湖南省株洲市株洲县2025届九年级数学第一学期期末统考试题含解析

湖南省株洲市株洲县2025届九年级数学第一学期期末统考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，=2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（）A． B． C． D．2．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则阴影部分的面积是（）A． B． C． D．3．一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有个（）A．45 B．48 C．50 D．554．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（）A．抽101次也可能没有抽到一等奖B．抽100次奖必有一次抽到一等奖C．抽一次不可能抽到一等奖D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（）A． B． C． D．6．对于二次函数,下列说法正确的是（）A．图象开口方向向下； B．图象与y轴的交点坐标是（0，-3）；C．图象的顶点坐标为（1，-3）； D．抛物线在x＞-1的部分是上升的．7．如图所示，抛物线的顶点为，与轴的交点在点和之间，以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①③8．如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，若，则的值为（）A． B． C． D．9．一元二次方程x²-4x-1=0配方可化为（）A．(x+2)²=3 B．(x+2)²=5 C．(x-2)²=3 D．(x-2)²=510．△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知：cos∠A=，则sin∠DCB的值为（）A． B． C． D．11．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A． B． C． D．12．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10

次，若共有

x

人参加聚会，则根据题意，可列方程（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．比较sin30°、sin45°的大小，并用“＜”连接为_____．14．已知扇形的圆心角为90°，弧长等于一个半径为5cm的圆的周长，用这个扇形恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．则该圆锥的高为__________cm．15．如图，面积为6的矩形的顶点在反比例函数的图像上，则__________．16．如图，在平面直角坐标系中，,P是经过O,A,B三点的圆上的一个动点（P与O,B两点不重合），则__________°，__________°.17．如图，两个同心圆，大圆半径，，则图中阴影部分的面积是__________．18．如图一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数的图象于Q，，则Q点的坐标为_____________三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（，3），B（，2），C（0，）．（1）以y轴为对称轴，把△ABC沿y轴翻折，画出翻折后的△；（2）在（1）的基础上，①以点C为旋转中心，把△顺时针旋转90°，画出旋转后的△；②点的坐标为，在旋转过程中点经过的路径的长度为_____（结果保留π）．20．（8分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，OB=OA，且∠AOB=120°．(1)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△OBC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点M为抛物线上一点，点N为对称轴上一点，是否存在点M、N使得A、O、M、N构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．（8分）已知关于的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．22．（10分）如图，已知直线与轴、轴分别交于点与双曲线分别交于点，且点的坐标为．（1）分别求出直线、双曲线的函数表达式；（2）求出点的坐标；（3）利用函数图像直接写出：当在什么范围内取值时．23．（10分）如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝∠CDE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长．24．（10分）若矩形的长为，宽为，面积保持不变，下表给出了与的一些值求矩形面积.(1)请你根据表格信息写出与之间的函数关系式;(2)根据函数关系式完成下表184225．（12分）如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，过点作交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，求证：四边形是菱形．26．解方程：(1)(2)

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】只要证明，即可解决问题．【详解】解:A.，可得AE：AC=1：1，与已知不成比例，故不能判定B.，可得AC：AE=1：1，与已知不成比例，故不能判定；C选项与已知的，可得两组边对应成比例，但夹角不知是否相等，因此不一定能判定；D.，可得DE//BC，故选D.【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2、A【分析】根据直角三角形的性质得到AC=BC=2，∠B=60°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴AC=BC=2，∠B=60°，∴阴影部分的面积=S△ACB-S扇形BCD=×2×2-=故选：A．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．3、A【分析】小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1：9，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1：9；即可计算出红球数．【详解】∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，∴白球与红球的数量之比为1：9，∵白球有5个，∴红球有9×5=45（个），故选A．4、A【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可．【详解】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为为0.01”就是说抽100次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，抽一次也可能抽到一等奖，抽101次也可能没有抽到一等奖．故选：A．【点睛】本题考查概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现．5、D【分析】过点作x轴的垂线，垂足为M，通过条件求出，MO的长即可得到的坐标.【详解】解：过点作x轴的垂线，垂足为M，∵，，∴，，∴，在直角△中，，，∴，，∴OM=2+1=3，∴的坐标为.故选：D.【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．6、D【解析】二次函数y=2（x+1）2-3的图象开口向上，顶点坐标为（-1，-3），对称轴为直线x=-1；当x=0时，y=-2，所以图像与y轴的交点坐标是（0，-2）；当x＞-1时，y随x的增大而增大，即抛物线在x＞-1的部分是上升的，故选D.7、B【分析】根据二次函数的图象可逐项判断求解即可.【详解】解：抛物线与x轴有两个交点，

∴△>0，

∴b2−4ac>0，故①错误；

由于对称轴为x=−1，

∴x=−3与x=1关于x=−1对称，

∵x=−3，y<0，

∴x=1时，y=a+b+c<0，故②错误；

∵对称轴为x=−=−1，

∴2a−b=0，故③正确；

∵顶点为B(−1,3)，

∴y=a−b+c=3，

∴y=a−2a+c=3，

即c−a=3，故④正确,

故选B．【点睛】本题考查抛物线的图象与性质，解题的关键是熟练运用抛物线的图象与性质，本题属于中等题型．8、A【分析】根据，得到AC=3EC，则AE=2EC，再根据，得到△ADE∽△EFC，再根据面积之比等于相似比的平方即可求解.【详解】∵，∴AB：BD=AC：EC，又∵∴AC=3EC，∴AE=2EC，∵，∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B=∠EFC，∴△ADE∽△EFC又AE=2EC∴=（2：1）2=4:1故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．9、D【分析】移项，配方，即可得出选项．【详解】x2−4x−1＝0，x2−4x＝1，x2−4x＋4＝1＋4，（x−2）2＝5，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．10、C【分析】设，根据三角函数的定义结合已知条件可以求出AC、CD，利用∠BCD=∠A，即可求得答案．【详解】∵，

∴，

∵，

∴设，则，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴．故选：C．【点睛】本题考查直角三角形的性质、三角函数的定义、勾股定理、同角的余角相等等知识，熟记性质是解题的关键．11、A【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故答案为A．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念,理解这两个概念是解答本题的关键.12、C【分析】如果人参加了这次聚会，则每个人需握手次，人共需握手次；而每两个人都握了一次手，因此一共握手次.【详解】设人参加了这次聚会，则每个人需握手次，依题意，可列方程.故选C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用.二、填空题（每题4分，共24分）13、＜．【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】解：∵sin30°=12、sin45°=22，

∴sin30°＜sin45°．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．14、【分析】利用弧长公式求该扇形的半径，圆锥的轴截面为等腰三角形，其中底边为10，腰为母线即扇形的半径，根据勾股定理求圆锥的高.【详解】解：设扇形半径为R，根据弧长公式得，∴R=20，根据勾股定理得圆锥的高为：.故答案为：.【点睛】本题考查弧长公式，及圆锥的高与母线、底面半径之间的关系，底面周长等于扇形的弧长这个等量关系和勾股定理是解答此题的关键.15、-1【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得|k|=1，再根据函数所在的象限确定k的值．【详解】解：∵反比例函数的图象经过面积为1的矩形OABC的顶点B，

∴|k|=1，k=±1，

∵反比例函数的图象经过第二象限，

∴k=-1．

故答案为：-1．【点睛】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|．16、4545或135【分析】易证△OAB是等腰直角三角形，据此即可求得∠OAB的度数，然后分当P在弦OB所对的优弧上和在弦OB所对的劣弧上，两种情况进行讨论，利用圆周角定理求解．【详解】解：∵O（0，0）、A（0，2）、B（2，0），

∴OA=2，OB=2，

∴△OAB是等腰直角三角形．

∴∠OAB=45°，

当P在弦OB所对的优弧上时，∠OPB=∠OAB=45°，

当P在弦OB所对的劣弧上时，∠OPB=180°-∠OAB=135°．

故答案是：45°，45°或135°．【点睛】本题考查了圆周角定理，正确理解应分两种情况进行讨论是关键．17、【分析】根据题意可知，阴影部分的面积等于半径为4cm，圆心角为60°的扇形面积.【详解】∵，，∴阴影部分的面积为扇形OBC的面积：，故答案为：.【点睛】本题主要考查了阴影部分面积的求法，熟练掌握扇形的面积公式是解决本题的关键.18、(2,)【解析】因为三角形OQC的面积是Q点的横纵坐标乘积的一半，所以可求出k的值，PC为中位线，可求出C的横坐标，也是Q的横坐标，代入反比例函数可求出纵坐标【详解】解：设A点的坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），

分别代入，解方程得a=4，b=-2，

∴A（4，0），B（0，-2）∵PC是△AOB的中位线，

∴PC⊥x轴，即QC⊥OC，

又Q在反比例函数的图象上，

∴2S△OQC=k，

∴k＝2×＝3，

∵PC是△AOB的中位线，

∴C（2，0），

可设Q（2，q）∵Q在反比例函数的图象上，

∴q＝，

∴点Q的坐标为(2

，

)．点睛：本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道函数上面取点后所得的三角函数的面积和点的坐标之间的关系．三、解答题（共78分）19、（1）画图见解析；（2）①画图见解析；②（4，-2），.【分析】（1）根据轴称图形的性质作出图形即可；（2）①根据旋转的性质作出图形即可；②在坐标系中直接读取数值即可，第二空根据弧长计算公式进行计算即可.【详解】解：（1）如图所示：△为所求；（2）①如图所示，△为所求；②由图可知点的坐标为（4，-2）；∵==5在旋转过程中点经过的路径的长度为：=.故答案为：（4，-2），.【点睛】本题考查了轴对称和旋转作图，以及弧长计算公式的应用.掌握弧长计算公式是解题的关键.20、（1）；（2）（－1，）；（3）M1（－1，－），M2（－3，），M3（1，）．【解析】（1）先确定出点B坐标，再用待定系数法即可；（2）先判断出使△BOC的周长最小的点C的位置，再求解即可；（3）分OA为对角线、为边这两种情况进行讨论计算即可得出答案．【详解】(1)如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D,∵点A的坐标为（-2，0），OB=OA，∴OB=OA=2，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，在Rt△OBD中,∠ODB=90°，∴∠OBD=30°，∴OD=1,DB=，∴点B的坐标是(1,)，设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由已知可得：，解得：∴所求抛物线解析式为；(2)存在.如图所示，∵△BOC的周长=OB+BC+CO，又∵OB=2，∴要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，∵点O和点A关于对称轴对称，∴连接AB与对称轴的交点即为点C，由对称可知，OC=OA，此时△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+AC；点C为直线AB与抛物线对称轴的交点，设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A(−2,0),B(1,)分别代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+，当x=−1时,y=，∴所求点C的坐标为(−1,)；(3)如图所示，①当以OA为对角线时，∵OA与MN互相垂直且平分，∴点M1(−1,−)，②当以OA为边时，∵OA=MN且OA∥MN，即MN=2,MN∥x轴，设N(−1,t)，则M(−3,t)或(1,t)将M点坐标代入，解得，t=，∴M2(−3,)，M3(1,)综上：点M的坐标为：（－1，－），或（－3，）或（1，）．【点睛】本题是一道二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、最短路径、平行四边形等知识.综合运用所学知识，并进行分类讨论是解题的关键.21、（1）；（2）的值是，该方程的另一根为．【解析】试题分析：（1）利用根的判别式列出不等式求解即可；（2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.试题解析：（1）∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜1，∴a的取值范围是a＜1；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣1．22、（1），；（2）D；（3）．【分析】（1）把代入得到的值，把代入双曲线得到的值；（2）把一次函数和反比例函数的解析式联立方程，解方程即可求得；（3）直线图象在双曲线上方的部分时的值，即为时的取值范围．【详解】解：（1）把点代入，得：，直线的解析式；把点代入，得：，双曲线的解析式；（2）解得，，点的坐标为；（3），的坐标为，观察图形可知：当时，的取值范围为：．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题：把两函数的解析式联立起来组成方程组，解方程组即可得到它们的交点坐标．也考查了数形结合的思想，利用数形结合解决取值范围的问题，是非常有效的方法．23、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接，根据三角形的内角和得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，于是得到结论；（2）根据已知条件得到，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴∵点在上，∴是的切线（2）解