第13讲 椭圆（十大题型）-2023年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）（解析版）

第13讲椭圆

【题型归纳目录】

题型一：椭圆的定义

题型二：求椭圆的标准方程

题型三：椭圆的综合问题

题型四：轨迹方程

题型五：椭圆的简单几何性质

题型六：求椭圆的离心率

题型七：求椭圆离心率的取值范围

题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围

题型九：椭圆中的范围与最值问题

题型十：焦点三角形

【知识点梳理】

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点P到两个定点耳、工的距离之和等于常数(|尸耳|+|尸闾=24＞旧用)，这个动点P

的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

知识点诠释：

若归耳|+归&=1耳闾,则动点P的轨迹为线段£工；

若忸用+1尸用＜山用，则动点P的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的标准方程

22

1、当焦点在X轴上时，椭圆的标准方程：=+\=1(。＞。〉0),其中。2=。2一〃；

ab

22

2、当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：'+==1(。＞人＞0),其中。2=。2一〃；

a~b

知识点诠释：

(1)这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准

方程；

(2)在椭圆的两种标准方程中，都有。＞匕＞0和/=。2—

(3)椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0),(-c,0)；当焦点在y轴

上时，椭圆的焦点坐标为(0,c),(0,-c)；

(4)在两种标准方程中，•.•M〉/,.♦.可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.

知识点三：求椭圆的标准方程

求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：

(1)待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程

中的参数4,b,即：“先定型，再定量②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设

其方程的一般式：tnx2+ny2=1(加,">0且mxn).

(2)定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再

定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.

知识点四：椭圆的简单几何性质

我们根据椭圆二+==1(。〉人>0)来研究椭圆的简单几何性质

ab

椭圆的范围

椭圆上所有的点都位于直线a和y-±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足国仅区A

椭圆的对称性

对于椭圆标准方程7+炉=1,把x换成-x,或把y换成或把x、y同时换成・x、方程都不变,

所以椭圆二+与=1是以X轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这

a~b

个对称中心称为椭圆的中心。

椭圆的顶点

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

22

②椭圆»1(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为4(-«,0),4

(a,0),Bi(0,-b),Bi(0,b)o

③线段4A2,B|&分别叫做椭圆的长轴和短轴，|4A2|=2a,|S&|=2b。“和b分别叫做椭圆的长半轴长

和短半轴长。

椭圆的离心率

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e=一.

a

②因为所以e的取值范围是0<e<lce越接近1,则c就越接近a,从而Cuja'-c?越小,

因此椭圆越扁；反之，e越接近于0,c就越接近0,从而力越接近于0,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当

时，c=0,这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为*+尸=/。

知识点五：椭圆标准方程中的三个量。、氏c的几何意义

椭圆标准方程中，〃、6、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示

椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a>h>0,a>c>0,且a2=h2+c\

可借助下图帮助记忆：

。、尻c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，氏c为两条直角边。

和a、氏c有关的椭圆问题常与与焦点三角形AP£乃有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定

理（或勾股定理）、三角形面积公式5衅居=；|P£HPE|sinNKPF相结合的方法进行计算与解题，将有

关线段|「周、|P用、闺闾,有关角/月正尸2（/£尸"4/£8/）结合起来，建立|「用+|尸用、|班|・|「用

之间的关系.

知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较

2222

标准方程A力1-铲+:=13>。)

斗

y\

图形电

X

焦点片(-c,0),工(c,0)6(0,-c),工(0,c)

性质

2222

焦距\F}F2\=2c(c=yJa-b)|耳工|=2c(c=>Ja-b)

范围\x\<a,\y\<b\x\<b,|y|<«

对称性关于x轴、y轴和原点对称

顶点(±a,0),(0,±Z?)(0,土a),(+b,O)

轴长轴长=2a,短轴长二2〃

离心率e=—(0<e<1)

a

22

知识点诠释:椭圆»方=1,（a>h>0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关

系都有〃>/>>0和0=£（0<6<1）,金冉洛不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；

a

椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看『、丁的分母的大小，哪个分

母大，焦点就在哪个坐标轴上。

【典例例题】

题型一：椭圆的定义

例1.（2023・四川南充•高二四川省南充高级中学校考期末）设定点耳（0,-2）,玛（0,2）,动点P满足条件

归周+归闾=5,则点P的轨迹是（）

A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段

【答案】A

【解析】因为耳（0,-2）,鸟（0,2）,所以忻闾=4,

所以|尸耳|+|产用=5>|耳闾，所以点p的轨迹是以耳，B为焦点的椭圆.

故选：A.

例2.（2023•高二课时练习）设片,月分别为椭圆5+4=1的左右焦点，过月的直线交椭圆于A、8两

点，则AABE的周长为（）

A.12B.24C.2捉D.4m

【答案】D

【解析】由题意可得，对于椭圆鹏+二=1有长半轴长〃=后，

64

又过《的直线交椭圆于A、B两点,

故△48名的周长|AB|+|A巴|+|8用|=|AFl\+\AF2\+\BFl\+\BF2\

=4。=4A/6,

故选：D

例3.（2023・高二课时练习）已知A（-5,0）,3（5,0）,动点C满足|4C|+忸C|=10,则点C的轨迹是

（）

A.椭圆B.直线

C.线段D.点

【答案】C

【解析】因为A（-5,0）,8（5,0）,

所以|AC|+|Bq=10=|AB],知点C的轨迹是线段AB.

故选：C.

例4.（2023・上海静安•高二校考期中）设P是椭圆片+廿=1上的动点，则尸到该椭圆的两个焦点距离之和

64

为（）

A.瓜B.2近C.4D.2限

【答案】D

22

【解析】椭圆j+L=1,则4=6,所以4

64

因为P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两个焦点距离之和为2a=2瓜

故选：D

例5.（2023.全国.高二专题练习）已知点4（-7,0）国（7,0）,动点-满足1PAi+|「回=16,则点P的轨迹为

（）

A.椭圆B.直线C.圆D,线段

【答案】A

【解析】A（-7,0）,8（7,0）,

故|AB|=J（_7_7）=14,

又•|%+|P3|=16>|明=14,

根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆.

故选：A.

题型二：求椭圆的标准方程

例6.（2023・上海・高二专题练习）方程炉可万+"不丁'=12,化简的结果是（）

【答案】B

【解析】由Ja-2y+y2+J（x+2）2+y2=12,可得点M（x,y）到定点耳（2,0）,5（-2,0）的距离之和等于

12,

即|峙|+|峭|=12>忸司=4,

所以动点”（x,y）的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，设其方程为《+¥=1（4＞八0）,

ah

则2a=12,c=2.

所以a=6,〃=4&，

故方程为5+1=1.

3632

故选：B.

22

例7.（2。23・四川内江•高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆吟+＞（”…）的左、

右焦点分别为耳匕过坐标原点的直线交E于RQ两点，且尸入1后。，且S牝0=4,俨用+内。=6,则

椭圆E的标准方程为（）

A.反+*=】B.f4

43

=1

c<4D.—+

95

【答案】C

【解析】如图，连接P耳,。耳，由椭圆的对称性得四边形P耳。"为平行四边形,

所以归周+怩。=忸可+|P周=2a=6,得a=3.

又因为尸鸟，鸟Q,所以四边形9。鸟为矩形，设|尸局=同。局=〃，

则s咕2=Y,=4,所以＜。得｛、或（；

：y2[〃=2[〃=4

则忸闾=2石，则”石，从=/“2=4,

椭圆E的标准方程为三+工=1.

94

故选:C.

例8.(2023・高二课时练习)已知椭圆丁+2丁=储(。>0)的左焦点6到直线丫=》-2的距离为2&,求椭

圆的标准方程.

x2y2

【解析】椭圆/+2/=/(“>0)转化为标准方程得：/+?

T

所以C=J"2—则左焦点尸/一号0,0

V22I2

夜7

----a-2

由点到直线的距离公式可得:2

~7T=2>/2=a=25/2

22

所以椭圆的标准方程为j+—=1.

84

例9.(2023•全国•高二专题练习)求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；

(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为百;

(3)经过点尸(-26,1),。(6,-2)两点.

o2

【解析】(1)若焦点在x轴上，设方程为5■+方=1(">〃>0),

9

:椭圆过点解得片,

•：2a=3x2b,.*./?=1,・♦•方程为工=1,

9

若焦点在y轴上,

设方程为《+工

=1(«>/?>0)

9

•:椭圆过点A(3,0),・・・泼=1,解得匠=3,

22

乂2a=3x2b,：.a=9,...方程为土+工=1.

981

综上所述，椭圆方程为《+9=1或2+匕=1；

9981

a=2c[a=2\/3

(2)由己知，有〈后，解得广,：,b2=a2-c2=9,

a-c=yJ3[c=\l3

若焦点在y轴上，则：+(=1,

若焦点在x轴上，则《+$=1,

129

，所求椭圆方程为二+t=1或片+片=1;

129912

(3)设方程为/nd+町尸=1(〃7>0,〃>0,根。〃),

12m+〃=1

则3…=1'解得

1

n=—

5

则所求椭圆方程为（+[=1.

例10.（2023・广西•高二广西师范大学附属中学校考期中）根据下列条件求椭圆的标准方程:

⑴焦点坐标为E（2,0）,过点尸（|，-|）；

⑵经过两点A（2,-l）,

【解析】（1）设椭圆的长半轴为“，短半轴为6,

因为焦点片的坐标为（2,0）,所以另一个焦点为月（-2,0）,且/-/=4,

又椭圆过点P,所以2a=俨£|+俨闾,

所以2a=旧

所以a=Ji6,故人=指，所以椭圆的标准方程为J+=1；

106

（2）设椭圆方程为加？+政2=]（帆，因为椭圆经过两点4（2,-1）,B,所以

47774-7?=1m=—

8

c3,解得■

1

2n=—

2

17

所以椭圆的标准方程为三+匕=1.

82

例11.（2023•吉林长春•高二校考期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程:

⑴焦点坐标分别为（-3,0）,（3,0）,经过点（0,4）；

（2）焦点在），轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为8,c=G.

22

【解析】⑴设椭圆的标准方程为「+马=1（。＞人＞0）,

依题可得C=3,

将(0,4)代入到方程=1中得6=4,

心a—\Jb2+c2=J16+9=5，

所以椭圆的标准方程为［+［=1.

2516

(2)设椭圆的标准方程为二+==1(。>6>0),

a"b"

依题可得2a=8,即。=4,

所以/?=a2—c2=A/16—3=V13»

所以椭圆的标准方程为工+f=1

1316

题型三：椭圆的综合问题

例12.(2023•广西柳州•高二校考期末)若椭圆C的两个焦点坐标分别是4(-1,0),月(1,0),并且经过点

尸［1,|),过处作x轴的垂线与椭圆相交于A,8两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求三角形ABF1的面积.

【解析】(1)由题知焦点坐标分别是耳(-1,0),6(1,0),...CMI,

设椭圆方程为：£+K=l,将尸位］代入得：I2(2),解得/=4,

a'-\I2)-r+-V2-=l,

a-a

⑵过外作x轴的垂线，其方程为x=l,与联立解得：y=±|,

113

•■-5^,=2l^lxM=2X2X2X2=3,

例13.(2023・高二课时练习)已知经过椭圆工+工=1的右焦点尸2的直线AB的倾斜角为;，交椭圆于

434

A、B两点,耳是椭圆的左焦点，求，AB6的周长和面积.

【解析】如下图所示：

由椭圆方程工+)-=1可知。=2,6=6，

43

根据椭圆定义可知AK+AK=2a,BFL=2a,

所以ABF｝的周长为AK+AB+86=4片+46+3耳+3工=4〃=8,

即，A34的周长为8；

易知丹(—1,0),

IT元

乂直线4B的倾斜角为丁，则原8=tan：=l,

44

所以直线A8的方程为y=x-1,设A&,y),5(如、2)

y=x-\

联立f2整理可得7y?+6y—9=0,

——+—=1

143

69

由韦达定理可知y+%=-,，＞1%=-亍；

由图可知，川8耳的面积为S=；恒"/一%|=J(M+必)2一4yly2=

所以AB片的周长为8,面积为止I

7

例14.(2023•高二课时练习)已知椭圆与+==1("＞人＞0)的焦点分别是4(0,-1)、心(0,1),点A、4分别

ab

为椭圆的长轴端点，点B为椭圆的短轴端点，且3/=助2.

(1)求椭圆的方程；

(2)求点B与两点A、4，的连线的斜率的乘积；

(3)设点尸在这个椭圆上，且|「耳|-|「闾=1,求忸耳|的长.

【解析】(1)因为椭圆的焦点分别是耳(0,7)、玛(0,1),所以。=1

又因为3"=462,a2=b2+c2r联立可得1=4,〃=3,

所以椭圆的方程为反+反=1;

43

（2）由4、4分别为椭圆的长轴端点，所以不妨设A（°，2），4（0,-2）,

由点8为椭圆的短轴端点，所以8（6,0）或8（-6,0）,

当8（囱，°）时,%=&$，%=5'

4

所以原4«%=_§，

l1，2-02,-2-02

当先6,0）时，%=百=百％=百=一百

4

所以&叫

4

所以点B与两点4、4的连线的斜率的乘积为-§；

（3）因为点P在这个椭圆上，所以|「耳|+|尸闾=20,由小问（1）知“=2,

所以归用+归段=4,又归用一归同=1,联立可得归用=’

-）2

例15.（2023・高二课时练习）已知椭圆的方程为三+汇=1,若点P在椭圆上，F/,危为椭圆的两个焦

43

点，且NP/诟=120。，求斗鸟的面积.

22

【解析】由\+1~=1,可知a=2,6=后，所以？=勿-/=〃一3=1，从而|耳勾=2c=2.

在△尸耳鸟中,由余弦定理得怛的归尸耳『+|耳用『―2附|.国用xcosNM沼,即

222

|Pfi|=|Pf；|+4-4|P/=]|x（-l）=|Pf；|+2|P/<|+4,①

由椭圆定义得|尸制+|%|=2=4,②

由①@联立可得（4_|「制）2=|尸用2+2归用+4,解得|尸制=4.

所以S"=；|尸耳||耳片|sinNP耳片=L2x苴=延•

22525

例16.（2023・高二课时练习）已知点P在椭圆《+f=1上，斗鸟是椭圆的焦点，且尸耳，「尸2,求

4924

⑴归制M闾

（2）4?6g的面积

【解析】（1）因为椭圆方程为二+匕=1,则。2=49,从=24,02=49-24=25,

4924

即a=7,6=2疯c=5,可得国阅=2c=10,|「耳|+|尸闾=勿=14,

因为PK_LPB，则|P/2+|”|2=（归用+俨可）2_2归用.仍用=|百用2

即⑷-2归用忖段=102,所以|尸£卜|尸鸟|=48.

（2）由<1）得明闻=48,

因为尸耳,尸好，所以5."百=^\PF,\-\PF2\=24.

22

例17.（2023•广西•高二校联考期中）已知椭圆C:「+2=l（a>〃>0）的长轴长是短轴长的/倍，且椭圆

a"b~

c经过点，叫

⑴求椭圆C的方程；

（2）设。为坐标原点，过右焦点尸的直线/与椭圆C交于A,B两点.求使。43面积最大时直线/的方程.

【解析】（1）因为长轴长是短轴长的6倍，则/=3从，

22

所以椭圆C的方程为二+多=1,

31rh2

把点血，竽）的坐标代入上式，得京+京=1，可得从=2,所以/=6,

故椭圆C的方程为三+汇=1.

（2）易知右焦点F的坐标为（2,0）,

若直线/的斜率为0,则O,A,8三点不能构成三角形,

所以直线/的斜率不为0,设直线1的方程为x=+2,

x=iny4-2

x2y2，消去X，得（>+3）y2+4叫-2=0,

-------F--=1

62

2

判别式△=1i6根2+8（/n2+3）=24（W+1）>0,

4"?2

设4（%，%），8（毛，％），则%+%=一-=,%必="厂不，

m+5m+3

2

sA。"=JI。尸I一%I=瓦一y2卜J（X+〉2）-4X%

=114"YI4,<2一2太〃"

Wm2+3）m2+3m2+3

_2y/6t_2>/6276_2#_A

令7^71=々21），则—：——，

72k

当且仅当.=应时，等号成立，即7^11=0,解得旭=±1,

所以此时直线/的方程为x_y—2=0或x+y_2=0.

22

例18.（2023•高二课时练习）在椭圆三+匕=内有一点42,1）,过点A的直线/的斜率为一1,且与椭圆交

8t

于B,C两点，线段BC的中点恰好是4,试求椭圆的方程.

【解析】设过A点的直线/与椭圆交于B（%，x）,C（x2,y2）,如图所示.

两式相减得：（占+%）（%-々）+1（y।+必）（*一必）=°，

ot

・y+%二t

x}-x2x}+x28'

VA为8c的中点，

M+必

即即C,k°A

X1+x28

由题意:限=T，%=:，所以Tx：=-%,即f=4.

22o

22

...所求椭圆方程为二+二=1.

84

例19.(2023•广东江门•高二台山市华侨中学校考期中)已知椭圆的长轴长是2百，焦点坐标分别是

M，o),(72,0),

(1)求这个椭圆的标准方程及离心率；

(2)如果直线〉=》+加与这个椭圆交于两不同的点，求成的取值范围.

【解析】(1)由题意可得2a=2百，c=夜，

所以a=>/3，b'—a1—c1=

所以椭圆的方程为：—+/=1;e=£=1g=峥；

y=x+m

(2)由<X22可彳导4x2+6nix+3nr—3=0»

［厂=1

因为直线y=x+〃?与这个椭圆交于两不同的点,

所以A=48-12加2>o,

解得一2<加v2,

所以用的取值范围为(-2,2).

例20.(2023•浙江宁波•高二校考期中)已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长为4,离心率e=J.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线/：2x-y+〃?=0与椭圆有两个交点，求实数机的取值范围.

C_1

【解析】(1)由题意可知，,解得a=2,b=6,c=l，

a2=b2+c2

故椭圆标准方程为%

(22

(2)由《43，消去了，得19/+16/nr+4m*-12=0，

2x-y+m=0

因为直线/与椭圆有两个交点，

所以△=(16帆)2-4x19(4加*-12)>。，BPm2-19<0,解得一<机<,

所以实数机的取值范围为(-国,M).

例21.(2023•全国•高二专题练习)已知点尸在椭圆;+]=l(a>b>0)上，耳、玛为椭圆的两个焦点，求

ab-

I「耳IIP心I的取值范围.

【解析】由题可知归制+归局三3,|尸上且。-c,a+c],

因为附卜附|=|叫伽-附|)=-附『+浏叫=-(附卜”+合，

.•.|尸耳|=。时,IP甲I尸亮I有最大值"，|尸周=a-c或|P£|Ka+c时,I尸1H尸:I有最小值凡

即|PK|.|P名|的取值范围为[b2,.

题型四：轨迹方程

例22.(2023・山东荷泽•高二统考期末)点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比为1:2,

则点M的轨迹方程为()

A.片+匚12222

B,二+二=1C.王+±=1D

128841612-沁=1

【答案】C

【解析】设M(x,y),

因为点M与定点尸(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比为1:2,

所以J（X,）：+或=）,即4（x-2）2+4y2=（x-8）2,

|x-8|2

整理得上十汇=1,

1612

故选:C.

例23.(2023•安徽芜湖•高二芜湖一中校考阶段练习)已知动圆过定点A(-3,0),并且在定圆&

(x-3)2+V=64的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是(

222，22

口厂八一%

AA.—r+—y=i1B.—y+—=i1c.—y+—=1i

1671672516

【答案】A

【解析】设动圆圆心为M(x,y)，动圆”的半径为，则r=|八例=4》+3)2+/，

因为动圆M在定圆8：(x-3)2+V=64的内部与其相内切，

所以|MB|=8-r,所以|MB|+/=8,即陷+陷=8,

因为A(-3,0),8(3,0)，所以1MBi+|M4|=8>|,

由椭圆的定义可知：M的轨迹为以AB为焦点，长轴长为8的椭圆，

所以a=4,c=3,b?=疗一/=7,

所以动圆圆心M的轨迹方程为X+£=1.

167

故选：A

例24.(2023・高二课时练习)在一ABC中，已知A(-1,()),C(1,()),若a>b>c,且满足

2sinB=sinA+sinC,则顶点4的轨迹方程是()

A.—+—=l(jt<0)B.—+—=l(x<

43v734、

r2v2，

C.+T=l(x>0)D.

【答案】A

【解析】在ABC中，因为2sinB=sinA+sinC,

所以2〃=o+c,

又A(—l,0),C(l,0),贝ij〃=2,

所以a+c=4,即忸。+忸A|=4>2,

由于

所以点8的轨迹是以A(-L0),C(l,0)为焦点的椭圆的左半部分,

由22-T=3,

所以顶点B的轨迹方程是5+?=1(x<0).

故选：A.

例25.(2023•河南洛阳•高二校考阶段练习)已知动圆M过动点A(-3,0),并且在定圆B：(x-3)?+产=64

的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹方程为()

A.4+且=1R"

D.---1---=1

1671625

21>20

C.工-匕=1D.匚工=1

1625167

【答案】A

【解析】设"(x,y),动圆M的半径为一，则y|MA|=J(x+3)2+y2,

因为动圆也在定圆8：(x-3)2+/=64的内部与其相内切,

所以|MB|=8-r,

所以|MB|+r=8,即|四+|幽=8,

因为A(-3,0),8(3,0),所以|M@+|M4|=8>|A屏

由椭圆的定义可知：”的轨迹为以AB为焦点，长轴长为8的椭圆,

所以a=4,c=3,b2=a2-c2=7,

y22

所以动圆圆心M的轨迹方程为±+±V=1.

167

故选：A

例26.（2023.内蒙古赤峰.高二赤峰二中校考期末）已知的周长为12,网-2,0）,C（2,0）,则顶点A

的轨迹方程为（）

A.土+匕=l（x*0）B.—+—=1（y*0）

12161216

C.工+《=1（XH0）D.三+工=1（"0）

1612v'1612

【答案】D

【解析】；的周长为12,8（-2,0）,C（2,0）

.•.忸。=4,\AC]+\AB\=\2-4=8>\BC\,

...顶点A的轨迹是以B（-2,0）,C（2,O）为焦点，氏轴长为8的桶圆（不含x轴上的顶点），

又c=2,。=4,可得。2=/一/=]2,

丫2”2

••・顶点A的轨迹方程为：工+匕=l（ywO）.

1612'

故选：D.

丫2

例27.（2023•上海徐汇•高二上海市徐汇中学校考期中）当点A在椭圆工+丁=1上运动时，连接点A与定

4

点3（2022,0）,则A3的中点P的轨迹方程为（）

A.（I©J-B,（'+2。22）2L

164164

C.（t1。"）+y2=]

D.(x-101+4)，=1

4

【答案】D

【解析】设A（%%）,P（x,y）,

「一+2022

为中点，2，则=2%-2022,、

PAB一2、，即4(2x-2022,2y),

I-2

又A在椭圆>2=1上，...（21022）2+

4y2=1，KP(x-1011)2+4y2=l,

44

/.P点轨迹方程为：（x-10117+4），=1.

故选：D.

例28.（2023•北京通州•高二统考期末）如图，在圆Y+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD

。为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（）

【答案】A

【解析】设M（x,y）,P（xp,yp）,则。（巧,,0）.

M为线段PD的中点，

x=xp

•-%+0，即%=x,力=2y.

y=^~

又点尸在圆0：/+：/=4上，

2

22

/.x+（2y）=4,即Jy2=i

4

故点M的轨迹方程为《+V=].

4

故选：A

例29.（2023•山西运城•高二校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，己知圆A："-2）2+丁=20

（圆心为A）,点B（—2,0）,点尸在圆A上运动,设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q,则点。

的轨迹方程为（）

A.-----y-=1B.x2+-=\

55

2

C.—+y2=\D.3-匕=1

5-5

【答案】C

【解析】圆A：（X—2）2+尸=20的圆心A（2,0）,半径r=2\[s.

由于（一2-2）2+02=16<20,所以8（-2,0）在圆A内，|AB|=4

根据垂直平分线的性质可知|Q4=|Q8|,

所以|出|+|。W=\Q^+\QP\=r^245>\AB\,

所以。点的轨迹是椭圆，S.2a=2y/5,a=>/5.2c=4,c=2,b=yja2-c2=1-

2

所以点2的轨迹方程是y+/=l.

故选：C

22

例30.（2023•黑龙江哈尔滨•高二哈九中校考阶段练习）设P为椭圆C:三+汇=1上一动点，耳工分别为

62

左、右焦点，延长耳尸至点。，使得|PQI=|P可，则动点。的轨迹方程为（）

A.（x-2尸+9=24B.（x+2）2+y2=6

C.（x+2）2+y2=24D.（x-2）2+y2=6

【答案】C

【解析】由椭圆C*+5=l可得"="，c=>/6^2=2,即点片（-2.0）,

依题意,\F,Q\^FlP\+\PQ^PF,\+\PF2[=2a=2-46,

所以动点。的轨迹是以写为圆心，2面为半径的圆，方程为（x+2T+y2=24.

故选：C

例31.（2023•北京•高二北京二中校考阶段练习）设。为坐标原点，动点M在椭圆C：—+/=1±,过

2

M作无轴的垂线，垂足为N,点P满足NP=&MW，则点P的轨迹方程是（）

22

A.~-+y2=\B.-1-+x2=1C.x2+y2=2D.x2+y2=\

【答案】C

【解析】设P（x,y）,N（八0）,则NP=（x-m,y）,NM=（0,M）,

八[rn=x

X-//7=0

MNP=6NM,则｛r-.解得〈夜，

y=72nn=——y

27

由点M在椭圆C：—+/=1±,则工+”2=i,即[+==i,

2222

即点P的轨迹方程是V+y2=2.

故选：C.

例32.（2023•湖北武汉•高二华中师大一附中校考期中）己知匕，用分别为椭圆E:5+V=i的左、右焦

点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形尸月居的重心，则点G的轨迹方程为（）

A.x2+9y2=lB.x2+9y2=l(y*0)

X2y222

—2_l(y^())

C.—+^=1D.+=

819819

【答案】B

2

【解析】耳，鸟分别为椭圆E：?r+y2=i的左、右焦点，・•・耳（-2夜,0）,月（2夜,0）

9

设G（x,y）,P（in,n）,G点是三角形尸耳鸟的重心

-242+2y/2+m

X-

则3,得771=3%

0+0+〃n=3y

y=-------

I3

又尸是椭圆£上一动点，.•.i^X+（3y）2=l，即丁+9），2=1,

乂G点是三角形P月K的重心，，y^O

所以点G的轨迹方程为/+9>2=1（》#0）

故选：B

例33.（2023•甘肃兰州•高二兰州市第二十八中学校考期末）已知圆G：（x+lF+y2=25,圆

2

c2:（x-l）+/=l,动圆M与圆G外切，同时与圆G内切，则动圆圆心M的轨迹