高中数学新教材同步必修第一册 第5章 再练一课 范围：5

再练一课（范围：5.5）

%基础巩固

1.sin162°cos78°+cos162°sin78°化简得（）

,1c近八近c1

A.-2B.C.-2D，2

答案c

解析sin162°cos780+cos162°sin78°=sin（162°+78°）=sin240°=sin（180°+60°）=—sin60°

—2-

2.函数y=2cos2（x+：）—1是（）

A.最小正周期为兀的偶函数

B.最小正周期为冷的奇函数

C.最小正周期为兀的奇函数

D.最小正周期为飘偶函数

答案C

解析y=2cos2（x+：）—l=cos（2x+］）=-sin2x,显然是奇函数,周期为兀.

3.已知a,£6（甘，^…^^（/…“是方程^^小^^的两个根，则a+4的值为

（）

t-乂3口,3

一兀兀一兀

C.一§或可D.—j

答案B

解析由题意可得tana+tan4=-3小，tanatan4=4；

所以tan（a+夕尸*士吗=书=4；

r1—tanatanp1—4v

因为a,5，tana+tany?=-3小<0,tanatan4=4>0,

所以a,即（一］，yf所以a+£W（—7i,0）.

2元

因为tan（a+夕）=/，所以«+/?=-y.

4.已知函数凡¥)=火九一幻，且当x£(一，5时，/(x)=x+sinx.设。=犬1),b=fi2)fc=fi3),

则()

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

答案D

解析由已知函数yu)在(一去习上是增函数.

E、,，兀储(TtTt\

因为兀一2£(1/，兀一3£(一2J9兀一3<1<兀一2,

所以加—3)41)9兀-2),

即式3)«1)勺(2),c<〃<4

5.“a+Q=，'是"(l+tana)(l+tan/T)=2”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案D

解析由(1+tana)(l+tan£)=2得1+tana+tany?+tanatan£=2,

即tana+tanp=1—tanatanfi，

tana+tan/?1—tana-tanp

・・tan(ctip}=~.7i=~t1,

1—tanatanp1—tana-tan夕

TTTT

.•・a+£=4+E伏£Z),不一定有"a+£=a”；

反之,“a+夕看不一定有“(l+tana)(l+tan份=2"，

7C71

如。=5，。=—&此时tana无意义；

7T

.••%+△=V是"(l+tana)(l+tan£)=2”的既不充分又不必要条件.

,—1*23TI.a

6.已矢口cosa=—§m且冗RIL贝LUsin]=.

答案呼

23兀

解析已知cosa=—§且n<a<-Y，

根据二倍角公式得到cosa=1—2sin27=>sin2T=i,

zzo

e、？3兀,,,7ta3a

因为兀va<»-,故付到,〈I〈邪，sin2>0»

故得到sin3=40

2o

7.已知sina—3cosa=0,则sin2a=.

3

答案5

解析由题意可得sina=3cosa,

所以sin2a+cos2a=(3cosa)2+cos2a=1,

所以cos2a=^,

3

所以sin2a=2sinctcosa=6cos2a=5.

8.若方程sinx—小cosx=c有实数解，则c的取值范围是

答案[-2,2]

解析关于尤的方程sinx-A/3COSX=C有解，

即c=sinx—小cosx=2sin(x-即有解，

由于x为实数，则2sin(^x—^)e[—2,2],

故有一2WcW2.

3\[5

9.已知夕，£为锐角，COSQ=§,cos(a+£)=一手\

⑴求sin2a的值;

(2)求tan(a一尸)的值.

34

解(1)已知。，夕为锐角，cosa=5，所以sina=§,

3424

贝1]sin2a=2sinacosa=2X-X-=—

(2)由于a,£为锐角,则0〈a+4〈冗,

又cos(a+夕)=一雪=>sin(a+6)=3

sma4

由(1)知tana=----=T,

''cosa3

、后32、后4、后

所以cosS=cos[(a+£)—a]=cos(a+4)cosa+sin(a+位sina=—^-X-+—X-=-^-,

自一2

e八一u八tana—imp32

川tan6=2,故tan(a—£)=1+tanaUn£=4=一亓

1十§X2

10.已知函数J(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x—1.

⑴求7U)的最小正周期；

⑵求人幻在［o,雪上的单调区间.

解由已知得，y(x)=sin2r+cos2x+1

=V2sin^2x+^)+1.

(1)函数的最小正周期r=y=7r.

JiTTTT

⑵由2也一5W2¥+^W2左兀+2(攵£2)得，

kn—kit+鼻£Z),

oo

「兀］「兀

又工£0,5,0,g,

•••加0的单调递增区间为［o,1］,

7Q„2A/2R2A/2

A.—gB.§C.-^-D.一寸-

答案A

解析因为sin(x+g)=3,《_x)+(x+；)=；,

所以cos(*—J=sinQ+g=g；

cos^-2x)=cos2^r—x)=2cos2(r-x)—1=-

12.函数y=2sinxcosx一小cos2x的单调增区间是()

二5兀,.7T-]

A.攵兀一石，E+正(左£Z)

B〔E—5，E+全(%£Z)

「，兀,,it]

C.[E—Q,E+4」(%£Z)

「,71,I5兀1

D.攵兀一五，祈+五(左£Z)

答案D

解析y=2sin戈cosx—巾cos2x=sin2x一小cos2r=2sinl5

'JlJI

由一/+2EW2x—§W5+2E(%£Z)得,

E—专《后&兀+点左£2),

，函数的单调增区间是［航一古，航+居」（《GZ）.

13.如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成

的一个大正方形，如果大正方形的面积为225,小正方形的面积为9,直角三角形较小的锐角

为a,则sin2a等于（）

答案D

解析•.•大正方形的面积为225,小正方形的面积为9,

大正方形的边长为15,小正方形的边长为3.

设四个全等的直角三角形的长直角边为x,则短直角边为x—3.

由勾股定理得f+（x—3>=152,解得x=12（舍负），

34

a为直角三角形较小的锐角，所以sina=g,cosa=5，

24

.'.sin2a=2sinacosa=^.

14.函数於）=cos2x—siMx+Zsinxcosx的最小正周期为，单调递减区间是

答案71（既+畜E+引（左£Z）

解析由题意得，y(x)=cos2x—sin2x+2sinxcosx

立sin(2x+：),

=cos2x+sin2x=

•••最小正周期

jrjr37r

由2E+2〈2x+w<2E+5(&£Z)得,

E+J<x<E+您&£Z),

oo

函数兀v）的单调递减区间是（E+去E+看%wZ）.

q拓广探究

15.函数段)=sin2x一小coslv在区间甘，方上的零点之和是()

兀e兀c兀c兀

A.一§B.一%C%D，3

答案B

解析由题意得./U)=2sin(2x一§,

TT

令y(x)=0,解得2x—]=E(AWZ),

即x=y+7(^SZ),

乙u

l^]Tjr

所以7U)的零点为%=y+^ez).

「兀兀一

又x£|__]，2T

TT

令-1,则x—

TT

令k=0,则％=不

所以在区间「一支同上的零点之和为一一亲

16.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

@sin213°+cos217°—sin13°cos17°；

(2)sin215°+cos215°—sin15°cos15°：

(3)sin218°+cos212°—sin18°cos12°；

@sin2(-18°)+cos2480-sin(-18°)cos48°；

(§)sin2(—25°)+cos255°—sin(—25°)cos55°.

⑴试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式