第12讲 四边形（题型训练）（解析版）-2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）-中考数学备考复习重点资料归纳

第12讲四边形

题型一平行四边形的判定与性质

1.（2021•四川•达州中学九年级期中）关于平行四边形A8CD的叙述，正确的是（）

A.若AS18C,则平行四边形4BCO是菱形

B.若AC_L8D,则平行四边形A8CC是正方形

C.若AC=M,则平行四边形48CC是矩形

D.若AB=A£>,则平行四边形A8CO是正方形

【答案】C

【解析】解：解：A、错误.若A8L8C,则平行四边形A8C。是矩形；B、错误.ACLBD,

则平行四边形A8C。是菱形；C、正确.D、错误.若A8=A£>,则平行四边形ABCD是菱

形；故选：C.

2.如图，四边形A8CQ和四边形DBCE都是平行四边形，点R在CE上，且CR=，CE,

4

则△APO,△。尸Q,△QRC的面积比为（）

A.15：9：4B.25：9：4C.16：9：4D.5：3：2

【答案】A

【解析】V四边形ABCD及四边形DBCE都是平行四边形

；.AD=BC=DE,BD//CE

点是AE的中点，AP：PR=AD,DE

点是AR的中点

是△ARE的中位线

DP=-RE

2

CR=LCE

4

CR=-RE

3

Z.CR=-DP

3

■:BD//CE

:./XCRQs丛DPQ

.SCRQ_fC/?V_4RQ_2

"T^-[DP）-履P"3

Q33

即打他,%畋，PQ=-PR=-AP

40O

VDPQ等高

.SDPQ=PQ=3

SADPA尸5

515

即SADP=gSDPQ~彳SCRQ

q・q-15-9-4

故选：A.

3.（2021•江苏•无锡市天一实验学校九年级期中）如图，点。为正方形A8CO对角线8。的

中点，BE平分NDBC交DC于点、E,延长8C到点F,使产C=EC,连接。尸交BE的延长

线于点H,连接0〃交。C于点G,连接HC.则以下五个结论中①0〃=；8尸；

②NC〃尸=60。；③BC=（2+夜）GH；@HF2=HEHB>正确结论有（）

B

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】•••四边形力8c。是正方形，

BC=CD,NBCD=90°,NDBC=45°,BD=应BC.

：8£：平分/。86,

NDBH=ZHBF」x45。=22.5°,

2

.-.ZBEC=67.5°.

BC=CD

在ABCE和ADCF中，,NBCE=4DCF

CE=CF

.-.△BCE^ADCF,

・•./EBC=4CDF,NBEC=Z.CFD=67.5°.

ZBEC=/DEH,

/BEC+ZEBC=/DEH+ZFDC,

:"DHB=90。.

ZDBH=NHBF

在ADBH和AHBF中，BH=BH

/BHD=/BHF

・•.DH=HF、BD=BF=y/2BC,

・••点H是O尸的中点，

/.OH=g8尸,CH="7,故①正确；

NHCF=4CFD=67.5°,

：.ZCHF=180°-2x67.5°=45°,故②错误；

BC+CF=0BC，

BC=（g+l）CF.

CF=2GH,

BC=（2+242）GH,故③错误：

,CE=CF,NECF=90°,

,-.ZEFC=45°,

:"EFH=67.5°-45°=22.5°,

：.2FBE=ZEFH.

NBHF=NFHE=90。,

:/\FHE,

.HBHF

"~HF~~HE'

HF2=HE-HB-故④正确；

综上所述，正确的有①，④，

故选：B.

4.（2021•吉林朝阳•九年级期中）如图，平行四边形A8C£»的对角线AC、8。相交于点O,

OE//AB交AD于点、E.若OA=2,"OE的周长为10,则平行四边形A8C£）的周长为（）

ED

A.16B.32C.36D.40

【答案】B

【解析】解：:AAOE的周长是10,且。4=2,

JO£+AE=10-2=8,

又・・•对角线AC、8。相交于点O,

工。是8。的中点，

'/OEHAB,

・・・OE=gAB,点E为AD的中点，

：.AB=2OEfAD=2AE,

・・•四边形A8C0是平行四边形，

AB=DCyAD=BC,

：.AD+BC=2AD=4AE,AB+DC=2AB=4OE,

AD+BC+AB+DC=4AE+4OE=4(AE+OE)=4x8=32.

故选：B.

5.如图，ZiABC的中线B。、CE交于点O,连接04,点G、尸分别为。C、08的中点,

BC=8,A0=6,则四边形QEFG的周长为（）

D.18

【答案】B

【解析】.•.应＞，CE是AABC的中线,

二。是AC中点，E是A8中点，

:.ED//BC^.ED=-BC,

2

F是BO的中点，G是CO的中点，

:.FG//BC且FG=；BC,

：.ED^FG=-BC=4,

2

同理GO=EF=，AO=3,

2

••・四边形OEG/的周长为3+4+3+4=14.

故选B.

6.如图，将。OEB尸的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C,且使4E=CF,连接AB,

BC,AD,CD.求证：四边形ABC。为平行四边形.

以下是证明过程，其顺序已被打乱，

①四边形ABCD为平行四边形；

②：四边形。EBF为平行四边形，：.OD=OB,OE=OF-

③连接8力，交AC于点O；

④又：AE=CF,：.AE+OE=CF+OF,即OA=OC

正确的证明步骤是（）

A.①@③④B.③④②①C.③②④①D.④③②①

【答案】C

【解析】连接8力，交AC于点0,如图

,/四边形DEBF为平行四边形

：.OD=OB,OE=OF

"：AE=CF

：.AE+OE=CF+OF

即OA=OC

，四边形A8CD为平行四边形

故正确的证明步骤是：③②④①

故选：C.

7.如图，点£F、G、H分别是四边形ABC。边AB、BC、CD、D4的中点，则下列说法:

①若AC=B。，则四边形EFGH为矩形；

②若ACLBC,则四边形EFG4为菱形；

③若四边形EFG”是平行四边形，则4c与互相平分；

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】解：；点E、F、G、，分别是四边形A8C。边A8、BC、CD、D4的中点，

EH=-BD,EHHBD,FG=-BD,FG//BD,

22

EF=-AC,EFIIAC,HG=-AC,HG//AC,

22

:.EH=FG,EH//FG,

•••四边形EFGH是平行四边形，

①当AC=B。时，EF=EH,

四边形EFG”是菱形；

②当ACJ_BD时，NHEF=90。,

二四边形EFGH是矩形；

③当四边形EFGH是平行四边形，则AC与8。不一定互相平分；

正确的个数为0个，

故选A.

8.如图，在平行四边形A8CO中，ZB=60°,AB=4,A£>=6,E是AB边的中点，尸是

线段BC上的动点，将△血?尸沿EF所在直线折叠得到△EB'F,连接4。，则B7）的最小值

是（）

A

E1

BF-----------c

A.2A/W-2B.6C.4D.2屈-2

【答案】D

【解析】解：如图，夕的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆.所以，当夕点落

在。E上时，8。取得最小值.

过点D作DGLBA交BA延长线于G,

ZDGA=90°,

•••四边形A8CO是平行四边形，ZB=60°,

：.AD^BC,

：.NGAO=60。，

NADG=30。，

AG=-AD=3

2

••DG=AD2—AG2-3-73>

是A8的中点，AB=4,

：.AE=BE=2,

：.GE=AE+AG=5

DE=dDG?+EG2=2vH

由折叠的性质可知B'E=BE=2

:.DB，=2屈-2.

故选D.

9.（2021•浙江•温州市第十二中学九年级期中）如图，AABC中，ABAC,BC=6,ADYBC

于点D,AD=4,P是半径为2的OA上一动点，连结PC,若E是PC的中点，连结。E,

则长的最大值为（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

【答案】B

【解析】解：如图，可知尸在8A延长线与。A的交点时此时OE长的最大，证明如下:

连接BP,

AB=AC,BC=6,AD±BC,

：.BD=DC,

E是PC的中点，

?.DEIIBP,DE^-BP,

2

所以当BP的长最大时，OE长的最大，

由题意可知P在84延长线与。A的交点时BP的长最大此时DE氏的最大，

,/BC=6,AD=4,

：.BD^DC=3,BA=5,

•••0A的半径为2,BPAP=2,

：.8P=5+2=7,

/.DE=-BP=3.5.

2

故选:B.

10.如图，折叠；ABC。，折痕经过点8,交AO边于点P,点C落在84的延长线上的点尸

处，点。落在点E处，得到四边形APEF,若；A3CD的面积为8,有以下结论：

②若”=PD,则四边形针EF是菱形；

③设四边形AP所的面积为）‘，四边形Bop的面积为x,则y与x的函数关系式为

y=2x-8（4<x<8）；

④若3C=4,则点尸到AB的距离为1.

其中正确的个数为（）

D

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】解：由折叠知：ZC=ZF,ZABP=ZCBP,

••,平行四边形ABC力，

：.ZC=ZBAD,CD=AB,

：.NF=/BAD,

：.EF//AP,

'：AD//BC,

：./APB=/PBC,

：.ZABP=ZAPB,

：.AB^AP,故①正确；

由折叠可知，CD=EF,PD=EP,

：.AP^EF,

...四边形APEF是平行四边形，

•；AP=PD,

：.AP=EP,

二平行四边形APEF是菱形，故②正确；

•••四边形BCQP的面积为x,

；・SAPEF^SABCD=2X,

：.y=2x-8（4<x<8）,故③正确；

设点尸到43的距离为〃，

SABCD=S四边形BPEF+S&ABP,

/.8=-x/?x(BF+PE)+—x/ixAB,

22

.•.8=gx/zx8+g/?x(PE+AB)=8/?,,

故④正确，故选：A

11.（2021•陕西碑林•九年级期中）在平行四边形ABC。中，点E,F,G分别是A£>,BC,

C。的中点，BELEG,AD=2后,48=3,则AF的长为.

B

【答案】4

【解析】解：连接AC、EC,如图所示:

•.•四边形A8C。是平行四边形,

：.AD=BC,AD//BC,EPAE//CF

•.•点E,尸分别是AD,BC的中点,

：.AE^-AD,CF=LBC

22

；.AE=CF,AE〃CF,

四边形AFCE是平行四边形,

：.AF^CE,

'：AD//BC,

：.ZEAQ^ZBCQ,ZAEQ=ZCBQ,

：.AAEQSACBQ,

LAD

：.AQ=EQ=AEJ,

CQ~BQ~CB~BC~2

设AQ=a,EQ=b,则CQ=2a,BQ=2b,

；点E,G分别是AC,CO的中点，

是△4CO的中位线，

：.EG//AC,

,：BEA.EG,

C.BEVAC,

由勾股定理得：8Q2=A82-AQ^BC2-CQ2,

即9-&2=(26)-4岛

3a2=11，

3

，802=4护=(2y/5)2-4xy-=^,

.,_161_4

・・分7—--X-=一,

343

在RtAEQC中，CE2=EQ2+CQ2=^+4^=16,

：.CE=4,

：.AF=4.

12.（2021•湖北云梦•九年级期中）如图，AB、AC、8C都是。。的弦，OMJ_A8,ONLAC,

垂足分别为M、N,若MN=l,则BC的长为—.

【答案】2

【解析】解：ON1AC,垂足分别为M、N,过圆心O,ON过圆心O,

:.AN=CN,AM=BM,

：.MN=^BC,

,:MN=l,

：.BC=2,

故答案为：2.

13.（2021•上海杨浦•九年级期中）如图，已知AO是△ABC的中线，G是△ABC的重心,

联结8G并延长交边AC于点E,联结DE,那么品ABC：SAGED的值为.

A

【答案】12

【解析】解：：G是AA8C的重心

，点。为8C的中点，点£是AC的中点

/.BE、AD为AABC的中线，DE为中位线

ADE//AD,DE=-AD

2

：.AGDE^/\GAB

.GEDE\

■"GB-AB-2

:.BG=2GE,BPBE=3GE

由三角形面积公式得到S&BDE=35ACD£

;点。为3c的中点

■S&BCE=2s△BOE=6s&GDE

..点E是4c的中点

故答案为12

14.（2021•上海市文来中学九年级期中）如图，AABC三边的中点分别为。，E,F.联结C£>

交AE于点G,交EF于点H,则£>G:GH:CH=.

B

E

【答案】2：1：3

【解析】解：•・•£/分别为CB、C4的中点,

・E尸是△ABC的中位线，

EF//AB、EF=、AB,

2

:ACHESACDB,

,CHCEEH\

…而一而一访—5'

：.CH=DH,

•；AD=DB,

.HE_1

"~AD~2J

■:EF//AB，

：・4EGHs/\AGD,

.HGEH

•・DC-AD-2?

：.DG：GH：CH=2：1：3,故答案为：2：1：3.

15.(2021•福建•龙岩初级中学九年级期中)已知：A(・3,0),B(0,3),C是平面内任意一

点，AC=1,。是8C的中点，则。O的取值范围是.

［答案］逑二I#。。逑口

22

【解析】解：如图，由AC=1,A(-3,0),

.•.C在以A为圆心，1为半径的A上，

作5关于原点。的对称点用，则4(0,-3),连接并延长与圆交于C,C「

则此时4c最长，当C与G重合，B、C最短,

QA(-3,0),B(0,3),B,(0,-3),

\VAOB1为等腰直角三角形，?OAB\?04A45?,

\AB,-732+32=3>/2,

Bg=3&-1,4c=3拒+1,

QO为BC的中点，OB=0B「

.•.OO为△BCd的中位线，

:.DO=^BtC,

最大时为各色乜，最小时为逑」，

22

•一.OD的范围为：3近-1#OD史1±L.

22

故答案为：逑」■#0。逑11.

22

16.（2021•江苏江阴•九年级期中）如图，矩形ABC。中，AB=3,AD=4,点E从点B出发,

以1单位每秒的速度向点C运动，DF=|,G,，分别是AE,E尸的中点，在点E的整个

运动过程中，当AE_LEF时，点E的运动时间为____秒，线段G”扫过的图形面积为

【答案】21

0

【解析】解：设当E厂时，点E的运动时间为I秒，则=f,

;矩形ABC。中，48=3,AO=4,

1,CD=AB=3,BC=AD=4,ZB=ZC=90°,

：・CE=BC—BE=4T,ZBAE+ZBEA=90°,

VDF=",

3

4

ACF=CD-DF=-,

3

'：AE±EF,

：.ZAEF=90°,

：.ZBEA-^-ZCEF=90°,

AZBAE=ZCEF,

/.ABAE-ACEF,

.BEAB

**CF-CE'

；・BE.CE=AB.CF，

4

r(4-z)=3x-

2

整理得：t-4/+4=0>解得：tt=t2-2,

即当AELEF时，点E的运动时间为2秒；

此时，线段GH扫过的图形为图中阴影部分，点M、N分别为点G、”的初始位置，如图:

则点M、点G、点M点H分别为A8、AE,BF、EF的中点，

：.MG,NH分别是△ABE,△FBE的中位线，

AMG=-BE=l,MG//BE,NH=-BE=l,NH//BE,

22

MG=NH=1,MG//NH,MGA.AB,

四边形MNHG是平行四边形，

延长”N交AB于点P,如图，

]3

贝|JPN_LA8,B.PM=BM-PB=-AB-PB=一一PB,

22

•••点”是EF中点，PHUBC,

APB=1FC=ix(DC-DF)=lxf3-1]=|,

325

・・・PM=------=-,

236

・・・5阴影部分=蛆尸加二卜,二|,

即线段G"扫过的图形面积为。，故答案为:2；J.

66

17.(2021•浙江•杭州市杭州中学九年级期中)如图，在平行四边形ABC。中，DE交BC于

F,交A8的延长线于£,且NEDB=NC.

(1)求证：△ADEs/WBE；

(2)若。E=2VT^cm,AE=8cm,求。C的长.

【答案】(D见解析；(2)3cm

【解析】(I)证明：平行四边形ABCO中，NA=NC,

VZ£DB=ZC,

NA=NEDB,

又/E=/E,

:.△ADEs^DBE；

(2)解：平行四边形A8CO中，DC^AB,

由(1)得△ADEs/\DBE,

.DEBE

'*AE-DE'

„DE2(2屈了.(、

BDE=---=------=5(cm),

AE8

AB=AE-BE=S-5=3(cm),

DC=AB=3(cm).

18.(2021•江苏滨湖•九年级期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，NC=ZDEA.

(1)求证：△ADES/XOEC；

(2)若CE=2,OE=4,求E8的长.

【答案】（1）见解析（2）6.

【解析】⑴证明：•••四边形ABC。是平行四边形，AD//BC,

：.NADE=NDEC,

又,：乙DEA=LC,

：.AADE^ADEC；

（2）解：VAADE^ADEC,

.DEAD

••~―»

ECDE

VCE=2,DE=49

.4AD

・♦——,

24

：.AD=8=BC.

：.EB=BC-CE=S-2=6.

19.如图，已知菱形ABC。的对角线相交于点O,延长A3至点E,使BE=A2,连结C£

⑴求证：BD=EC.

⑵当NZMB=60。时，四边形BECD为菱形吗?请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）四边形8EC力是菱形.理由见解析

【解析】（1）证明：四边形ABCQ是菱形，

：.AB=CD,AB//CD,

又YB-

：.BE=CD,BE//CD,

•••四边形8EC。是平行四边形，

：.BD=ECt

（2）解：结论：四边形BECO是菱形.

理由：•••四边形A8CO是菱形，

：.AD=AB,

'：ZDAB=60°,

：.^ADB,ZiOCB都是等边三角形，

：.DC=DB,

•；四边形BECD是平行四边形，

・•.四边形8EC力是菱形.

20.在AA8C中，AB=AC,点。在BC边上，。是4c边的中点，CEI/AD,交。。的延长

线于点E,连接AE.

（1）如图1,求证：四边形ACCE是平行四边形；

（2）如图2,若点。是BC边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所

有的直角三角形.

E

77£

图1图2

【答案】（1）见解析；（2）AABD,ZV1CD,AADE,AACE./XCDE

【解析】解：（1）VCE/MD,

JZ.CED=/ADE,

:0是AC边的中点，

：.0A=0C,

,在^COE和△A。。中，

乙CEO=ZADE

・ZCOE=ZA0D,

OC=OA

.,.△COE^AAOD（AAS）,

・•・CE=AD,

又,：CEHAD,

・•・四边形4OCE是平行四边形；

（2）丁点。是3c边的中点，

:.DC=DB9

又由（1）可知四边形AQCE是平行四边形，

：.DC=AEfDCHAE,

：.DB=AE,

又•：DB//AE,

；,四边形。84E是平行四边形，

：.AB=DE,

9

y.：AB=AC1

：.DE=ACf

♦・,四边形ADCE是平行四边形，

・・・平行四边形ADCE是矩形，

JZDCE=ZCEA=ZEAD=ZADC=90°,

/.N8DA=90°,

・•・直接二角形有：AABD,AACD,AADE,ZXACE,ACDE.

21.（2021•河南•郑州市第二初级中学九年级期中）如图，在。ABC。中，点E、尸分别在边

AD.8c上，且NABE=/C£＞尸.

（1）探究四边形2EDF的形状，并说明理由；

AG2

（2）连接AC,分别交BE、。尸于点G、H,连接BD交AC于点O.若加=；，AE=4,

OG3

求BC的长.

【答案】（1）四边形A8C。是平行四边形，理由见解析；（2）16

【解析】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下：

・・•四边形ABCD是平行四边形，

AZABC=ZADCfAD//BC,

XVNABE;NCDF,

：.NEBF=NEDF,

：./DFC=NEDF=NEBF,

：.BE//DF,

・・・四边形BEDF是平行四边形；

（2）设AG=2z,

..AG2

,OG~3f

：.OG=3a,

AO=AG+OG—5a,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

：.AO=OC,AD//BC.

：.AC=2AO=\Oa,

：.CG=AC-AG=Sa,

*：AD//BC,

：./\AGEsACGB,

.BCCG

,---=—---=—4A,

AEAG

：.BC=4AE=\6.

D

22.如图，在山△ABC中，ZC=90°,AC=8,8c=6.动点P从点A出发，沿AB以每秒5

个单位长度的速度向终点B运动.当点P不与点A重合时，过点P作4c于点。，以

AP,AO为边作口APED设点户的运动时间为r秒.

（1）线段A。的长为（用含r的代数式表示）.

（2）当点E落在BC边上时，求/的值.

（3）连结BE,当tan/CBE=；时，求，的值.

（4）若线段PE的中点为。，当点。落在AABC一边垂直平分线上时，直接写出/的值.

【答案】（1）今；⑵当点E落在8c边上时，，的值为1；⑶或，=与；⑷满足

条件的f的值为2:或2募5或1.

【解析】解：（1）如图1中,

c

图1

在RdA5C中，

VZC=90°,AC=8,BC=6,

JAB=\lAC、BC2=10,

•・・P£>_L4C,

.ADAC

••cosxA=--=-----

APABf

.ADS

••一,.

5t10

AAD=4t,DP=3t,

故答案为：4/；

(2)如图2中，当点E落在BC上时,

V四边形APED是平行四边形,

JDE=AP=5t,

・•・DE//AB^

ZA=ZCDE,

ZC=ZC,

AACDE〜ACAB,

由(1)可得：AD=PE=4t,

.DECD

・•----=-----，

ABAC

.5f8-4/

..——------，

108

解得：r=l,

・•・当点E落在8C边上时，，的值为1；

(3)①如图中，当0＜，＜1时，延长尸石交8C于点F,

•:ZC=ZCDP=ZDPE=90°,

・・・四边形CQPF为矩形，

：・PF=CD=8—4t,CF=DP=3t,

：.EF=PF-PE=PF-AD=S-4t-4t=8-St,

BF=BC—CF=6—3t,

在BEF中，

£

tanZCBE=—=

BF6-3r3

解得：t=臼;

②如图中，当1＜Y2时，PE交BC于点、F,连接8E,

APB

•..四边形APEC是平行四边形，四边形。尸尸为矩形,

，PF=CZ)=8-4f,PE=AD=4f,CF=DP=3t,

：.EF=PE-PF=41-(8-%=&-8,

BF=BC-CF=6-3t,

在Rt4BEF中,

tanNCBE工坐」

BF6—3/3

解得：t吟

综上可得：t或f=R

79

(4)①如图中，当点。落在线段AC的垂直平分线MN上时,

可得"

2

解得/=—;

②如图中，当点0落在线段AB的垂直平分线MN上时,

解得f=|2|5;

③如图中，当点。落在线段8c的垂直平分线上时，AP=PB,此时f=l,

综上所述，满足条件的/的值为12•或I25I或1.

题型二矩形的判定与性质

1.（2021•山东陵城•九年级期中）如图，是。。的直径，弦拗〃分别过物N作

的垂线，垂足为C,D.以下结论：①AC=BD；②％W=»N;③若四边形欣7W是正方形，

则朗¥=：力8；④若财为标的中点，则〃为如中点；所有正确结论的序号是（）

A.①②③B.①②④C.①②D.①②③④

【答案】B

【解析】解：如图所示，连接〃协ON,BN,

9：MCI.AB,NDLAB,

：,/OCM=/ODN=90°,

•:MN"AB,

・・・NC物件N<ZM80°,

・・・NC依90°,

四边形C则9是矩形，

・•・C/DN,

又・・•。/

，Rt/\oaf^Rt4ODN（JIL）,

：.0（=OD,/CO*/DON,

：.OA-O(=OB-OD^A(=BD,碗=RN，故①②正确;

当四边形/7W是正方形时，，哈切，

•/OOOD.

：.CM=20C,

JOM=yj0C2^-CM2=y/5OC^

：.AB=20M=2#QC=也MN，故③错误；

若材是霸的中点，

:・/A0后4Mo即4B0l^60°,

:020B,

・・・△〃•仍是等边三角形，

YNDL0B,

：.0D-BD,故④正确，

故选B.

2.如图，在AABC中，Zfi=90°,45=12,BC=5,。为边AC上一动点，于点E,

DF工BC于点、F,则E尸的最小值为()

60

A.4.8D.-D.13

1313

【答案】B

【解析】解：如图，连接劭.

•.•在中，AB=\2,BC=3,ZB=90°,

：.Al^+BCi=ACt,即4^J122+52=13.

又；DE工AB于点E,DFX.BC于点八

...四边形物方是矩形，

：.EF=BD.

:创的最小值即为Rt/X/bd斜边上的高，

•LnM1"„nnnnABBC12x560

..—AB•BC=—AC•BDn,RJBD=-------=-----=——,

22AC1313

的最小值为容

故选B.

3.（2021•浙江•瑞安市安阳实验中学九年级开学考试）如图，四边形A8C。和但G均为

正方形，点G在对角线BD上，点尸在边BC上，连结BE,记△AEB和ABFG的面积分别为3

和邑.若4）=9,2St=3S2,则8E的长为（）

A.3

【答案】D

【解析】解：如图，过点。作业kLSC,垂足为点从交加于点、M,

MD

BFNC

•・•四边形ABC。为正方形,

:・AD=AB=9,N物〃=90°,ADIIBC,

：.AADB=AABD=^<>,

YMNLBC,AD//BC,

：.ZGMD=^GMA=Z.GNB=900,

又•：/BAD=90°,

・・・四边形力网财为矩形，

:.BN=AM,MN=AB=9,

":/GMD=90",/ADB=45°,

・・・/极m=/劭冗=45°,

，设MG=MD=x,

则BN=AM=AD-MD=9-x,GN=MN-MG=9-x,

：.AM=GN,

・・,四边形月以灯为正方形，

:"E=AG,ZEAG=ZAGF=90°,

:"EAG=/DAB,

：.NEAB+ZBAG=ZDAG+/BAG,

:・/EAB=/DAG,

在△力助和△力〃。中，

AB=AD

<ZBAE=ZDAG,

AE=AG

「BA%：-DAG（弘S）,

*'•S]=S>ABE=S^ADG,BE=DG,

・・・/46P=N6:例=90°,

/.ZAGM+ZFGN=Z.AGM+^GAM=^°,

：./FGN=/GAM,

在△&4和△GW中，

/FGN=/GAM

,GN=AM,

NGNF=NAMG

:.△FGMXGAM（AS心、

:・FN=GM=x,

:・BF=BN-FN=9-x-x=9-2x,

二・2s产3邑，

2x、AD.MG=3、BFGN,

22

2xgx9x=3x；（9-2x）（9-x）,

解得：％=3,x2=13.5（不符合题意，舍去），

:.MG=MD=3,

:-DG=y/MG2-}-MD2=372，

:・BE=DG=36,

故选：D.

4.（2021•陕西•西安市汇文中学九年级开学考试）如图，在AABC中，ZBAC=90°,AB=6,

AC=8,P为边BC上一动点、,PEI.AB于E,玄_LAC于尸，M为EF的中点，则PM的

最小值为（）

【答案】A

【解析】解：连结力尸，如图所示:

:・BOyj6+求=10=5,

■:PELAB,PF1AC,ZBAC=90°

•••四边形力根是矩形,

：.EF=AP.

二必是"的中点，

:.P后三AP,

根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即第时，4。最短，同样/我也

最短，

6x8

.,.当时，^—=4.8,

/最短时，上4.8,

当最短时，P后gA六2.4.

故选A.

5.如图所示，在R/AABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,在RfAMPN中，ZMPN=90°,

点尸在AC上，PM交AB于点、E,PN交BC子息F.当PE=2P小时，4P的值为（）.

A

C

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】解：：在RfAABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,

'-AC=yjAB2+BC2=>/32+42=5>

过户作PHLBC于H,PQVAB^-Q,

则NPQB=4PHB=4B=90°,

四边形PQBH是矩形,

：.PH=BQ,/QP+9G=ZMPN,PQ//BC,

：.乙EPIKNQP和/EP【K2HP290°,

:./QP人HPF,

：./\PQEs丛PHF,

PQPE

-7F,又PB=2PF,

:.PQ-2Plb2BQ,

,:PQ〃BC,

.AQ=PQ=AP_

・•茄一疏―前，

设除x,则403-x,Pgx,

.3-x2xAP

・.----=—=---，

345

解得：x=—,4片3,

故选：C.

6.（2021•黑龙江牡丹江•模拟预测）如图，矩形力及力的边切上有一点反/的£=22.5

°,EFLAB,垂足为凡将△4跖绕着点尸顺时针旋转，使得点4的对应点M落在必上，点

夕恰好落在点6处，连接宓下列结论：①网LLAE；②四边形成飨是正方形；③/网/=30

°；④S四边形8.：5皿=（2应+1）:1.其中结论正确的序号是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.③④

【答案】C

【解析】解：如图，延长5犷交于阳连接出/,

B

・：EKLAB,

AFE=NEFB=9Q0,

・・,/%打=22.5°,

：.Z£AF=90°-N为£=67.5°,

・・•将△力麽绕着点尸顺时针旋转得△朗叨，

:・MF=AF,FB=FE,/FBM=/AEF=/DAE=22.5。,

：.ZEAF+ZFRIf=90°,

AZAW=90°,

：.BMLAE,故①正确；

・・,四边形力腼是矩形，

：.ZABC=ZC=90°,

VZ£R?=90°,

，四边形"比、是矩形，

又•：EF=BF,

・••矩形同比、是正方形，故②正确；

・・・/叱=45°,

・・・NEBM=ZEBF-ZFBM=45°-22.5°=22.5°,

故③错误；

VZAEl/=90°,AF=FAf,

N物F=45°,AM=yflFM，

ZE4M=67.5°-45°=22.5°,

JZAEM=ZM4£，

EM=AM=®FM，

.・.EF=EM+FM=^y/2+l)FM,

**•SEFB：SBFM=(V^+1)：1,

又・・,四边形比"是正方形，

・・・S四边形BCEF=2S/\EFB,

：

；・S四边形5C£MSMFM=(&+1)：1

故④正确，

J正确的是：①②④，

故选：C.

7.已知点/是抛物线p=ax2—4ax+4a+3(a>0)的图象上的一点

(1)当a=2时，该抛物线的顶点坐标为；

(2)过点/作轴于点G以47为斜边作灯△相，和灯△的C,使得以7〃/〃，则劭

的最小值为___________

【答案】(2,3)3

【解析】解：(1)当。=2时，y=2x2-8x+l1=2(x-2)2+3,

.•.抛物线的顶点坐标为:(2,3)；

(2)：A3C和△D4C都为宜角三角形，

BC//AD,

四边形ABCZ)为矩形，

对角线5D=AC，

即AC最短时，BD最短,

a>0>△=/-4ac=16a2-4a(4a+3)=-12a<0,

..•抛物线开口向匕抛物线与X轴没有交点，最低点为顶点，

当y=0时，ax2-4ax++3=0,

即a(a-2月一4a+4a+3=0得a(x-2)2+3=0,

无论。为任何数，顶点坐标都为(2,3),

...当AC最短时，即为顶点到了轴得距离，即为3,

/.8D最小值为3.

8.(2021•山西太原•九年级期中)如图，在平行四边形中，对角线4C与初相交于

点0,△/加是等边三角形，%=8.熊平分/胡〃交比1于点£,连接第请从力，6两题中

任选一题作答

(1)线段/£1的长等于______.

(2)线段应1的长等于.

【答案】还4夜-勺区##

33

【解析】解：；四边形｛朋是平行四边形,

?.0A=0C,OB-OD,

：△46。是等边三角形，

：.0归OB,NABO=NBAO=60°,

：.()^0C=0B=0D,B|JAOBD,

•••平行四边形/曾是矩形，

在打△/座中，Z/f6^=30°,BO8.

：.AC=2AB,AB-+BC2=AC2,

?.AJ?2+82=（2AB）2,

.•/庐延，

3

(1),:AE平分NBAD交BC丁点、E,

胡氏45°,

...△4跖是等腰直角三角形，

AB=^AB-+BE1=—;

3

故答案为：蜒；

3

(2)过点后作碎小于点人，

♦.•△力加是等边三角形，

:.AB=OB=典,N4盼/物(9=60°,

ZOBC=ZOCB=30°,

3

•••/^75。，

阪180°-60°-75°=45°,

...△施尸是等腰直角三角形,

O2EF,

•.•△力•是等腰直角三角形,

:.AB=B&W^,

3

3

在放ZXW中，/况户30°,

:.E*EO4--

23

二诋应如向w

故答案为：4&-上而•.

3

9.（2021•辽宁•沈阳市实验学校九年级期中）如图，矩形/附9中，对角线IC、劭相交

于点0,过点。作0ELBD交AD于点、E.已知A42,△屣的面积为之，则的长为—

【答案】1.5

【解析】解：如图所示,

*•SBDE=2SBOE=3，

：.-DE-AB=-,

22

又•:AB=2,

在R/A4BE中，=炉-A8?=1.5；

故答案是：1.5.

10.如图，正方形制中，点£是对角线切上一点，目BE=2DE,连接/£并延长交切于

G,点尸是6c边上一点，旦CF=2BF,连接46、EF、FG.下列四个结论：①〃G=CG：②AF

=AG；③必制=8«■,；®AE=EF.其中正确的结论是.（写出所有正确结论的序号）

D

BFc

【答案】①③④

【解析】解：•正方形A8C2

AB//CD,AB=CD,

△DEG-ABEA而BE=2DE,

DGDE1EG

"ABBEAE'

DG=^AB=^CD,

：.DG=CG,故①正确；

如图，设册处而CF=2BF,

则上2/小AB-A庐3/n,DG-CG--m,

在Rt/\ABF中，AF=dAB?+BF?=Mm,

而AG=y]AD2+DG2=-m,

2

";"AG,故②错误；

过点£作四的平行线，交力〃于乱交用于M可得四边形.的勿是矩形,

XAMEsXADG,

AMAE2

/.---=——=一，

ADAG3

,:AD=3m,

.・・422R，D\f=m,NC=mf则/管叱心2mF!^B2BF=m,

YMD//BN,

：.AMDESNBE,且相似比y,

，修勿，£心2勿,

在RtAEFN中,E户4EN?+FN?=鬲,

在Rt/XAME中,AE=>JAM2+AE2=y/5m,

：.AE=EF,故④正确;

2

SA”=—ABF=—X3n:XA;：=—/n,S=­FC^CG=—x2m*—m=—m2,

2fcg2

SABF=Sb'CG»故③正确;

综上：正确的有：①③④

故答案为：①③④

11.（2021•四川内江•中考真题）如图，矩形A3CZ）中，AB=6,BC=8,对角线BD的

垂直平分线EF交于点E、交BC于点F,则线段EF的长为

【答案】y

【解析】解:如图:

四边形A8C£＞是矩形,

:.ZA=90°,又A8=6,AD=BC=8,

・•.BD=」AB?+AD2=10,

是3。的垂直平分线,

.-.OB=OD=5,ZBOF=90°,乂NC=90°,

ABOF^SBCD,

OFBO

~CD~~BC

OF5

~6~~S

解得，。尸==，

4

四边形A88是矩形，

AD//BC,ZA=90°,

:./EDO=NFBO,

所是8。的垂直平分线,

:.BO=DO,EFA.BD,

在ADE0和中，

2EDO=NFBO

<BO=DO,

NEOD=ZFOB

:.^DEO^SBFO(ASA),

：.OE=OF,

EF^2OF