高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (63)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题（高难度）（63）

一、选择题（本大题共1小题，共5.0分）

1.在棱长为2的正方体ABC。一公当（71。1中，尸是正方形4。。遇1内（包括边界）的动点，M是8

的中点，且ZPB4=NPMD,则当APAD的面积最大时，|P川的值为（）

A柜B.辿C.越D.这

3333

二、填空题（本大题共17小题，共85.0分）

2.如图，实心铁制几何体AEFCB。由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，己知

BC=EF=ncm,AE=2cm,BE=CF=4cm,AD=7cm,且4EJLEF,

AD，底面4E凡某工厂要将其铸成一个实心铁球，假设在铸球过程中原材料

将损耗20%,则铸得的铁球的半径为cm.

3.在正方形ABC。中，AB=2,E、尸分别是BC、CD的中点，现在沿4E、AF及E尸把这个正方

形折成一个空间图形，使B、C、。三点重合，重合后的点记为4,那么，这个空间图形的外接

球的表面积是

4.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、

球的表面积之比为__________________

5.正四棱锥的高与底面边长相等且体积为“以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱的中点的球

的表面积为.

6.在三棱锥S-ABC中，SA_L平面ABC,^ABC=120°,SA=45/2.若三棱锥S-ABC外接球的

体积为等，则直线SC与平面4BC所成角的余弦值为

7.如图，在四棱锥P-4BCD中，四边形A8C。为矩形，平面P4O_1平

面48C0.若4BPC=90°,PB=V2,PC=2,则四棱锥P-ABC。的

体积的最大值为.

8.已知圆锥的轴截面是等边三角形，该圆锥的体积为黑则该圆锥的侧面积等于——

9.如图所示,在长方体ABC。一A'B'C'D'中，CO=CC'=2,BC=1,

E为线段AB上一点，若。。与平面。EC所成角的正切值为点则

AD'EC的面积为.

10.半径为2的球。内内置一圆锥，则此圆锥的体积最大值为

11.古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时

期的单檐建筑中较多存在的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天，A4纸

之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近声:1，我们称这种满足e:1的矩形

为“优美”矩形.现有一长方体4BCD-4出6。1，ADT=2V6,AC=2瓜,4G=26，则

此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为.

12.已知球的直径SC=2.A,B是该球球面上的两点，AB=y[2,^ASC=ABSC=45°,则棱锥S-

48c的体积为.

13.已知三棱锥4一3。。中，4。=力。=8。=8。=3,48=。。=2,则该三棱锥的外接球的表面

积是•

14.己知三棱锥S-4BC的所有顶点都在球。的球面上,SC是球。的直径,SC=4，AC=BC=2VL

AB=2,则三棱锥S-ABC的体积为.

15.一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且________,由这些面所围成的多面

体叫做棱柱.

16.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在表面积为曾的球面上，底面A8C是边长为旧的等边三角

16

形，则三棱锥P-ABC体积的最大值为

17.在空间四边形ABC。中,MM分别是BC,44的中点，则2MN与AB+CD

的大小关系是

18.已知一个正方体ABCD-4/iGDi的内切圆柱的上底面位于4B1GD1内，正方体4BCD-

41B1C15的中心为E,F为Ci5的中点.若点。在该正方体的表面上运动，且OEJ.CF,则点。

的轨迹所在的平面截该内切圆柱所得到的椭圆的离心率为.

三、解答题(本大题共U小题，共132.0分)

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCC为直角梯形，AD//BC,ABAD=90°,PAJ■底面

ABCD,且4。=2,AB=BC=1,M为PD的中点.

(1)求证：CM〃平面PAB；

(2)求证：CD1平面PAC.

20.如图，在四棱锥P-48C。中，P4I5?®ABCD,AD//BC,AD1CO,且40=CD,/.ABC=45°.

(1)证明：AC1PB.

(2)若4。=V2PA，试在棱尸B上确定一点M,使0M与平面尸48所成角的正弦值为当i.

21.如图，在四棱锥P-ABCD中，P4J_平面ABCD,AD//BC,AD1CD,且40=CD,AABC=45°.

(1)证明：AC1PB.

(2)若4D=&PA，试在棱PB上确定一点"，使0M与平面PA8所成角的正弦值为鬻.

22.在四棱锥P-ABC。中，E是侧棱PC的中点，AP4B是正三角形，四边形A8CD是直角梯形,

S.AD//BC,BC1CD,AABC=60°,BC=2AD=2,PC=3.

⑴求证：DE〃平面P4B；

(2)求直线BE与平面PAB所成角的正弦值.

23.如图，在三棱锥P-ABC中，PAIAB,PAIBC,AB1BC,PA=AB=BC=2,。为线段AC

的中点，E为线段PC上一点.

(1)求证：平面BDE平面PAC.

(2)当PA〃平面时，求三棱锥E-BCD的体积.

24.如图，PA平面ABC,PA=V2,AB=1,BC=遮，AC=2.

B

(1)求证：BC1平面PAB；

(2)求二面角B-PA-C的大小.

25.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABC£＞是菱形，且AC与8。交于点0,P4_1平面488,48=4。,

M是尸C上一动点.

(1)求证：OM_LBD；

(2)若PB1P。，三棱锥P-4B0的体积为立，求四棱锥P-4BCD的表面积.

26.如图(1),六边形ABCOEF是由等腰梯形ADE尸和直角梯形ABC。拼接而成，且

ZBADZADC9(),=AF=EF=ED=2,AC=CD=4,沿AO进行翻折，得到的图

形如图(2)所示，且NAEC5M).

图(1)图(2)

(I)求证：CD_L平面ADEF；

(11)求证：点&。,8,尸不在同一平面内；

(HI)求翻折后所得多面体A8CDEF的体积.

27.四棱柱4BCC-AB'C'D'的底面是菱形，44'1平面488,AB=2,/.BAD=60。，点P是侧棱

CC'上的点AP1PB

(1)证明：API平面「85

(2)若尸是CC'的中点，求四棱锥P-ADD%'的体积.

28.如图，直三棱柱ABC-A/】Ci的侧棱长为1,AB=AC=1,BC=V2.。是BC的中点.

AiC.

B

(1)求证:AD1平面BiBCCi；

(2)求三棱锥区一AOCi的体积.

29.平面四边形ABC。中，NDAB:;,AD=AB,△BCD为等边三角形.现将△力BC沿B。翻折得

到四面体P—8C0,点E,F,G,H分别为P2,PD,CD,C8的中点.

D

A

B6H

(I)求证：四边形EFGH为矩形；

(口)当平面PBO_L平面C8。时，求直线BG与平面PBC所成角的正弦值.

四、多空题(本大题共1小题，共4.0分)

30.如图所示，在长方体4BC0-AiBiGDi中，AB=BC=1,AAr=2,

P是上的一动点，则。P的最小值为_(1)_；ZP+PG的最小值

为_(2)一

【答案与解析】

1.答案：D

解析：

本题考查了与圆有关轨迹问题，考查了立体几何与平面解析几何相互结合，属于中档题.

利用三角形相似求得|P*=2|P0|,建立直角坐标系，转化成平面解析几何找出P点的轨迹方程，

轨迹与“5的交点即为P点的理想位置，然后求解.

解：由题意可知，XABP八DMP,所以|P4|=2|PO|,

以所在直线为x轴，的中垂线为y轴建立直角坐标系，

则4(-1,0),0(1,0),设P(x,y),所以(x+l)2+y2=4Q-l)2+4y2,

即0-$2+、2=字所以点P的轨迹是以(|,0)为圆心，半径长为狗圆(在面ADD出内的部分).

所以圆与。01相交时△PAD的面积最大，此时交点坐标为(1,竽)，

所以|P川的最大值为竽.

2.答案：V3

解析：

本题考查简单几何体的体积，考查运算求解能力，属于中档题.

由题设铸得的铁球的半径为r(cm),计算求解即可得到答案.

解：设铸得的铁球的半径为r(cm),

依题意，可得该几何体的体积为：x2xTTx4+；x；x2xJrx(7-4)=5TT,

则5TTx(1-21%)=；仃3,解得r=V3-

M

故答案为我.

3.答案：6兀

解析：

本题考查几何体的体积的求法及球的表面积公式，考查线面垂直的判定，属于中档题.

关键是利用线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，得到折叠后三棱锥的高.

解：以A£,EF,AF为折痕，折叠这个正方形，使点B,C,。重合于一点”，得到一个四面体，如

图所示,

因为在折叠过程中，

始终有AB1BE,AD1DF,

即AH1HE,AH1HF,

又因为HECHF=H,HE,HFu平面EFH,

所以AHI平面EFH,则高为4H=2,

又因为HEJ.HF,

所以可以将四面体补形成一个长方体，则外接球球心为AF中点,

可得其外接球的半径为'/+P+2Z=渔，

22

所以外接球的表面积为67r.

故答案为67r.

4.答案：6：V5+1：4

解析：解：设球的半径为R,贝IJ圆柱的表面积为Si=2兀/?2+2兀R-2R=6兀R2,

圆锥的表面积S2=TIR2+nr/?-V5/?=(V5+1)TTR2,

球的表面积S3=4兀/?2,

所以表面积之比为6：V5+1：4.

故答案为：6：V5+1：4.

由表面积公式分别求得表面积.

本题考查表面积公式，属于简单题.

5.答案:67r

解析:

本题考查四棱锥与球的组合体的计算问题，属于中档题,

解：设正四棱锥的高为x,则?=|,X=2,则球心到四条侧棱中点所在平面的距离为1,

四条侧棱的中点构成的正方形的边长为I,其外接圆的半径为W,

2

所以球的半径为R=fl+i=[L

7272

经过四棱锥四条侧棱的中点的球的表面积为47TR2=67r.

6.答案：亨

解析：

本题考查了直线与平面所成角，设01为△ABC的外心.。为三棱锥S-ABC外接球的球心，取SA的中

点。，由三棱锥S-ABC外接球的体积先求得0S=。4得四边形DAO]。为矩形，再由正弦定理可得

AC的长，由勾股定理得SC,由S4工平面A8C知,NSC4是直线SC与平面ABC所成角，由coszSCA=竽

得答案

解：设。1为4ABC的外心.。为三棱锥S-ABC外接球的球心.由SA，平面ABC.

0011•平面ABC,ASAZ/OOi，

取S4的中点。，由三棱锥S-ABC外接球的体积为等.

得OS=0A=4.可知四边形。力。1。为矩形.

又S4=4V2.

DA=。1。=2企.

•••△ABC外接圆的半径为「=AO】=42-(2V2)2=272.

在△ABC中，由勿=缶，得"=2倔

由勾股定理得SC=y/SA2+AC2=2V14,

由S4J•平面ABC知，NSCA是直线SC与平面ABC所成角.

AC2\[6V21

••.cosz5C/l=-=^==—.

故答案为今

7.答案:乎

解析：解：如图所示，作P014D,垂足为0,作0G1BC,垂足为G,

连接GP./；

•••平面P40J_平面ABCD,平面P40n平面力BCD=AD,：.P01_平面ABCD./，--、■~yG

在小BPC中，•••乙BPC=90°,PB=y/2,PC=2,.-.BC=VBP2+PC2=瓜人*-----------„

BPPC_2>/3

BC~3

设4B=X,则0G=X,

P0=ylPG2-OG2=/--X2,

A

Vp-ABCD=]P0•SABCD=3

...G=I©_x2）x2w|器磬）2=（|）3,当且仅当X=日时取等号.

•'•^P-ABCDW平，

如图所示，作P0140,垂足为。，作。G1BC,垂足为G,连接GP.利用面面垂直的性质定理可得：

RP-PC__.

P。J•平面ABCD.在Rt△BPC中，可得PG=-^.设4B=x,则。G=x,可得P0=VPG2—g,利

BC

用Vp-ABCD=^P。，S4BC。，及其基本不等式的性质即可得出•

本题考查了线面垂直的判定与性质定理、直角三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、三棱锥的体

积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

8.答案：27r

解析：

本题考查圆锥的结构特征，侧面积及体积，属于急基础题.

由轴截面为等边三角形可知，母线长=底面直径，且夹角为结合体积可求圆锥的底面半径，进

O

而求出侧面积.

解：设圆锥的底面半径为r,母线长为/,

由题意得2=2r,高h=2rsin"v/3r.

<5

又圆锥的体积为更兀，

3

所以1-TrrL/ir：追m解得r=l.

33

所以圆锥的侧面积为仃1：27r.

故答案为27r.

9.答案：V5

解析：

本题考查了空间距离的计算，线面垂直，面面垂直的判定，属于中档题。

过点。作DM_LEC于点连接D'M,过点。作DN1D'M于点N,得面_1_面。缶。，贝吐D/TM

即为0。'与平面D'EC所成的角，可得解.

解：

过点。作DM1EC于点M,连接D'M,过点。作DNID'M于点N,

因为DD'l面ABC。，ECc®ABCD,所以0。'J.EC,

又。。CDM=D,所以EC_L面。DM,又ECu面D，EC,

所以面C'DM1面D'EC,贝IJNDZTM即为。。与平面。EC所成的角，

所以tan/DD'M=器=}

解得DM=1,所以。M=遍，Z-DCM=30°,

所以NBCE=60。，所以EC=2,

所以△D'EC的面积为：EC-D'M=V5.

故答案为通.

10.答案：誓

81

解析：

本题考查圆锥的体积计算，利用导数研究闭区间上函数的最值，属于中档题.

根据题意，进行求解即可.

解：设球心到圆锥底面的距离为d,圆锥底面半径为r,"=4-d2,(0<d<2),

则：此圆锥的体积为V=1zrr2(d+2)=g•(d+2)(4—d2),

求其导数V'=：(4-3d，--Id)=—13d-2)(d+2),

因为0VdV2,

当0<d<|时,V>0,丫单调递增;

当：<d<2时，V'<0,丫单调递减；

则当d=|时，V'=0,此时体积V取最大值，最大值为翳.

故答案为答.

O1

11.答案：4

解析：

本题考查了长方体的相关计算，属于基础题.

根据长方体的体对角线和面对角线得出棱长，再判断“优美”矩形的个数即可.

解：由长方体ABCD—4当的劣，AD】=2e，AC=2后AC、=2小，

则4B=G5=JAC/-AD」=2>

2

AA±=CCi=JAC^-AC=2鱼，

AD='JAC2-CD2=4，

所以署=力=传处=2=0吟=2手近

必2V2AB2AB

所以“优美”矩形有DCCM、ADD1%、BCC/i共4个，

故答案为4.

12.答案：|

解析：

本题考查棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求

解能力，是中档题.

设圆心为O,连接40,80,由SC是球的直径，得到NSBC=90。,推导出BS=BC,A。J.SC,B。1SC,

从而SCI平面ABO,且由题可推断出20_L8。，由此能求出棱锥S-ABC的体积.

解：设圆心为0,连接AO,BO,

由SC是球的直径，得到z5BC=90。，

vZ.ASC=Z.BSC=45°,BS=BC,401SC,801SC,

又•：AOCBO=O,AO,BOu平面ABO,

ASC1•平面ABO,

由题可知SC=2,则40=8。=1,且知48=近，

.-.AO2+BO2=AB2,故A。JLBO,

.••棱锥S-ABC的体积为：

__11

^S-ABC=^S-ABO+^C-ABO='S。+^S^AB0-CO

=1SA4BO-SC=-x-xlxlx2=-.

故答案为：

13.答案：88/r

解析：解：•••三棱锥4-BCO中，AD=AC=BC=BD=3,AB=CD=2,即对棱长相等，

可把该三棱锥放到长方体中，其对角线分别为3,3,2,设长方体的长宽高分别为〃，b,c,

；a2+b2=9

则a2+c2=9>

-b2+c2=4

故22

4R2=a+b+C2=22,

故则该三棱锥的外接球表面积S=4nR2=887r.

故答案为：887r.

由三棱锥的对边相等可得三棱锥力-BC。为某一长方体的对角线组成的三棱锥，求出长方体的棱长

即可得出外接球的半径，从而计算出外接球的表面积.

本题考查了棱锥与外接球的位置关系，棱锥的体积计算，转化思想，属于中档题.

14.答案：迺

3

解析：

本题考查球的性质，考查棱链的体积，属于中档题.

首先证明SC-L平面ABO,再求出54048，从而得到%-ABC=^S-ABO+SjABO，

的的结果.

解：由于SC是球。的直径，所以ZS4C,NSBC为直角，

由SC=4,AC=BC=2V2,AB=2,

所以SA=SB=J-(2烟2=2V2>

所以44SC与/BSC为等腰直角三角形，

。为SC的中点，所以401SC,BO_LSC,

所以SC1平面A8。，

所以工048=1x2xV22—I2=V3,

所以%-48C=^S-ABO+^C-ABO=3XbX2+-XV3X2=

故答案为延.

3

15.答案：每相邻两个四边形的公共边都互相平行

解析：

本题考查了棱柱的定义，属于基础题.根据棱柱的定义可得结论.

解：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平

行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

故答案为：每相邻两个四边形的公共边都互相平行.

16.答案：V3*

解析：解：设球的半径为R,由题意可知，4兀/?2=鬻，得R=2.

16o

如图:

p

•••底面ABC是边长为百的等边三角形，

二要使三棱锥P-4BC体积的最大，则三棱锥为正三棱锥，

过P作PG1底面ABC,则G为三角形ABC的中心，

连接AG并延长，交3C于£>,则4。=J(b)2_岁2=|,

23

/1G=-x-=1,

32

设三棱锥的高为〃，

设球心为0,在RtAOGA中，由(/I-R)2+AG2=R2,

W/I2-2x—/I+1=0,

8

解得：h=4或/1=[(舍).

••・三棱锥P-4BC体积的最大值为:xixV3x|x4=V3.

故答案为：V3.

由题意画出图形，结合已知可得，所求三棱锥为正三棱锥，求出三棱锥的高，可得三棱锥P-48C体

积的最大值.

本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，明确所求三棱锥为正三棱锥是

关键，是中档题.

17.答案：2MN<AB+CD

解析：

本题考查了空间四边形的性质，中位线定理，及将空间问题转化为平面问题的思想方法.

先利用中位线定理，得PN=)D,再在平面三角形MNP中，再利用三角形两边之和

大于第三边的性质比较2MN与AB+CD的大小即可.

解：如图，取8。的中点P,连接MP,NP,

A

M

11

•••PN=-CD,PM=-AB,

22

•••PN+PM=^CD+AB),

•••在三角形MNP中，PN+PM>MN,

：.^CD+AB)>MN,

即2MN<4B+CD.

故答案为2MN<AB+CD.

18.答案:-

5

解析：

本题主要考查立体几何中线面位置关系以及圆锥曲线的概念，属于较难题.

用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得到一条截口曲线为椭圆，根据题意解出答案.

解：不妨设正方体的棱长为2.

如图，P是正方形。CCiA的中心，则EP矩形。CC15,

0的轨迹为过直线EP且垂直于CF的平面a与正方体的交线.

因为平面〃平面B/C1C,

所以平面a与两平面的交线MN//MM，

同理可得NM//MM1，所以四边形MNNi"i为矩形.

如图，平面a与正方体的四条棱分别交于N,M，M,%四点，

分别取CC],BBi的中点G,H,

因为点尸和点G分别为。传1和CCi的中点.

所以FG=：DiG=[GC=CG.

又因为4FC1C=Z.GCD=90°.

所以aFGC三△GCD,所以4GFC=ZTGD.

又因为NFQC+“iCF=90°,所以/CGD+ZQCF=90°.

。是FC和OG的交点，

则"QC=180°-(乙DGC+4cleF)=90。，所以FC1GD.

又因为FCJLAD,ADdGD=D,AD,GDAHGD,

所以FC_L平面A”G£),

所以。的轨迹所在平面a与平面AHG。平行，可以求得DG=V22+I2=V5>

故椭圆的长轴长为近，短轴长为2,所以离心率为日，

故答案为更.

5

19.答案：证明：(I)取PA的中点E,连接ME、BE,

又M为PD中点,则ME〃4D,ME=^AD,

因ZD〃BC,AD=2,BC=1,

ME//BC,ME=BC,

四边形BCME为平行四边形，[BE〃CM,

,:BEu平面PAB,CM<t平面PAB,

•••CM〃平面PAB-

(H)在梯形ABC。中，AB=BC=1,AD=2,ABAD=90°,

取AO中点H,贝lJCHJ_40,CH=1,AH=HD=1,

AC=CD=V2>

vAC2+CD2=AD2,■■■CD1AC,

又：PAJ■平面ABCD,CDu平面ABCD,CD1PA

■■■PACtAC=A,P44Cu平面PAC,

CD1平面PAC.

解析：本题考查线面平行与线面垂直的判定.

(I)在平面PAB中作CM的平行线，再由线线平行=线面平行即可；

(II)利用平面几何知识，解直角梯形ABC。，证明CD与AC的垂直，再由线线垂直=线面垂直.

20.答案：解：(1)因为40_LC。，且4D=C0,

所以N4CD=NDAC=45。，所以NBCA=45。，

又因为NABC=45。，所以4BAC=90。，即4clAB,

因为PA1平面ABCD,ACu平面ABCD,

所以241AC,

又因为H4CAB=4,所以AC_L平面PAB,

因为PBu平面PAB,所以AC1PB.

(2)如图:

取8c中点E,以A为坐标原点，AE,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

系A-xyz,

设P4=l,则4(0,0,0),P(0,0,1),B(V2,-V2,0)>C(V2,V2,0)，D(0,V2,0)，

贝lj丽=(夜，一企,一1)，PD=(0,V2,-l).AC=(V2,V2,0).

设丽=X~PB=(V2A,-V22,-2)(0<A<1).

则丽=PM-PD=(V2A,-V2/L-V2.-/1+1),

由(1)可知，ACJ_平面PAB,即而=(企,企,0)是平面PAB的一个法向量，

设DM与平面PAB所成的角为仇

则sinO=|cos＜丽，前＞|=黑制

_|2A-2A-2|_1__2VH

-V2A2+2(A+l)2+(-A+l)2x2-，212+2(2+1)2+(-入+1)2-21,

整理得20"+82-9=0,解得：兀=1或4=一看(舍)，

所以点M为棱PB的中点.

解析：本题考查线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角.

(1)先证AC_L平面PAB,再由线面垂直的性质即可得证；

(2)取BC中点E,以A为坐标原点，AE,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐

标系4-xyz,设PA=L用0=2而，求出相关向量的坐标，设。M与平面PAB所成的角为仇由

sin。=|cos＜DM’,而＞|=।黑选］=当^列出方程,求得％即可得出.

21.答案：(1)证明：vADLCD,且4。=CD,:.Z.ACD="AC=45°,

•••4BCA=45°,又N4BC=45°,Z.BAC=90°,即AC14B,

又•••P41平面ABCD,PAJ.4C,又〈PACABA，AC_L平面PAB,

/PBC平面PAB,AC1.PB;

(2)解：取BC的中点E,以A为坐标原点，AE,AD,AP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直

角坐标系4-%yz,如图所示：

设P4=l,则4(0,0,0),P(0。1),6(72,72,0),。(0,-企,0),

则两=(V2,-V2,1),PO=(0,V2,-l),^C=(V2,V2,0),

设丽=kPB=(V2A,-V2A,-A)(0<A<1).

则而=PM-PD=(V2A,-yj2A-V2,-A+1).

由(1)可知AC1平面PAB,

.•.前=(或,短0)为平面PA8的一个法向量，

设OM与平面PAB所成角为。，

贝ijsin。=|cos<DM,AC>\=

|2A—2A—21

，2乃+2(—+1)2+(-4+1)2x2

_1_2V21

―72A2+2(A+l)2+(-A+l)2-21，

I()

整理的2042+84-9=0,解得》5或-j()(舍去)，

所以何为棱PB的中点.

解析：本题主要考查线面垂直的性质，空间向量法求线面角，属于中档题.

(1)由已知条件，通过计算得出AC1AB,禾I」用线面垂直的性质由PA1平面A8CO,

得24J.AC,再利用线面垂直的判定得AC_L平面PAB,再利用线面垂直的性质得ACJLPB；

(2)解：取BC的中点E,以A为坐标原点，AE,AD,AP所在的直线为x轴，)，轴，z轴建立空间直

角坐标系，设两=2而由(1)可知AC_L平面PAB,.•.尼为平面PA8的一个法向量，0M与平面

P48所成角的正弦即为而与前所成角的余弦的绝对值，列出关于；I的方程，解出;I即得结果.

22.答案：解：(1)证明：取尸8的中点F,连接EF,AF,

因为E尸是APBC的中位线，所以EF〃BC,且EF=^BC.

又因为4D〃BC,AD=|BC,

所以EF//AD,所以四边形E/弘。是平行四边形，

所以DE〃河，

又因为DEC平面尸48,4尸u平面尸AB,

所以DE〃平面PAB.

(2)取AB的中点Q,连接PQ,CQ,

因为APAB是正三角形，所以PQ14B,

在直角梯形ABCQ中，连接AC,

因为N4BC=60°,BC=2AD=2,

计算可得力B=AC=2,所以CQ=V1，且CQ_LAB,

又因为PQnCQ=Q,所以4B_L平面PCQ,因为ABu平面PAB,所以平面PCQ1平面PAB,

过点E作EG1PQ,垂足是G,连接BG,则4EBG即是直线BE与平面PAB所成的角，

在△?(?£1中，PQ=QC=V3>PC=3,

所以晶=小/3。。4,又易得8E=?

所以sinz_EBG=g=—»

所以直线BE与平面PAB所成角的正弦值是当

解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系，考查运算求解能力，是中档题.

(1)由题意结合中位线和平行四边形的知识，推导出DE〃AF,从而由线面平行的判定定理可得；

FC

(2)取AB的中点Q,连接P。，CQ,推出4EBG即为直线BE与平面PAB所成角，由sinNEBG=3三

DE

可得答案

23.答案：(1)证明：PAIAB,PA1BC,ABCBC=B,所以PA1平面ABC,

因为80u平面ABC,所以P4J.8。，

又因为AB=BC,。为AC的中点，

所以BD1AC,

又PAnAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC,

所以BD1平面PAC,

又BDu平面BDE,

所以平面BDE1平面PAC；

(2)解：因为PA〃平面BOE,PAu平面PAC,平面PACn平面BDE=DE,

所以PA〃DE,

因为。为AC的中点，所以E为尸C的中点，

所以DE=[PA=1.,BD=DC=V2.

由(1)知，PAJ_平面ABC,所以DEI平面ABC,

EBCD

所以V_=JSABCDDE=ixBDDCDE=i

3O3

所以三棱锥E-BCD的体积为g.

解析：本题考查面面垂直的判定以及三棱锥的体积.

(1)通过去证80与PA,AC垂直，证得BD_L平面PAC,进而可得面面垂直;

(2)求出DE=gPA=1,BD=DC=M，由(1)知，PA_L平面A8C,所以DE1平面A8C,然后由

三棱锥的体积公式求解即可.

24.答案：证明：(1)•••P4_L平面A8C,BCu平面ABC,

PA1BC.

在△ABC中，AB=1,BC-V3>AC=2,

AB2+BC2=AC2.：.AB1BC.

y.PAC\AB=A,AB,PAu平面PA8.

BC_L平面PAB.

解：(2)•••PA_L平面ABC,AB,ACu平面ABC

PALAB,PA1AC.

■.NBAC为二面角B—PAC的平面角.

.,nABCV3

smZ-BAC=—=——

AC2

•••^BAC=60°,即二面角B-PA-C的大小为60。.

解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意

空间思维能力的培养.

(1)推导出PA_LBC,AB1BC,由此能证明BC_L平面PA8.

(2)由PAL平面ABC,得484c为二面角8-P4C的平面角.由此能求出二面角8PAe的大小.

25.答案：解：(1)_L面ABC。，BDc®ABCD,PALBD.

底面ABC。是菱形，.••8。1AC.

•••PAHAC=A,PAu面PAC,ACu面PAC,

BD1面PAC,

"0Mu面PAC,■■■0M1BD.

(2)设菱形的边长为无，AB=AC,

：.ZABC=J,ZBAD=1

在,BD2=AD2+AB2-2AD-AB-cos^BAD=3x2,BD=V3x«

vPAIffiABCD,AB=AD,PB1PD,PB=PD=—x,PA=—x.

22

2

SAABD=^AB-AD-sinz.BAD=^x,

VP-ABD=QSAABD'PA=\'Y%2'M

x=l,PA=—,PD=PB=

22

,「NABC=1.ACAB1,...pc=PB=­.

«52

S=^ABCD+2sApAB+2sAPBC，

解析：本题考查线面垂直的判定与性质，锥体的表面积，难度适中.

(1)由P4JjgABCD,得P418D,进而得面PAC,得结论.

(2)由余弦定理得BD=V3x,PB=PD=PA=当％，^AABD=Rx?,

根据三棱锥P-ABD的体积为立，可得PA=立,PD=PB=^，可得结论.

2422

26.答案：(I)证明：在等腰梯形AQEF中，作EMJ.4。于M,

则4M=3,EM=6,

■•AE—V3+9-2V3-

连接AC，则nC=4VL

•••ZAEC=90",FC=2A/5.

AED2+DC2=EC2,.-.CDLED；

■：CD1AD,ADnEDD，AD,EDu平面ADEF,

,CDJ■平面4DEF.

(H)证明：设G为CD中点，则易知ABGD为平行四边形，

故BG〃AD,又EF〃AD,

所以FE//BG,

于是由(I)知，。。1平面4。£凡而CDu平面ABC£>,E,F,B,G共面，

而C显然不在此平面内，

所以点E,C,B,F不在同一平面内.

(UI)解：由(I)知，CD，平面ADEF,而CDu平面ABCD,

平面SBC。1平面ADEF.

■.EMLAD,平面ABCDR平面ADEFAD.EMU平面ADEF,

lSC

EMJ•平面A8C£>，，VABCDEFV。ADEF+VFABC.ADEFD--SAABcEM

J«5

=^x^x(2+4)xv/3x4+ixix2x4x>/3=^7^.

解析：本题考查线面垂直的判定、四点共面问题和棱锥的体积公式，考查空间想象能力、推理能力

和计算能力，属于一般题.

(I)利用线面垂直的判定定理即可求证；

(口)设G为CD中点，由E,F,B,G共面，而C显然不在此平面内，即可求证点瓦C,B,F不在同

一平面内；

V

(HI)利用VABCDEFCADEFMABC.^SADEFCD-jsAABuEM即可求解・

*5«)

27.答案：(I)证明：连接AC.

由/L4'J"平面ABCD,得A4'1BD,

又底面ABC。是菱形，

所以BDA.AC.

而AC,AA是平面aCC'A内的相交直线.

所以BD_L平面4CC'4',

又A'Pu平面4CC'4,所以BO1A'P.

又4P1PB,BDCPB=B,BDu平面PBD,PBu平面PBD,

所以AP1平面PHD.

(E)解：连接AC,

当P是CC'中点时.设CC'=2a,贝lJPC=PC'=a,

2

则有4尸2=A>C>2+pc<2=12+a,

PB2=PC2+CB2=a2+4,

A'B2=A'A2+AB2=4a2+4,

又乙4'PB=90。,所以4炉+。。2=4片,

即12+a?+a?+4=4a2+4,a=V6>

故侧面4DD'4’的面积为S=AD-AA'=2x2\[6=4遍.

点P到平面ADDS'的距离就是底面菱形的高h,易知九=V3,

所以四棱锥P-ADD'A'的体积为"=is/i=X4V6XV3=

4^2.

解析：本题考查线面垂直的判定，考查四棱锥的体积求法，属于中档题.

(I)易证BD1A'P,A'P1PB,利用线面垂直的判定即可证明；

(H)利用棱锥体积求法求解即可.

28.答案：(1)证明：在△ABC中，AB=AC,力是BC的中点，

所以AD1BC,

又因为ABC-AjBiC)是直三棱柱，

所以BiBJ•平面ABC,

因为4。u平面ABC,

所以AD±BB|,

因为BC、BB[UB[BCCT，BCnBB!-B,

所以AD1平面ZBCCj.

(2)解：由(1)可知，AD1.平面BiBCG，且AD：BC,炉

所以Vfii-ADCi=Kl-BiDCi