4X<3"M时，有14三<3,贝U

f(x)=/(3.令=3/(3.袁=32/(言=..=3"(q)=3"*=x,

答案第16页，共20页

”wN*,当3-”x<3-"i时,Wl<3"-x<3,则

/W=?(3x)="/(32x)=...=l/(3"x)=J3"x=x,

显然VxNl,函数)，=3"的值域是[3,+8),函数y=3-川的值域是(0,1],

则〃取尽一切正整数，*|3-"4'<3-相｝。*|13<3｝5月3"3<3川｝=(0,+8),

因此，当xe(0,"H»)时，f(x)=x,

而y=/(x)是R上的奇函数，则当xe(F，0)时，-xe(0,+8),/(x)=-/(-x)=-(-x)=x,

又/(0)=0,

所以，xeR,/(x)=x,即函数〃x)的表达式是〃x)=x.

【点睛】

思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集

即可.

2a,0<。

i1।ci—\)cT—2、ciN5/2

14.(1)零点为1+0和l；(2)/(x)1,一<Q<1,(3)r(a)=<

11m2a+\Ja2+2,0<(7<5/2

u一3

5-4iz,l<6z<—,

2

【分析】

(1)将。=1代入，令/(司=0,去掉绝对值直接求解即可得出零点;

(2)依题意，最大值在/(l),/(2)J(2a)中取得，然后分类讨论即可得出答案；

(3)问题可转化为在给定区间内/(x)N-1恒成立，分-a2+1«-1及-a2+1>-1讨论得出答案.

【详解】

(1)当。=1时，/(x)=-x|x-2l+l=<:+2x+l,x_2,

x-2x+i,x<2

令-犬+2工+1=0,解得：工=1+血或1-a(舍)；

令f—2x+l=0,解得：x=1；

函数y=/(x)的零点为1+啦和1；

(2)由题意得：/(力=卜储产,工2一其中f(o)=/Q)=i,

x~-2ax+\,x<2a

答案第17页，共20页

e(°，|)，；•最大值在/(l),/(2),/(2«)中取.

当0<2〃41,即0<0弓时，/(x)在口，2］上单调递减，.■J(x)3=;■⑴=2”；

当a<l<2a<2,即g<a<l时，在［1,2句上单调递增，［2a,2］上单调递减,

・♦•“力耐=/(〃)=1；

当14"2<勿，即14"2时，/(x)在［1,可上单调递减，［a,2］上单调递增，

•.J(x)g=max{〃l),〃2)}；

■.-/(l)-/(2)=(2-2a)-(5-4«)=2«-3<0,=/(2)=5-4a;

综上所述：/(x),l,—<a<1

2

3

5-4a,l<a<—

2

(3)•・・xw(0,+oo)时，一x<0,w一2^之。，.,./(x)nm=1,

「•问题转化为在