第二章《有理数》

第二章《有理数》

§2.1正数和负数

▲教学目标

1.了解负数产生的必要性；

2.初步理解正、负数表示相反意义的量；

3.知道什么是正数和负数；

4.通过实际问题中的例子，激发学生学习数学的热情.

▲重点与难点

重点：知道什么样的数是正数、负数.

难点：。和负数所表示的意义.

▲教学过程

一、情景导入

教师活动：有理数除了小学里学过的数外，还包括与这些数所表示的相反意义的数，

即负数.不少人认为在生活、生产中有了小学里那些数就够了，为什么还要花费那么多的时

间去学习有理数，特别是那些令人讨厌的负数呢？其实这样想法是错误的.随着数学的发展

和生活、生产的需求，数也随之不断扩充.当要表示个数时，我们只须用小学里学过的那些

自然数0、1、2、…就可以了，比如问你家多少人，你当然只须用简单的自然数就能回答了；

但当问你:将5个苹果平均分给3个小孩，此时如果你对数的认识依然停留在自然数水平上，

那么这个问题你就解决不了，因为这里要用到分数』；我们都知道，水刚结成冰时的温度刚

3

好是0℃,这里的0就是有理数中的零，但我们又知道，每年冬天，我国东北的气温都比南

方的气温低，而且低很多，当冷空气南下时，南方也会出现水结冰的天气，此时南方的温度

是0℃,你说北方，特别是东北的温度显然比0℃低，如何表示这个温度呢？这时要用到一

个比0小的数，那么，比0小的数究竟是一种什么样的数呢？它就是我今天要学习的负数（板

书课题一一负数）.

二、探究新知

1.分别指出下列所述的两个量是不是相反意义的量？

①汽车向东走3千米和向西走2千米；

②温度是零上10℃和零下5℃；

③小明向南走30米和向西走50米；

⑥收入500元和支出328元；

回买进30辆自行车和支出6000元；

2.上述意义相反的两个量，如何用数来表示它们？

学生思考、讨论片刻后，教师总结：日常生活中存在着大量的相反意义的量，为了区分

这一对对意义相反的两个量，我们在它们前面分别放上“+”号和“-”号来表示，其中“+”

读作“正”，表示正号，读作“负”，表示负号.例如，向东走3千米记作+3,向西走2

千米就记作-2；零上10℃记作+10,则零下5℃记作-5；

3.正数、负数和零：

正数：象1,2,3,3.1,2.3,5.26,—1,3—?，63己等这些小学里学过的0除外的数

257

2

就叫做正数；正数前面可以根据需要随心所欲地放上正号“+”，如1可以写成+1,3—可以

5

写成+32；

5

负数：象-23,-2,-2.3,-6巳3等这样的数叫做负数.

7

友情提示：负数具有两个特征，一是带有负号“-"，二是负号“-”的后面是一个正数.

3.零：0既不是正数，也不是负数，而是一个介于正数和负数之间的中性数.零在相反

意义的量中不扮演任何正反角色，它是个袖手旁观者.如在向东走和向西走中，零既不表示

向东走，也不表示向西走，它就是原地不动；在亏本与盈利中，零绝不同情你亏本，也不欣

喜你是盈利，它就象庙里和尚的光头“四大皆空”.

【误点警示】判断一个数的正负性除了看符号外，还应注意符号后面的数是不是正数？

象-0虽然带负号但后面的数是0,而0不是正数，所以-0不是负数；同样，+0不是

正数.

三、巩固练习

1.分别用正数和负数表示下列相反意义的量：

(1)亏本60元和盈利30元；(2)水位上升6米和下降5米；

(3)鞋店里昨天购进了20双皮鞋，今天卖出了18双.

2.下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？

5

+8,-32,0,-3.14,一,~0.3,99,-0.

7

四、归纳总结

1.有理数：整数和分数统称有理数.

(1)整数：正整数、零和负整数统称整数；

a.正整数：像1,2,3,…这些小学里学过的、用来数物的个数的数叫做正整数；

b.负整数：像-1,-2,-3,……这些在正整数前面放上负号“-”的数叫做负整数；

c.自然数：0,1,2,3,……，即零和正整数统称自然数；

(2)分数：正分数和负分数统称分数；

C1Q

a.正分数：像巳，一，3—,2.31,0.6,……这样的正数叫做正分数，正分数显然

7213

是由两个不能整除的正整数的商；

C1Q

b.负分数：像-士，—,-3—,-2.31,-0.6,……这样的负数叫做负分数，负分数

7213

就是在正分数的前面放上负号“-”所得的数；

2、有理数的分类：根据有理数的特征，一般有如下两种分类标准：

(1)按整除性划分，有理数可划分为整数和分数两大家族，其中整数家族除了正整数

和负整数两大超级民族外，还有零这个少数民族；分数家族中只有正分数和负分数两大超级

民族.具体参见如下表(一)：

(2)按正负性划分，有理数可划分为正有理数、零和负有理数三种民族，其中正有理

数和负有理数是两个超级大族，正有理数又划分为正整数和正分数，负有理数划分负整数和

负分数，而零仍然是个少数民族，其族中成员只有孤零零的0.具体参见下表(二)：

'正整数'正整数

正有理数＜

整数＜零正分数

有理数＜负整数；有理数＜零

'正分数'负整数

分数＜负有理数，

负分数、负分数

表（一）表（二）

3.数集：把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称数集.根据数集中的数的特

征，通常对该数集进行命名.常见的有理数数集有：有理数集（即由所有的有理数组成的数

集），整数集（即由所有的整数组成的数集），正数集（即由所有的正数组成的数集），负数

集（即由所有的负数组成的数集），自然数集（即由零和正整数组成的数集）等等.

友情提示：有理数的分类有利于更全面、更清晰认识和掌握有理数的特点，对于各种有

理数要注意仔细区分，特别注意零既不是正数，也不是负数，作为数的正负性，它独霸一方;

2

注意一个数，它可能同时属于几种类型，比如零是整数，又是自然数，再比如--，它既是

3

分数，又是负数.

五、牛刀小试

1.把下列各数填入相应的数集的圈里：

223

20,-38,0,+5,-一，-3.4,96%,3.1415926,

75

2.在有理数909,-33,0,3-,-5.37,95%,-6.4%中，设整数的个数为a,分数的

8

个数为b,正数的个数为c,负数的个数为d,正分数的个数为e,负分数的个数为f,既不

是正数，也不是负数的数的个数为g,有理数的个数为h,则a+b+c+d+e+f+g+h的值等于（）

A.25；B.24；C.23；D.22.

3.2005年10月9日，国家测绘局局长陈邦柱在国务院新闻办新闻发布会上正式宣布,

世界第一峰一一珠穆琅玛峰岩石面海拔高度为8844.43米，测量精度为±0.21米.如果

这里+0.21表示珠穆琅玛峰岩石面海拔实际高度比8844.43米高0.21米，那么-0.21米表

示•

§2.2数轴一5。

▲教学目标-40

1.知道数轴的“三要素”，能正确画出数轴；-30

2.能将已知数在数轴上的位置表示出来，并能说出数轴上的点所表示「2。

的数；一10

3.了解数轴上的点与有理数的对应关系，初步形成数形结合思想.-3

▲重点与难点一10

重点：数轴的概念.一"

难点：单位长度的理解.~M

▲教学过程-40

一、情景导入-50

师生互动：大家请看，我手里拿着的这件东西（如图1）是什么？对，II60

是温度计没错，在它的上面标有正数、负数和0.如果我把它横着放，那它.

图1

就变成了我们今天所要学习的数轴.数轴不是数，而是一条特殊的直线，大家请看如图2就

是从温度计中抽象出来的一条特殊的直线，叫做数轴.大家仔细观察一下，有没有发现图2

中的直线比普通的直线多了“三件宝贝”？没有发现是吧？那老师告诉你们：一个点0,叫

做数轴原点，一个箭头，它的方向叫做数轴正方向，还有相邻两个整数之间的距离，叫做数

轴的单位长度.数轴的原点、正方向和单位长度这三件“宝贝”称为数轴的“三要素”，大

家对数轴的“三要素”有何见解或疑惑，可以进行讨论和提问.

二、探究新知

丽丽：老师，您有没有说错啊？只听过有长度单位这种说法，哪有单位长度呢？

老师：我说的没错，是单位长度，而不是长度单位.

丽丽：把长度单位说成单位长度不是一样吗？

老师：不一样！长度单位是国际上统一规定的、用来度量物体长度的单位，常用的有：

mm,cm,m,km,还有目前最尖_?_2_]0123

端科学的纳米等，同一物体，----入——>

不论用哪一国的度量工具去度,

量，结果长度都是一样；而单图2

位长度是指在某一环境下规定

某一长度的长为一个单位长.比如：你可以取1cm表示一个单位长度，也可以取3nun表示一

个单位长度，总之，取任何一个长度为单位长度都可以.

丽丽：原来如此.那在数轴上取单位长度时应注意什么呢？

老师：首先注意每个单位长度要统一，比如说从T到0的长是一个单位长度，从1到2

也是一个单位长度，它们的长应该相等；其次注意单位长度要适当，比如我们一般情况下画

的数轴的长约为5cm至6cm,要表示的数在-6〜+6之间，那单位长度可以取0.5cm为一个

单位长较合适；如果表示的数在-60〜+60之间，那么单位长度应取0.5mm为一个单位长度

才合适.

芳芳：数轴有什么作用呢？

老师：数轴作用可大了.它目前的主要作用是用数轴上的点来表示有理数.

芳芳：有理数有无数多个，小小的数轴能装得下吗？

老师：你别看数轴的身材纤细苗条，弱不禁风，可它虚怀若谷，犹如大海一样能容纳百

川，不仅无数多的有理数都能装得下，还可以装下其它不是有理数的数，只要是客观现实中

存在的数都能、也只能在数轴上找到唯一的栖身之点，换句话说，数轴上的每一个点表示唯

一的一个数，反过来，一个数可以在数轴上找到唯一的一个对应点.

丽丽：数如一盘散沙，让它们回到数轴岂不天下大乱？

老师：不！尽管我们平时见到的数三五成群，没大没小，混乱不堪，可它们一回到数轴

后都十分遵守纪律，0在原点当指挥，正数们个个乖乖地站到原点的右边，而且从小到大依

次排列开来；负数们也不例外，它们都自觉地排到原点的左边，而且从大到小依次地排列出

去.因此，我们不需要知道两个数是多少，只从它们排列的位置就可以判定它们的大小.这

就是数轴上右边的点表示的数为什么总比左边的大的道理.

丽丽：怎样读出数轴上的点所表示的数呢？

老师：给你举个例子吧.如上图中的点0表示的数是0；点A表示的数是-3；点B表示

的数是2.5；点C表示的数是-2.5……

丽丽：慢一一，您说点B表示数2.5我没意见，可点C表示数是-2.5,怎么不是表示-3.5

呢？

老师：问得好！在数轴上看一个点所表示的数，看的方向要从原点出发去看，点B在2

的后面，所以点B表示2.5；点C在-2的后面，所以点C表示的数是-2.5,而不是-3.5.

丽丽：原来如此！

芳芳：如果用数轴上的点来表示某个数，那该怎么办呢？

老师：和读数轴上的点所表示的数一样，特别注意负分数所表示的点的位置就可以了！

三、牛刀小试

1.画一条数轴，并在数轴上分别用点A、B、0、C、D、E表示下列各数.

1

3,-2,0,-3.5,1.4,3—.

3ABCOD、

2.在图3数轴中指出点0、A、.5-4-3-2-101~34

B、C、D所表示的数...................

3.P23练习.图3

四、观察思考

根据正、负数和0的实际意义，你对数轴上的点所表示的数的大小规律有何发现？

比较有理数大小的法则1：数轴上两个数，右边的数总比左边的数大.

根据这条法则，要比较两个数的大小，我们可以先用数轴上点来表示这两个数，然后根

据它们的位置关系进行比较；比如比较-3和-2的大小，我们不难想象数轴上表示-3的点位

于表示-2的点的左边，因此，-302,也可以记作-2〉-3；

2.比较有理数大小的法则2：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.

此法则告诉我们：如果比较的两个数的符号不同，则无须画数轴就可以直接比较它们的

大小.如0.0001和0,由于0.0001是正数,0是零，所以0.0001>0,或这说0<0.0001；

再比如0和-0.007,由于0是零，-0.007是负数，所以0>-0.007,或者说-0.007<0；

又比如-335和37上，由于-5是负数，37乙是正数，所以-35±<372，或者说37乙>-35±.

79797997

78

其次，对于两个正数，其大小的比较与小学里学过的法则一样，如3>2,等.

89

归纳整理：有理数大小的比较法则2实际上是法则1的细化，法则1是万能的，也就是

说任何两个有理数的大小都可以通过它们在数轴上的位置进行确定,但法则2需要对有理数

进行分类，而且还无法解决两个负数的大小比较问题.因此，应重视法则1的运用.

五、巩固练习

1.将有理数2,-3—2,0,1士5按从小大的顺序排列，并用号连接起来.

§2.3相反数

▲教学目标

1.让学生理解相反数的概念；

2.能结合数轴理解相反数的内涵；

3.能根据相反数的意义化简双重符号.

▲重点与难点

重点：会求一个数的相反数.

难点：相反数意义的理解.

▲教学过程

一、回顾旧知

在数轴上分别画出下列各组中的两个数所表示的点.

22

①+6和-6；②-3和3；。2.5和-2.5；④-4一和+4—.

二、探究新知

1.观察上述各组的两个数在数轴上所表示的点有何关系？(结论：在原点两侧，且到

原点的距离相等)

2.各组中的两个数有何特征？(结论：只有符号不同)

3.思考：数轴上到原点距离等于8的点有几个？这些点表示的数是什么？

4.归纳：如果a是一个正数，那么数轴上到原点距离等于a的点所表示的数是什么？

5.定义：象上述这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数，把其中一个叫做另一个

相反数.如2和-2是互为相反数，2是-2的相反数(或2的相反数是-2),-2是2的相反数

(或-2的相反数是2).

6.你能说出互为相反数的两个数吗？互为相反数的两个数在数轴上有何关系？

7.相反数的补充规定：0的相反数是0.

三、应用新知

例1分别写出下列各数的相反数：

11

5,-9,0,3.25,———，x,-m.

13

解：5的相反数是-5；....；x的相反数是-x；-m的相反数m.

注意解答的格式，谨防出现5=-5的错误.

概括：一个数a的相反数就是在这个数的前面添上一个负号“-”，或者说在一个数的前

面添上负号“-”，所得的新数就是原来这个数的相反数.如7的相反数是-7；-5的相反数是

-(-5)(注意这里的-5要添号).

例2化简下列各数的符号：

(1)-(-6)；(2)-(+2)；+(+10)；(4)+(-4.3).

解：(1)-(-6)表示-6的相反数，而-6的相反数是6,所以-(-6)=6.

归纳：双重符号的数可以化简，其规则是：同号得正，异号得负.

四、巩固练习

课本P28练习1,2,3.

五、课堂小结

1.这节课你学到了什么？

2.你还记得倒数吗？相反数与倒数有何区别与联系？

§2.4绝对值

▲教学目标

1.利用数轴理解绝对值的概念；

2.理解绝对值的意义，会求一个数的绝对值；

3.通过图形，探索绝对值的几何意义，渗透数形结合思想.

▲重点与难点

重点：会求一个数的绝对值.

难点：绝对值意义的理解.

▲教学过程

一、情境导入

如图，数轴上有黑白两只蚂蚁，它们分别在表示数3和-3的点A、B两处，你知道这两

只蚂蚁到原点0的距禺是多少.3-2-1o123

吗？BC~~~^~O_D~~~丁~

图中点C表示的数是什么？C到原点的距离是多少？

定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，用符号1|记作|a|,读做

a的绝对值.

如-3的绝对值记作|-3|,3的绝对值记作13],+2.5的绝对值记作|+2.5|,0的绝对值

记作|0|.

二、探索新知

1.求下列各数的绝对值：

11

一5,5,+3.8,-3.8,0,-2—,2—.

33

解：-5在数轴上表示的点到原点的距离是5,所以-5的绝对值是5；

5在数轴上表示的点到原点的距离是5,所以5的绝对值是5；

注意解答格式，谨防出现-5=5的错误.

2.计算：|-7|和|+7|,⑼和|-9|.

解：f=7,+7|=7,……

归纳总结：（1）互为相反数的绝对值相等；绝对值等于一个数的数有两个，它们互为相

反数；（2）一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数;

（3）任何一个有理数的绝对值都是非负数（正数和零），即|a|、0；（4）求一个数的绝对值

有两种表达方式，一是文字形式，二是符形式，要注意解答的格式；

三、巩固练习

P31练习:1,2,3.

四、课堂小结

1.本节课你学到了什么？

2.你知道卜a|等于什么吗?

§2.5有理数大小的比较

▲教学目标

1.掌握有理数大小的比较方法；

2.初步培养学生逻辑思维的说理形式.

▲重点与难点

重点：会利用绝对值的大小关系比较有理数的大小.

难点：两个负数大小的比较.

▲教学过程

一、旧知回顾

1.数轴上表示的两个有理数，如ac0b

何比较它们的大小？如图，a、b、c、....................................

d的大小关系如何？

2.分别比较0.03和0,0和TOO,

3和-9的大小；

二、探索新知

1.在数轴上画出表示-2和-5的点，分别判断|-2|和|-5|、-2和-5的大小.

2.思考讨论：两个负数的大小和它们绝对值的大小有何关系？

3.归纳总结：两个负数，绝对值大的反而小.

例如：比较-323和-3—2的大小.

43

解：0*1-33-|=3-,|-23-=32-，所以133±|>卜234,

443343

32

所以-3—<-3—(两个负数，绝对值大的反而小).

43

三、课堂练习

P34练习1,2,3,4.

四、例题解析

例比较下列各数的大小，并用连接起来.

-(-2),-(+3),-|-5|,-|+6|,0,-4|.

解：先将各数化简，得2,-3,-5,-6,0,4,

显然，三个负数都小于0,而0小于2,2小于4,所以只须比较-3,-5,-6的大小.

因为所以-3<-5<-6,

所以T+6|<-|-5|<-(+3)<0<-(-2)<|-41.

五、课堂小结

不用数轴，如何比较有理数的大小？你能确定+a>-a吗？

§2.6有理数的加法(1)

▲教学目标

1.掌握有理数加法法则，并能正确运用法则进行有理数加法运算；

2.通过法则的探索，让学生初步了解分类讨论、化归转化等数学思想方法的重要性；

3.在计算中培养学生良好的思维品质和细致认真的学习态度.

▲重点与难点

重点：有理数加法的计算.

难点：异号两数相加的法则.

▲教学过程

一、创设情景

一个三、四岁的小女孩，住在一条繁华的步行街道上，她从自家的店铺里出来后，先是

沿西走，经过了4家店铺到姑姑家；然后从姑姑家出来往东走，经过了6家店铺到小姨的家;

从小姨家出来后往西走，经过了8家店铺到舅舅的家；从舅舅家出来后碰到了幼儿园的小朋

友乐乐，于是随乐乐往西走，经过了5家店铺到了乐乐的家；告别乐乐，她往东走，经过2

家店铺到了一家繁华的商场买了一只小玩具熊，这才想起该回家了，她往西慢慢地走着，边

走边找自己家的店铺，同时也没忘边走边数自己经过的店铺的家数，刚数满10,由于接下

去不知道是什么数而没办法再数下去了，又还没认出哪一家店铺是她家的？于是着急起来就

哭了.

小女孩的哭声引来了不少热心帮她的人，有人建议说：带着小女孩逆着小女孩走出来的

方向带着她走回去，但这种办法却遭到了众人的反对，因为这种办法虽然可行，却要来来回

回走许多“冤枉路”.一个七年级的学生说：要想知道小女孩的家在哪？只须利用有理数的

加法，记向东走为正，向西走为负，然后计算每次行走的路程相加，如果和等于0,说明欢

欢现在的位置就是她的家；如果和为正数，说明欢欢现在的位置在她家的东边，要找到她的

家应向西走；如果和为负数，说明欢欢现在的位置在她家的西边，应向东走才能找到她的家.

有人根据这个学生的建议，写出了小女孩几次走的路程分别是：-4,+6,-8,-5,+2,

-10,把它们相加，算式是(-4)+(+6)+(-8)+(-5)+(+2)+(-10)

如何计算呢？这就是我们今天要学习的有理数的加法.

二、探索法则

1.一只蚂蚁从数轴上的原点出发，它先是向东爬行3个单位，休息片刻后又继续向东

爬行5个单位，结果蚂蚁向东爬行了多少个单位？如何用算式表示这个结果？

(+3)+(+5)=+8；

2.一只蚂蚁从数轴上的原点出发，它先是西东爬行3个单位，休息片刻后又继续向西

爬行5个单位，结果蚂蚁向西爬行了多少个单位？如何用算式表示这个结果？

(-3)+(-5)=-8；

3.一只蚂蚁从数轴上的原点出发，它先是向东爬行3个单位，休息片刻后改为向西爬

行5个单位，结果蚂蚁是向东爬行还是向西爬行？爬行了多少个单位？如何用算式表示这个

结果？

(+3)+(-5)=-2；

4.一只蚂蚁从数轴上的原点出发，它先是向西爬行3个单位，休息片刻后改为向东爬

行5个单位，结果蚂蚁是向东爬行还是向西爬行？爬行了多少个单位？如何用算式表示这个

结果？

(-3)+(+5)=+2.

思考讨论：观察上述四个加法算式，它们的和与加数的符号、绝对值有何关系？

归纳总结：①同号两数相加，符号取原来加数的符号，并把它们的绝对值相加；

②异号两数相加，符号取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

再次通过蚂蚁爬行的特例，得出法则的补充内容：

份互为相反数的两个数相加得零，即互为相反数的和等于0；

G一个数与零相加，仍得这个数.

三、巩固新知

1?

计算：(-8)+(-17)；(+-)+(--)；(+27)+(+39)；(-62)+(+53).

23

四、课堂练习

P37-38练习：1,2,3,4.

五、课堂小结

1.有理数加法不分加数的符号能计算吗？

2.有理数加法计算的一般步骤是什么？

§2.6有理数的加法(2)

▲教学目标

1.能用加法运算律简化有理数加法运算；

2.通过运算律在有理数加法运算中的作用，培养学生观察能力和计算能力.

▲重点与难点

重点：多个有理数加法中运算律的运用.

难点：运算律的灵活运用.

▲教学过程

一、旧知回顾

1.叙述有理数的加法法则；

2.在小学里学过哪些加法运算律？

二、探索新知

1.计算(-3)+(-5)与(-5)+(-3)结果一样吗？(-3)+(+5)和(+5)+(-3)

呢？

概括：交法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a+b=b+a；

2.计算[(-16)+(+61)]+(-61)的结果与(T6)+[(+61)+(-61)I结果一样吗?

过程一样吗？(结果一样，过程不一样，后者计算简便).

概括：加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或这先把后两个数相加，和不变.

(a+b)+c=a+(b+c).

三、新知运用

例1计算：

(1)(+26)+(-18)+5+(-16)；

(2)(-1-)+1-+(+7-)+(-2-)+(-8-).

32432

分析：(1)利用加法交换律和结合律，按正负数分为两组分别计算，再相加；即

原式=[(+26)+5]+[(-18)+(-16)]

=31+(-34)=-3.

(2)利用加法交换律和结合律，按同分母分为三组分别计算，再相加.

分析后先给学生练习，然后介绍解法过程.

例210筐苹果，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负

数，记录如下：

2,-4,2.5,1.5,3,_1,0,-2.5

问这10筐苹果总共重多少？

分析：列算式，根据算式特征确定分组方案分别计算.可按整数分组、互为相反数分组

或凑整分组.提示后先交给学生计算、交流.

归纳总结：多个有理数加法运算要注意观察题目中的加数特征，灵活运用加法运算律进

行合理分组，分组以易于各组的计算为原则.常见分组方案有：按正负数、按整数、分数、

按同分母、按互为相反数等.

四、巩固练习

1.P40练习：1,2；

2.上一节的引例.

§2.7有理数的减法

▲教学目标

1.理解并掌握有理数的减法法则，能进行有理数的减法运算;

2.通过减法法则的理解，渗透化归思想.

▲重点与难点

重点：会用有理数减法法则进行减法运算.

难点：减法化归为加法的习惯形成.

▲教学过程

一、创设情景

多媒体显示：在我国新版地图上，珠穆朗玛峰和

吐鲁番盆地处都标有表明它们高度的数(单位：米)，

如图所示，即珠穆朗玛峰的高度是海拔8844米，吐鲁

番盆地的高度是海拔T55米，请问：珠穆朗玛峰比吐

鲁番盆地高出多少米？你是怎么知道的？如果列算式

解决这个问题，该算式如何？

思考讨论：如何计算8844-(-155)?

二、探索新知

1.思考：由(-6)+(-2)=-8,可得(-8)-(-2)=?；由计算(-8)+(+2)的结果,

你发现(-8)-(-2)与(-8)+(+2)有何关系？

2.思考：由(-8)+(-2)=-10,可得(T0)-(+2)=?；由计算(-10)+(-2)的

结果，你发现(-8)-(+2)与(-8)+(-2)有何关系？

3.上述的发现说明了什么？概括得出：

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.a-b=a+(-b).

三、尝试运用

例1计算：

(1)(-32)-(+5)；(2)7.3-(-6.8)；(3)(-2)-(-25)；(4)12-21.

分析：注意用法则，先转化为加法，然后再计算.交换律：两个加数相加，交换加数的

位置，和不变.a+b=b+a；

例2冬天里，某市某天的最高气温为T2C,最低气温为-21℃,则该天的温差是多少？

分析：温差是指用最高气温减去最低气温所得的差.(T2)-(-21)=(T2)+21=9(℃).

四、巩固练习

P43练习：1,2,3.

五、课堂小结

有理数的减法法则实际上是运算的转化，它体现了数学中的一种重要思想一一化归思

想，将减法运算化归为加法运算来完成.学习时注意以下几点：

(1)弄清减数是什么？它的相反数又是什么？例如，在3-5中，减数是5而不是-5,

运用法则转化为加法运算后是：3-5=3+(-5)；同样地，在3-(-5)中，3-(-5)=3+(+5)

或3+5；

(2)将减法运算转化为加法运算时，只改变减数的符号，而被减数不变.例如，运用法

则把(-6)-(-8)转化为加法运算时，被减数-6不变，减数-8改变符号为+8(或8),减

号“-"转化为加号“+”，即(-6)-(-8)=(-6)+(+8),不要错误地做成(+6)+(+8)；

(3)并不是所有的减法运算都要转化为加法运算，可以直截了当地得出结果的运算不

需要进行转化.一般来说，当减数或被减数为负数，或两数“不够减”时才运用法则转化为

加法运算.例如，0-(-2)=0+2=2；3-(-3)=3+3=6等.

§2.8有理数的加减法混合运算

▲教学目标

1.会把有理数的加减法运算统一化为加法运算；

2.能运用运算律简化有理数的加法运算；

3.理解省略加号后算式的意义.

▲重点与难点

重点：能进行有理数加减法混合运算.

难点：省略加号后加法算式的运算.

▲教学过程

一、回顾旧知

1.叙述有理数加法和减法法则；

2.计算：(1)(_8)+(_6)；_8+(_6).

(2)(-8)-(-6)；-8+6.

(3)(-5)-(+18)；-5-18.

二、探索新知

1.用加法或减法，将上述各题中的两个小题并为一题，所得的运算是什么运算？(引

出课题一一有理数的加减法混合运算)

2.计算：

(1)(-8)+(-6)-8+(-6)；

(2)(-8)-(-6)+(-8)+6；

(3)(-5)-(+18)-(-5)-18.

解：(1)原式=(-8)+(-6)+(-8)+(-6)=-28；

(2)原式=(-8)+(+6)+(-8)+6=4；

(3)原式=(-5)+(-18)+(+5)+(-18)=-36.

归纳总结：有理数加减混合运算时，可以运用减法法则，将减法运算统一为加法运算，

再根据加法运算律进行简化运算.

3.将减法统一为加法运算后，面对这些算式你有何感想？(交流讨论)

归纳：一个字“繁”.繁在那些括号.(引入省略加号)

在一个只含加法运算的算式里，为了书写方便，通常把各个加数的括号及它前面的加号

省略掉.

例如，(-8)+(+6)+(-8)+6可写成-8+6-8+6,此时的算式有两种读法：(一)负8、

正6、负8正6的代数和；(二)负8加6减8加6.

又如，(-5)+7+(+3)+(-1)可写成-5+7+3T.

三、巩固新知

1.计算：(1)8-23-12+6-15；

23211

(2)0-21—+(+3—)-(—-)+(—-)-(+—).

34324

分析与解：(1)首先明确算式的运算.将每个数(包括它前面的符号)看作是加数，可

用运算律.

(1)原式=(8+6)+(-23-12)=14+(-35)=-21；

23211

(2)原式=0+(-21—)+(+3—)+(+•—)+(--)+(-—>)

34324

=-21+3=-18.

四、巩固练习

P47练习：1,2.

五、课堂小结

1.有理数加减法混合运算的一般步骤是什么？

2.省略加号后的加法运算是怎么计算的？在运用加法运算律需要注意些什么？

§2.9有理数的乘法(1)

▲教学目标

1.经历探索有理数的乘法法则过程，体会观察、思考、归纳、总结的探索方法；

2.掌握两数相乘的法则；

3.会进行两个有理数的乘法运算.

▲重点与难点

重点：应用有理数乘法法则进行两数的相乘运算.

难点：乘法与加法中的符号法则的理解.

▲教学过程

一、创设情景

多媒体显示：如图，一只蜗牛在数轴上爬行，它正好在原点0的位置，爬行的速度是每

分钟2cm.'一个，，早

①如果蜗牛向右(正半轴)爬行，那么3分钟--6-4-20246

后它在什么位置？用算式如何表示？

(+2)X(+3)=+6.

②如果蜗牛向左(负半轴)爬行，那么3分钟

后它在什么位置？用算式如何表示？

(-2)X(+3)=-6.

。如果蜗牛从负半轴那边爬来，一直朝着正半

轴爬行，那么3分钟前它在什么位置？用算式如何表示?

(+2)X(-3)=-6.

⑥如果蜗牛从正半轴那边来，一直朝着负半,,,早，，季

-6-4-20246

轴爬行，那么3分钟前它所在的位置所表示的数~一

是什么？用算式如何表示？图3

(-2)X(-3)=+6.

二、探索新知

1.根据上述结论思考回答：两个有理数相乘，积的符号是怎么确定的？积的绝对值与

乘数的绝对值有什么关系？

2.归纳总结法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与零相

乘，都得零.

例如,计算：(-4)X(-8)=4X8=32；(-2.5)X16=-(2.5X16)=-4；0X(-39)=0；

15X(-12)=-(15X12)=-180.

三、巩固练习

P52练习：1,2,3,4.

四、课堂小结

1.有理数乘法法则与加法法则有何不同？

2.如何进行两个有理数相乘运算？

§2.9有理数的乘法(2)

▲教学目标

1.会用乘法交换律和结合律简化有理数乘法运算；

2.会确定多个有理数相乘积的符号，并能进行准确的计算；

3.经历探究，体验成功.

▲重点与难点

重点：会用运算律进行多个有理数相乘运算.

难点：运算律的灵活运用.

▲教学过程

一、回顾旧知

1.叙述有理数的乘法法则；

2.计算：

(1)(-3)X(-4)与(-4)X(-3)；(-5)X6和6X(-5)；

(2)[(-2)X(-3)]X(-4)和(-2)X[(-3)X(-4)].

概括：有理数的乘法依然满足小学里的：

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；即aXb=bXa；

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个相乘，或者先把后两个相乘，积不变.

3

例如，计算：(-0.25)X(-26)X40X(--).

13

分析：第一个因数与第三个因数的积容易计算，第二个与第四个的积也容易算.故可采

用乘法交换律和结合律，改变运算的顺序.

3

解：(-0.25)X(-26)X40X(―)

13

3

二[(-0.25)X40]X[(-26)X(--)]

13

=(-10)X6=-60.

二、探索新知

直接写出下列式子计算的结果：

(1)(-10)X-X(-0.1)X6=；

3

(2)(-10)X-X(-0.1)X(-6)=；

3

(3)(-10)X(--)X(-0.1)X(-6)=；

3

(4)10X(--)X0.1X6=；

3

观察上述各式，对于积的符号与因式的符号有何关系？

概括：多个有理数相乘积的符号法则：几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当

负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；如果其中有一个因数为0,则

积为0.

三、尝试应用

3

例1计算：(1)8+(—0.5)x(—8)x—；

4

54

(2)(-3)X-X(-一)X(-0.25).

65

33

解：(1)8+(-0.5)x(-8)x-=8+0.5X8X-=8+3=11；

44

545411

(2)(-3)X-X(一一)X(-0.25)=-3X-X-X-=--.

656542

37

(3)(--)X5X0X(一一)=0.

48

四、巩固练习

P55练习:1,2.

五、课堂小结

1.多个数相乘，积的符号怎么确定？

2.你会用乘法交换律和结合律进行多个有理数乘法运算吗？

§2.9有理数的乘法(3)

▲教学目标

1.会用乘法分配律简化有理数乘法运算；

2.能综合运用乘法运算律进行有理数相乘运算。

▲重点与难点

重点：乘法分配律的运用。

难点：创造条件运用乘法分配律.

▲教学过程

一、情景设计

1.全班同学按单双号分为两组，分别计算两道题，看谁算得既快有准？

单号一组的先计算工+(--)再把结果乘以(-12)；

346

双号一组计算：-X(-12)+(--)X(-12)--X(-12)o

346

2.面对比赛结果，你有何发现和感想？

二、导入新知

乘法分配律：一个数与几个数的和相乘，等于把这个数分别这几个数相乘，再把积相加。

a(b+c+d)=ab+ac+ado

19

例1计算：(1)30x(---+0.4)；(2)4o98X(-5)。

19

解：⑴30x(---+0.4)

12

=30X--30X-+30X0o4

23

=15-20+12=7o

(2)4„98X(-5)o

=(5-0„02)X(-5)

=5X(-5)-0„02X(-5)

=-25+0。l=_24o9o

注：这里将4。954写成5-0。02,目的在简化计算量。

例2计算3。乂］12—I-1—j.

5I3218)

分析：由于各个数都是带分数，看不出各数之间的关系，故先把带分数化为假分数，然

后发现括号外的因数与括号里的各数都存在可约分，因此，应用乘法分配律.

原式=^x5—3+当=更、*-，身+生x史69+5=2.

3218)5325185

例3计算：(-19—)X54.

18

1717

分析：先确定符号，得负，即(-19—)X54=-(19—X54),

1818

显然，若4把带分数化为假分数，则运算繁杂，易出差错.如果把带分数1917,化为19+」17，