沪教版（2020）高中数学必修第一册练习（中档）第6讲分式不等式和绝对值不等式的解法-【含答案】

分式不等式和绝对值不等式的解法

一、单选题

1.不等式工21的解集为()

X—1

A.(-00,1)U[2,+oo)B.(-00,O]U(1,+oo)C.(1,2]D.[2,+oo)

2r+3

2.不等式上”NO的解集为()

x-2

33

A.<xx<——或％〉21B.sx--1<x<2C.〈xx<—或

212

x>2}D.x—-Wx<2

Y

3.已知集合4={%|。—1)(%+2)<。},集合3={x|——>0},则()

x-1

A.{x|-2<x<0}B.{x|l<x<2}

C.{x|0<x<l}D.R

f3

4.设全集/是实数集R,M={x|x>2}与N=XpWO都是/的子集（如图所

A-L

示），则阴影部分所表示的集合为（）

A.1x|l<x<2}B.{x|-2<x<1}

C.„<2}D.{x|-2<%<2j

(11)

5.设尤>0,y>0,且不等式(ox+y)-+-29恒成立，则正实数。的取值范围

I尤y)

是（）

A.a>4B.0<a<2C.0<tz<4D.a>2

4

6.已知x<3,则y•+x的最大值是()

x-3

A.-4B.-1C.1D.3

e1+-1—的最小值为

7.已知0〈尤vl,则丁.()

4%1-X

95

A.9B.C.5D.-

44

二、填空题

8.函数>=依2+乐+4。/0)的图象如图所示，则不等式?|<0的解集是

2元一1

10.不等式----K1的解集为.

x

11.已知x>0,y>0,且满足(x+2y-l)(2x+y-2)=9,则x+y的最小值为

12.已知0v九vl,则%(3-3%)取得最大值时元的值为

x+V

13.已知%>。,丁>。，且x+3y=l,则--的最小值是

孙

三、解答题

14.求下列不等式的解集

（1）9x2—6x+1>0;

（2）3X2+5X-2>0;

⑶-X2+2X-3<0;

(5)|2x-3|<1.

15.(1)解不等式士工22；

X—1

(2)若。〉0,解关于x的不等式：ax2-(2a+l)x+2<0.

16.求下列不等式的解集

1_V

⑴|2x-l|〉2(2)2+3X-2?0⑶---->0

X2+x

14,

17.已知％>0,y>0,且一H"—=1.

xy

(1)求％+y的最小值；

(2)若孙+6加恒成立，求实数加的取值范围.

18.已知2x+5y=8.

(1)当尤>0,y>。时，求孙的最大值；

1012“一

(2)当%>-1,丁>一2时，若不等式----+---^2,犷+4加恒成立，求实数机的取值

x+1y+2

范围.

19.(1)已知〃>b>O,cvdvO,/vO.求证：—^―>-^—

a-cb-d

4,l

(2)已知x>0.求证：2—3x的最大值为2—

x

答案

1.c

【分析】

先移项，将不等号右边变为0,再转化为一元二次不等式求解即可，注意分母不能为。.

【详解】

解：不等式」等价于(x—l)(x—2),,0且x—1W0,

解得1<茗,2,

二不等式的解集为(1，2].

故选：C.

本题考查分式不等式的解法，考查学生的转化思想和运算求解能力，属于基础题.

2.C

【分析】

将分式不等式等价于一元二次不等式进行求解即可.

【详解】

分式不等式0等价于2x+3=0或(2x+3)(x-2)>0,

33

即x——或尤<—或%>2,

22

3

故解集为<龙尤<一5或%>2}.

故选：c.

3.A

【分析】

求出集合A，B,由此能求出ACB.

【详解】

因为集合人={%1(%_1)(%+2)<0}={工|_2<%<1},

集合3={x|上>0}=(—s,O)U(l,+s)

所以Ac5={x|-2Vx<0},

故选：A.

本题主要考查了交集的运算法则，考查运算求解能力，属于较易题.

4.A

【分析】

化简集合N,由韦恩图可知阴影部分表示的集合为Nc(q〃)，利用交集和补集的定义求

解即可.

【详解】

f、

由题意〃={x|x>2},N=W40[={x[l<x<3},由图知阴影部分表示的集合为

X-1

Nc(G/)，，NC(GM)={H1<X<2}.

故选：A

本题考查集合的交并补运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.

5.A

【分析】

利用题设条件和基本不等式求得（依+y）（J+1）的最小值,即可得到（、7+11..9,解出。的

取值范围即可.

【详解】

,/x>0,y>0,a>0,

二.（办+y）（一■I—）=a+l+—H----..a+1+2—x—=（8+1）2（当且仅当二=—时取等号），

xyxy\xyxy

又（ax+y）（-+-）..9恒成立,

xy

（A4?+1）2..9,解得：a.4,

故选:A.

本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满

足的三个条件：（1）“一正二定三相等"“一正''就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和

的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式

的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若

不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

6.B

【分析】

利用基本不等式求最值.

【详解】

44

x<3,3-x>0,y=----t-x=----i-x-3+3,

%—3x~3

4l~44

——+(3-x)>2.——x(3—x)=4,当且仅当——=3—x,即x=l时等号成立,

3-xV3—x3—x

4

y=——+%-3+3<-4+3=-1,即V的最大值为—1.

x—3

故选：B.

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，

则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等''是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这

个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

7.B

【分析】

11上+%),展开利用基本不等式即可求解.

根据题意可知元+工

【详解】

11x1-x5

一+---(x+1-x)----+-----+—

4xi-x1-x4x4

Y1—X

因为0cx<1,所以——>0,——>0,

1-x4x

1x1-x5»/x1-x59

所以一■+-----=-----+-----+->2.-------------+-=—

4x1-x1-x4x4Vl-x4x44

Y1—X1

当且仅当一匚=」，其中0<x<l,即％=—取等号,

1-x4x3

119

所以1------的最小值为一.

4%1-x4

故选：B

本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

8.L|-1<X<3

【分析】

先根据图像判断对应的二次方程的根，得到系数的关系，再代入求解分式不等式即可.

【详解】

hC

以图象可知〃>0,方程改2+bx+c=0的根为1和2,故—=1+2=3,—=1x2=2,

aa

即Z?=—3a,c=2a,所以不等式竺改<0即合应<0,即产=<0,等价于

cx+a2ax+a2x+l

(x-3)(2x+l)<0,故解集为卜g<x<3、

故答案为.1x|—g<x<3

本题考查了二次函数图像与对应二次方程的根之间的关系，考查了分式不等式的解法，属于

基础题.

9.(2,5]

【分析】

-x+5f(-x+5)(x-2)>0

将分式不等式变形为——20,进而得I八)，再根据二次不等式解法解

x-2[x-2^0

不等式即可.

【详解】

因为二一21,所以二——1>0,即二三20,

%—2x—2x—2

(-x+5)(x-2)>0

所以有八八7,解得：2vx45,

九一2

故不等式的解集为：(2,5]

故(2,5]

本题考查分式不等式的解法，是基础题.

10.1x|0<x<l}

【分析】

移项将分式不等式化为标准形式，再化为一元二次不等式可解得结果.

【详解】

生。W1等价于生±二wo等价于340,

XXX

等价于x(x—1)(。且工。0,即0<兄<1,

故不等式上^<1的解集为｛x|0<X<1].

故答案为.｛目0<%<1｝

本题考查了分式不等式的解法，考查了一元二次不等式的解法，考查了转化化归思想，属于

基础题.

11.3

【分析】

利用基本不等式可得(x+2y—l)(2x+y—2)W+；—],从而可求x+y的最小值.

【详解】

因为(x+2y—l)(2x+y—2)<]，故94广♦+；-31,

整理得至I](%+y-I)?24,故x+y—122或x+y—l<-2,

故x+y23或x+yWT(舍)，当且仅当％=2,y=1时等号成立,

故％+y的最小值为3.

故3.

本题考查基本不等式在求最值中的应用，注意“和式”和“积式”两种代数结构之间的合理

转换.本题属于基础题.

12.—

2

【分析】

整理目标式，再利用基本不等式求积的最大值，得到取等号条件即可.

【详解】

因为则%（3—3%）=3%（1—九）＜3x出土"=?当且仅当x=l—x时即％=!

442

时等号成立，取得最大值.

故答案为.—

2

本题考查了利用基本不等式求最值时取等号的条件，属于基础题.

13.4+273

【分析】

利用1的代换的方法，结合基本不等式求得x一+^y的最小值.

孙

【详解】

+L3](x+3y)

孙yxxj

=4+4+包24+2耳药=4+2石，

yxyyx

当且仅当土=至，即x=Yi二1»=土卫时等号成立.

yX26

x+yr-

所以一的最小值为4+273

x）

故4+26

本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.

14.(1)<xx/g"；(2)„<—2或x〉g｝；(3)R；(4)<x3

x<5或x»4｝；(5)

卜[1<%<2｝.

【分析】

根据一元二次不等式的解法，直接计算（1）（2）（3）,根据分式不等式的解法，计算（4）,

根据绝对值不等式的解法，计算（5）.

【详解】

,1f1'

（1）由9/一6》+1>0得（3x—1）>0,则即不等式的解集为卜xHg卜

（2）由3/+5x—2>0得（3尤-1）（尤+2）>0,解得％<—2或X〉；，即原不等式的解集为

1x|x<-2或x>-

（3）由—炉+2尤一3<0得炉―2x+3>0,即（％—1丫+2>0显然成立，故原不等式的解

集为R；

x+1,%+1—2x+3—X+4x—43

（4）由-------<1得------------<0,即一一<0,即」一20,解得》<二或尤24,

2x—32%—32x—32x—32

3

故原不等式的解集为jxx<Q或x»4｝；

（5）由|2x—3|<1得—l<2x—3<1,解得1<%<2,故原不等式的解集为｛刃1<%<2｝.

本题主要考查一元二次不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查绝对值不等式的解法,

属于基础题型.

15.（1）｛x|0<x<l）;（2）答案不唯一，见解析.

【分析】

（1）先将原式移项通分，即可求出结果；

（2）先将不等式化为（依-l）（x-2）40,分别讨论0<a<；,a=g,a〉g三种情况，根

据一元二次不等式的解法，即可得出结果.

【详解】

.•.卷<0,故0<x<l,故不等式的解集为｛司0«%<1｝；

JiJL

（2）二，tzx?-（2a+l）x+2<0

（ox—l）（x-2）<0,

当0<a<1时，2<X<L

2a

当〃=工时，x=2；

2

11c

当tz〃〉一时，一《九V2.

2a

综上所述，当0<。<；时，解集为｛x2<x<1>；当a=g时，解集为｛2｝；当当a〉g时,

解集为，x-<x<2>.

a

本题主要考查解分式不等式，考查解含参数的一元二次不等式，属于常考题型.

16.（1）（』-（2）（-?,3g]U「3+后,?）（3）（-2,1）

2222

【分析】

（1）先根据绝对值定义化简不等式，再解一元一次不等式得结果,

（2）先因式分解，再根据一元二次函数图象得结果；

（3）先转化为对应一元二次不等式，再根据二次函数图象得结果.

【详解】

(1)'.12x-1|>2\2x-1>2或2%—1<一2

3113

因此X〉,或x<—5,即不等式解集为(-8,\)里,+8)；

3+3

(2)-."x'+Sx-254o(x-'^Xx--~2^')?0

因此-3+#7或x「3一折,即不等式解集为(_?J3-而］应-3+旧,?)；

2222

1_Y

⑶•••——>0\(1-x)(2+x)>0\(x-1)(%+2)<0

2+x

因此—2<x<l,即不等式解集为(-2,1)

本题考查解含绝对值不等式、解一元二次不等式、解分式不等式，考查基本求解能力，属基

础题.

17.(1)9；(2)(-8,2).

【分析】

]4V4x

(1)%+y=(%+y)(—+—)=5+—+一,利用基本不等式性质即可求得最小值.

xyxy

(2)利用基本不等式求出D的最小值，代入孙>疗+6相求出加的范围即可.

【详解】

解：(1)因为％>0,y>0,

所以x+y=(%+>)(工+3)=5+把+2..5+2，把2

=9,

xyyxY>x

4xy,

当且仅当——二匕，即1=3,y=6时取等号,

y%

所以尤+y的最小值为9.

(2)因为x>0,y>0,

14

所以1=-+—-2

尤y

所以孙..16.

因为孙>+6m恒成立，

所以16>m2+6m，

解得—8<加<2,

所以加的取值范围为(—8,2).

本题考查了不等式恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值问题，属于基础题.

891

18.(1)-；(2)一一<m<-.

522

【分析】

(1)结合已知等式，结合基本不等式进行求解即可；

2,101、

(2)问题转化为解不等式"厂+4机《(z--+—结合已知等式，利用基本不等式

x+1y+2

101、

求出(z一7+--),然后解一元二次不等式即可.

x+1y+2min

【详解】

(1)因为％>0,y>0,2x+5y=S,

所以有孙=[.(2x).(5y)小.(笔笃)2=Jx($2=[,当且仅当2x=5y时，取等

J.\JJ.\J乙J.\J乙J

48

号，即％=2且y=g时，取等号，所以孙的最大值为《；

(2)因为2x+5y=8,所以2(%+1)+5(丁+2)=20,而x>—l,y>—2,

所以有：

10112012012(x+l)+5(y+