高中数学-推理与证明复习总结

推理与证明

一、推理

・1.归纳推理

1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳

推理。

2）归纳推理的思维过程大致如图：

实验、观察］-------T概括、推广-------t猜测一般性结论

3）归纳推理的特点：

①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检

验，因此，它不能作为数学证明的工具。

③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起

点，帮助人们发现问题和提出问题。

•2.类比推理

1）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也

相似或相同，这样的推理称为类比推理。

2）类比推理的思维过程是：

观察、比较|--------联想、类推।-------，推测新的结论

•3.演绎推理

1）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的

逻辑法则得到新结论的推理过程。

2）主要形式是三段论式推理。

3）三段论式常用的格式为：

M——P（M是P）①

S——M（S是M）②

S——P（S是P）③

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；

③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

二、证明

•1.直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证

结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

综合法就是"由因导果"，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推

出要证的结论。

分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的

式子，可称为“由果索因"。

要注意叙述的形式：要证，，只要证B,8应是/成立的充分条件.分析法和综合法常

结合使用，不要将它们割裂开。

•2.间接证明：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结

论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

反证法的一般步骤是：反设一推理——矛盾——原命题成立。（所谓矛盾是指：与

假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾）.

常见的"结论词"与"反议词"如下表：

原结论词反议词原结论词反议词

至少有一个一个也没有对所有的X都成立存在某个X不成立

至多有一个至少有两个对任意X不成立存在某个X成立

至少有〃个至多有个夕或qr夕且rq

至多有“个至少有a+1个夕且qr夕或rq

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提-------已知的一般结论；⑵小前提

-------所研究的特殊情况；⑶结论-------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证

明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

1、已知数列｛怎｝的前门项和用=’.即522),且为=1,通过计算的,。3，4，猜想

斯=()

2222

A、5+1)2B、«(«+1)C、2*—1D、2”1

al=l

a2=l/3

a3=l/6

a4=l/10

an=l/[l+2+...+(n-l)+n]=l/[(l+n)*n/2]

2、已知为=1,4+1>环，且区+1一%)2-24+1+%)+1=0,计算a2,%，然后猜想即=

()

A、nB、n2C、n3D、+3--Jn

3、设条件甲：x=O,条件乙：x+y/(x，X/?)是纯虚数，则()

A、甲是乙的充分非必要条件B、甲是乙的必要非充分条件

C、甲是乙的充分必要条件D、甲是乙的既不充分，又不必要条件

解：根据复数的分类，x+yi为纯虚数的充要条件是x=O,浮0."若x=O则x+yi为纯虚

数"是假命题，反之为真.-.x,yeR,则"x=O"是"x+yi为纯虚数"的必要不充分条件

故选B

4、已知关于X的方程层-(2/-1)*+3/77-/=0有实根，则实数/77应取的值是()

A、m>-4B、m<-4C、m-12D、m--12

XA2-(2i-l)x+3m-i=0

(xA2+x+3m)-(2x+l)i=0

x=-l/2

代入得到m=l/12

5、设/?+,R-,例分别表示正实数集，负实数集，纯虚数集，则集合加{加|6GM是()

A、个B、R-C、/?U/?-D、R-U{0}

6、若2+3/是方程*+mx+/7=0的T根，则实数〃的值为()

A、m=4,/7=-3B、m=-4,n=13

C、m=4,n=-21D、m--4,/7=-5

7、下列表述正确的是().

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一

般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.

A.①②③；B.②③④；C.②④⑤；D.①③⑤.

8、下面使用类比推理正确的是().

A.“若”.3=儿3,则。="'类推出"若。•O=/rO,则a=b"

B."^(a+b)c=ac+bc"类推出"(a-b)c=ac-bc"

C.”若(a+O)c=ac+仇;"类推出"色也=0+(MO)”

ccc

nnn

D."(ab¥=ab"类推出"(a+b¥=优+b"

9、有一段演绎推理是这样的："直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线

平面a，直线au平面a，直线bII平面a，则直线bII直线a"的结论显然是错误的，

*

这是因为()

A.大前提错误B.小前提错误C推邮式错误D.非以上错误

10、用反证法证明命题：”三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是()。

(A)假设三内角都不大于60度；(B)假设三内角都大于60度；

(C)假设三内角至多有一个大于60度；(D)假设三内角至多有两个大于60度。

11、在十进制中2004=4x10°+0x1(?+0x102+2x1()3,那么在5进制中数码2004折

合成十进制为()

A.29B.254C.602D.2004

l-an+2

12、利用数学归纳法证明"l+a+a2+...+an+i=「,(a〃,neNf时，在验

\-a

证n=l成立时，左边应该是()

(A)l(B)l+a(C)l+a+a2(D)l+a+a2+a3

13、某个命题与正整数n有关，如果当n=k也GN.)时命题成立，那么可推得当〃=%+1

时命题也成立.现已知当〃=7时该命题不成立，那么可推得()

A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立

C.当n=8时该命题不成立D.当n=8时该命题成立

14、用数学归纳法证明"(〃+1)(〃+2)…(〃+〃)=2”•1•2…一(2〃-1)"(〃eN+)时,

从"〃=%到〃=左+1"时，左边应增添的式子是()

_..2女+12k+2

A.2k+1B.2(2k+1)C.--------D.---------

k+\k+l

①当n=l时，左边=2,右边=2,等式成立。

A

②设当n=k,时等式成立，BP(k+l)(k+2)...(k+k)=2k.l.3...(2k-l)

当n=k+l时,左边=(k+2)(k+3)....(k+k)(k+K+l)(k+k+2)

=2Ak.l.3.5...(2k-l).(2k+l)(2k+2)/(k+l)

=2A(k+l).1.3…(2k-l)(2k+l)

aiS=2A(k+l).1.3....[2(k+l)-l]=2A(k+l).1.3.....(2k+l)即左边=右边，等式成立

综上：当N属于N+时，等式成立。

15、已知〃为正偶数，用数学归纳法证明

1一!+!一!+…+1=2（—+―+…+1）时,若已假设〃=%（%22为偶数）

时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）

A.〃=%+1时等式成立B.n=k+2时等式成立

C.〃=2攵+2时等式成立D.〃=2伏+2）时等式成立

16、数列｛凡｝中,ai=l,Sn表示前n项和，且Sn,Sn+i,2sl成等差数列，通过计算Si,

S2,S3,猜想当n21时，Sn=（）

2"+12"-I/〃（〃+l）r,1

AA•Bn.C.—D-1-尹

17、（8分）求证：V6+V7＞2A/2+V5.

18、（14分）已知数列｛a〃｝满足Sn+an=2n+l,（1）写出力,力,力,并推测an的表达式；

（2）用数学归纳法证明所得的结论。

一、1、B2、B3、B4、C5、B6、B6-16DCABBCABBB

17、证明：要证原不等式成立，

只需证（后+"）2＞（2后+石）2,

即证2房＞2面。

•.上式显然成立,

.,・原不等式成立.

3715

18、解：Q)ai=1,为右二可，

猜测为=2--

2〃

(2)①由(1)已得当〃=1时，命题成立；

②假设n=攵时，命题成立，即数=2-1，

2k

当"=Z+1时，西+力++a左+a%+1+ak+1=2(Z+1)+1,且的+力++ak-2k

+1-a攵

:.2k+1-a%+2aai=2(〃+1)+l=2Ar+3,

；.2a«+i=2+2-加i=2-/，

即当时，命题成立.

n=k+l

根据①②得都成立

nwN+,an=2-9

推理与证明

【最新考纲透析】

1,合情推理与演绎推理

(1)了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数

学发现中的作用；

(2)了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单

推理；

(3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

2.直接证明与间接证明

(1)了解直接证明的两种基本方法一^分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考

过程、特点；

(2)了解间接证明的一种基本方法一反证法；了解反证法的思考过程、特点。

3.数学归纳法

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

【核心要点突破】

要点考向1:合情推理

考情聚焦：1.合情推理能够考查学生的观察、分析、比较、联想的能力，在高考中越

来越受到重视；

2.呈现方式金榜经，属中档题。

考向链接：1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先

根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；

2.类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具

有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的

推理过程，然后类比推导类比对象的性质。

例1：(2010•福建高考文科16)观察下列等式：

①cos2a=2cos?a-1;

②cos4a=8cos,a-8cos2a+1;

③cos6a=32cos6a-48cos4a+18cos2a-1;

④cos8a=128cos'a-256cos6a+160cos4a-32cos2a+1;

(5)coslOa=mcos10a-1280cos8a+1120cos6a+ncos4a+pcos2a-1.

可以推测，m-n+p=.

【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解.

【思路点拨】根据归纳推理可得.

【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1,•••m-1280+1120+n+p-1=1,

.,.m+n+p=162p=10>5=5Qm士曲n=-400m—n+p=962

【答案】962.

要点考向2:演绎推理

考情聚焦：1.近几年高考，证明题逐渐升温，而其证明主要是通过演绎推理来进行的；

2.主要以解答题的形式呈现，属中、高档题。

考向链接：演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行

的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定

要注意推理过程的正确性与完备性。

例2:（2010•浙江高考理科・T14）设

〃22,〃£N,（2元+—）n—（3x+—）/?=%+CL^X++…+«］亡，

将同（Od）的最小值记为（，则q=0Z=提—/Z=0Z=或—…，却…

其中北=.

【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键.

【思路点拨】观察7；的奇数项与偶数项的特点.

【规范解答】观察T"表达式的特点可以看出<二°，（=°........当n为偶数时，1=°;

_±__L_±_1

，3、，T5一2535............•・当〃为奇数时，（T一2"3”.

0，当〃为偶数时

T"=<《1一，1当〃为奇数时

【答案】123

要点考向3:直接证明与间接证明

考情聚焦：1.直接证明与间接证明是数学证明的两种思维方式，考查了学生的逻辑思

维能力，近几年高考对此部分的考查有所加强。

2.以解答题的形式呈现，属中档题目。

例3:(2010•北京高考文科•T20)

已知集合S“={X|X=(x”X2,为e{0,l},i=l,2「：〃}(〃22)对于

4=(4，%,…，8=(4也,…2，)eS“，定义A与B的差为

4一3=(|4-伪|,鬼一打\,'"\an-h„|);

A与B之间的距离为d(A,B)=丑㈤-b\

/=1

(I)当廿5时，设4=(0,1,0,0,1),3=(1,1,1,0,0),求4一3,d(A,B);

(n)证明：VA,fi,CeS„,WA-BeS„,且。(A—C,3-C)=d(A,3);

(DI)证明：VAB,CwS“,d(A8),d(AC),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数

【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力。本题情景是全新的，对学生

的"学习能力”提出了较高要求。要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生"学

习能力"、"创新能力"的培养.

【思路点拨】(I)(n)直接按定义证明即可；(in)"至少”问题可采用反证法证明.

【规范解答】(I)A-8=(|。-1|,|1叫|。-1|,|。-。卬-Q)=(1,0,1,0,1)

^(AB)=|0-l|+|l-l|+|0-l|+|0-0|+|l-0|=3

(n)设A=(4M2,…,q)B=(4也，…也),C=(q,C2,…,C")wS“

因为4，4€{0,1}所以卜4—么|e{0,l}(i=1,2,…

从而A-B=(何-41他-可,…|)c5.

由题意知4，4，qe{°，1}a=Lz…

当q=0时，忖-7-打一c4=k一修

c

当q=1时||«,--G|-1^-/||=|(1-«,•)-(1-bt)|=\at-Z>;|

d(A_C,3_C)=Z|a,f|=d(AB)

所以i

(HI)证明:设A=(q，4,…，4),6=(4也，…也),C=(C[,C2,…,c/eS、

d(A,B)=k,d(A,C)=I,d(B,C)=h

记0=(0,0,…O)eS“由(口)可知

d(A,B)=d(A-A,B-A)=d(Q,B-A)=k

d(A,C)=d(A—A,C—A)=d(0,C-4)=/

d(B,C)=d(B-A,C-A)=h

所以14fl(i=1,2,•••，〃)中1的个数为k1。-41a=1，2L〃)中1的个数为/

设,是使内一⑷=J-4=1成立的i的个数。^h=l+k-2t

由此可知，三个数不可能都是奇数，

即d(A,B\d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数.

注：(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可；

(2)综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，

然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用。

要点考向4:数学归纳法

考情聚焦：1.新课标区对数学归纳法的考查在去年有加强的趋势，望能引起足够的重

2.以解答题的形式呈现，属中档题。

例4:等比数列｛4｝的前n项和为工，已知对任意的〃wN+，点(〃S,),均在函

数y=6'+«。＞0且b工1力,「均为常数)的图像上.

(1)求r的值;

(11)当5=2时，记勿=2(10例，+崎(N+

证明：对任意的HGN*,不等式%上*•&B……％±1＞册工J成立

白Ab.

【解析】因为对任意的〃eN+,点(〃,5“)，均在函数旷=。'+广伯＞0且/2。1,4厂均为常数

的图像上.所以得5„=夕+「，当〃=1时,q=£=b+r,当〃22

时a“==夕+r-("一+r)=b"-"t=3―1)/,又因为{qj为等比数列，所以

「=一1公比为方，为=(8—1)"1

(2)当b=2时，q=(b—I)"-=2"，bn=2(log2q,+1)=2(log22--'+1)=2n

_.b+12〃+1c-|X|/?.+1a+1b+13572〃+l

bn2nb}b2bn2462〃

下面用数学归纳法证明不等式华•罟……^411等,内成立.

①当〃=1时，左边=।，右边=及，因为।＞血，所以不等式成立.

_/nr、csix1一L一■.公八，…n_/?.4_1+1仇+1357

②假以当n=k时不等式成AZ,即-----=--.....■—=-TT爸UGT成立

々b2bk246

则当0=^+1时，左边=纪^.”2+14+1矶+13572左+12左+3

~bk--^7=57%2k'2k+2

ab2

>yn—^2Z+3卜2k+3)2"+1)?+4("+1)+1

>+2k+2-弋4(Z+1)F4(%+1)a+D+"高>收而

所以当〃=%+1时，不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.

注：(1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式，命题关键在于"先看项"，弄

清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n=k

到n=k+l时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。

(2)在本例证明过程中，①考虑"n取第一个值的命题形式"时，需认真对待，一般

情况是把第一个值供稿通项，判断命题的真假，②在由n=k到n=k+l的递推过程中，必

须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。

(3)在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一"凑"假设，二"凑"

结论，关键是明确n=k+l时证明的目标，充分考虑由n=k到n=k+l时，命题形式之间的

区别和联系。

【高考真题探究】

1.(2010•山东高考文科10)观察(f)'=2x,(x4),=4x*134,(cosx)'=-sinx,由

归纳推理可得：若定义在R上的函数/(%)满足/(-%)=/(%)，记g⑴为/(x)的导函数，

贝!Jg(-x)=()

(A)/(x)(B)-/(x)(C)g(x)(D)—g(x)

【规范解答】选D.通过观察所给的结论可知，若/(x)是偶函数，则导函数g(x)是奇函

数，故选D.

2.(2010•陕西高考理科・T12)观察下列等式：

13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102.....根据上述规律，第五个等式为

【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幕式指数规律明显，底数关系如下：

1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,即左边底数的和等于右边的底数。故第五个等式为：

13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.

【答案】13+23+33+43+53+63=212.

4.(2010・江苏高考・T23)已知AABC的三边长都是有理数。

(1)求证：cosA是有理数；

(2)求证：对任意正整数n,cosnA是有理数。

【命题立意】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析

问题、解决问题的能力。

【思路点拨】(1)利用余弦定理表示cosA,由三边a,Ac是有理数，求得结论；(2)可

利用数学归纳法证明.

【规范解答】方法一：(1)设三边长分别为,cos—+：一。,•.七力,，是有理

2bc

数，

从+c,2-/是有理数分母2儿为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性,

.•・十:一"必为有理数,「.cosA是有理数。

2hc

(2)①当〃=1时，显然cosA是有理数；

当九=2时，,「cos2A=2cos?A-1,因为cosA是有理数，,cos2A也是有理数；

②假设当n<k*22)时，结论成立,即coskA、cos(k-I)A均是有理数。

当〃=%+1时，cos(k+1)A=cosMcosA—sinMsinA,

cos(Z+1)A=coskAcos/I——[cos(M-A)-cos(M+A)],

cos(A:+l)A=cosMcosA——cos(/:-l)/l+—cos(A:+l)A,

22

解得：cos伏+l)A=2cos加cosA-cos(k-l)A

,.cosA,cosfc4,cos(A-l)A均是有理数，，2cos加8$4-8$(火-1)人是有理数，

cos(A+1)A是有理数

即当〃=上+1时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n,cosnA是有理数。

5.(2009江苏高考)设a2%>0,求证：3/+2b3>3(rb+lab1.

证明：3/+2b7,—(Serb+2ab2)-3a2(a-b)+2h2(b—ci)-(3a2—2b2)(a-b).

因为aN%>0,所以a—〃NO,3a2-2b1>0,

从而(3/_2/)(a-切对，

即3a3+2Z/23a2。+2ab2.

6.(2008安徽高考)设数列｛q｝满足q=0,%=⑹+1-c,ceM,其中c为实数

(I)证明：q€[0川对任意〃€*成立的充分必要条件是。€[0,1]；

(口)设0<c，<；,证明：a“…1-(3c)"-',"eN*；

(HI)设0<c<2，证明：a；+星+C>n+l-Y^-mcN*

31-3c

【解析】(I)必要性：..《=(),%=l-c,又•••生€[(),1],二。融-c1,BPce[O,l].

充分性：设Ce[0,1],对任意neN*用数学归纳法证明e[0,1].

当〃=1时，4=0G[0,1].

假设当〃=A时，ake[0,l](fc...1)，则%।=ca；+1-c,,c+l-c=l,且

%+i=ca；+1—c鹿1—c0,tZj(.+16fO,I1.

由数学归纳法知，a.e[0,11对任意neN成立.

(II)设0<CY,，当〃=1时，=0,结论成立；

当〃…2时，=ca；_]+l-c,1—an—c(l—c^_x)=c(l—an_x)(1+an_t+.

0<c<；，由(I)知a,—e[。,1],二1+a”-i+a3,,3且1—a“…0,

2

(3c)(l-a„_2)^J(3。)"一'(1—q)=(3c)"T,

J

an...1-(3c)',n&N*.

(m)设o<c<\,当"=i时，a\=o>2--^-，结论成立；

3l-3c

当〃…2时，由(口)知/…1-(3C)"T>0,

a；>[1—(3C)"T]2=1-2(3c)i+(3°产”力>1-2(3c))’.

.-.a；+a-++a；=G+>n-1-2[(3c)+(3c)2++(3。严]

2[l-(3c)”]

=〃+1—>??+!—2

1—3c1—3。

一、选择题

1.已知P是4的充分不必要条件，则F是「P的()

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

_1,11

2•设a、b、c都是正数，则。+江"】。+7三个数（）

A、都大于2B、至少有一个大于2

C、至少有一个不大于2D、至少有一个不小于2

3在中，A,B,C所对的边分别为a,=，则△ABC一定是（）

GA。B

（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等边三角形（D）等腰直角三角形

4.5.已知函数y=f（x）的定义域为D,若对于任意的x”芍eO（再H/），都有

/（土产）<）匕）："上）,则称y=/（X）为。上的凹函数.由此可得下列函数中的凹

函数为（）

23

（A）j=log2x（B）j=Vx（C）y=x（D）y=x

5.给定正整数n（n22）按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1,2,3，…，n,在

下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少

一个数），依次类推，最后一行（第n行）只有一个数.例如n=6时数表如图所示，则当

n=2007时最后一行的数是（）

112

4861

202836

8121620

357911

123456

(A)251x22007(B)2007x22006(C)251x22008(D)2007x22005

6.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、

纵坐标分别对应数列｛an｝（neN*）的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按

如此规律下去，则a2009+a2010+a2Oil等于（）

(C)l006(D)2Oil

二、填空题

7.对于等差数列｛%｝有如下命题："若｛4｝是等差数列，卬=0,s、7是互不相等的正

整数，则有（s-D«,-（r-!）%=0"。类比此命题，给出等比数列也，｝相应的一个正

确命题是：“________________________________________________

8.如果AAIBICI的三个内角的余弦值分别等于AA2B2c2的三个内角的正弦值，则AAIB.ICI

是三角形，M2B2c2是三角形.（用"锐角"、"钝角"或"直角"

填空）

9.在直角三角开乡A8C中，两直角边分别为a、b,设h为斜边上的高，贝城=5+'，

由此类比：三棱锥S-A5C的三个侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长分别为b、c,

设棱推底面ABC上的高为/?，则.

三、解答题

10.观察下表：

1,

2,3

4,5,6,7

8,9,10,11,12,13,14„,15,

问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？

(2)此表第n行的各个数之和是多少？

(3)2010是第几行的第几个数？

(4渥否存在neN*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227-213-120?若存在,

求出n的值；若不存在，请说明理由.

11.已知数列{%}：%=1,4=2,q=r,az=4+2(n是正整数),与数列{b„}:

仇=1,a=0,4=T，仇=。，bll+4=bn("是正整数).记

Tn=b[%+b^a2+4%++bnan.

(1)若4+g+。3++42，求「的值；

(2)求证：当〃是正整数时，Ti2n;

(3)已知「〉0，且存在正整数机，使得在工2,“+一兀M，，6,“M2中有4项为100.求

r的值，并指出哪4项为100.

22

12.已知数列{a“},>0,a,=0,a„+|+an+l-1=an(neN").记

Sn-a.+%+••,+ci.T--------------1------------------------------+,,,H--------------------------------------------------.

1+(2|(1+G1)(1+<z2)(1+q)(1+%)…(1+a”)

求证：当〃wN•时，

(!)«„<%；

(口)S„>n-2;

(DI)z,<3。

一、选择题

1•【解析】选A.反证法的原理："原命题"与"逆否命题"同真假，即：若P=>q则％n-p.

2.【解析】选D.

5AabsinAsinB，八/八、

3【解析】选A.-----=——-二---；=——-tanAA=tan5，又因为A,B£(O,;r),

cosAcosBcosAcosB''

A=B;

4.【解析】选C.可以根据图像直观观察；对于（C）证明如下：欲证

+々(/5)+/(々),即证（土户）<当其

,即证

~2T~

2

（X,+X2）<2x：+2x1,即证（巧一々J>0，显然，这个不等式是成立的，且每一步可

逆，故原不等式得证；

5.【解析】选C.由题意知，112=7x24,48=6x23,20=5x22,故n行时，最后一行数为

(n+l)-2n-2,

所以当n=2007时,最后一行数为2008x22005=251x22008.

二、填空题

6•【解析】选B.观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半.a4n-3=n，a4n-l=f,

又2009=4x503-3,2011=4x503-1,..^2009=503,a2011=-50312010=1005,

•■•a2009+a2010+a2011=1005.

7•【解析】这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中+、-、x、+类比到等

比数列经常

是x、+、（）"、灰5,类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的"相似"，"相似"是

即武广

类比的基础。b:'=1.

r5-1

答案：若物,｝是等比数列，仇=1,S、，是互不相等的正整数，则有‘7T=1。

hs

C1111

8.答案：锐角钝角

三、解答题

10•【解析】(1)•.第n+1行的第1个数是2n,n行的最后一个数是2n-l.

(2)2n-1+(2n-1+l)+(2n-1+2)+...+(2n-l)

「巨'+2"1J-2"1

2=3-2»3_2n-2.

(3).210=1024,2n=2048,1024<2010<2048,

.1.2010在第11行，该行第1个数是210=1024,由2010-1024+1=987,知2010是

第11行的第987个数.

设第行的所有数之和为,第行起连续行的所有数之和为

(4)nann10Sn.

则2n3n22n1n12n+1n

an=3-2--2-,an+1=3-2--2-,an+2=3-2-2..........

2n+15n+7

an+g=3-2-2,

2n32n1

Sn=3(2-+2-+...+22n+15)_(2n-2+2n-l+...

2-1)2-2(2.1)

+2n+7)~6，~4-1