2025届山西省汾阳市九上数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2025届山西省汾阳市九上数学期末质量跟踪监视模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每题4分，共48分）1．如果，那么下列比例式中正确的是（）A． B． C． D．2．某超市一天的收入约为450000元，将450000用科学记数法表示为（）A．4.5×106 B．45×105 C．4.5×105 D．0.45×1063．如图，在矩形中，，的平分线交边于点，于点，连接并延长交边于点，连接交于点，给出下列命题：（1）（2）（3）（4）其中正确命题的个数是（）A． B． C． D．4．下列叙述，错误的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形5．下图中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．6．如图，在平面直角坐标系内，四边形ABCD为菱形，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），点C，D分别在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）A． B．4 C．4 D．207．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（）A． B． C． D．8．如图，的半径弦于点，连结并延长交于点，连结．若，，则的长为（）A．5 B． C． D．9．下列事件是随机事件的是（）A．画一个三角形，其内角和是 B．射击运动员射击一次，命中靶心C．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于 D．在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球10．如图，点的坐标为，点，分别在轴，轴的正半轴上运动，且，下列结论：①②当时四边形是正方形③四边形的面积和周长都是定值④连接，，则，其中正确的有（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④11．一元二次方程的根的情况是A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断12．函数在同一直角坐标系内的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．在平面直角坐标系xoy中，直线（k为常数）与抛物线交于A,B两点，且A点在轴右侧，P点的坐标为（0,4）连接PA,PB．(1)△PAB的面积的最小值为____；（2）当时，=_______14．如图，过轴上的一点作轴的平行线，与反比例函数的图象交于点，与反比例函数，的图象交于点，若的面积为3，则的值为__________．15．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB＝4，BM＝2，则的面积为_____________．16．若一元二次方程的两根为，，则__________．17．二次函数的顶点坐标是___________.18．若一个反比例函数的图像经过点和，则这个反比例函数的表达式为__________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF.（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）已知圆的半径为1，求EF的长.20．（8分）感知定义在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．尝试运用（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．①证明△ABD是“类直角三角形”；②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．类比拓展（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．21．（8分）为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价(单位:万元)成一次函数关系.(1)求年销售量与销售单价的函数关系式;(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?22．（10分）已知：在△ABC中，点D、点E分别在边AB、AC上，且DE//BC，BE平分∠ABC．（1）求证：BD=DE；（2）若AB=10，AD=4，求BC的长．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OA=2，双曲线经过点A．将△AOB绕点A顺时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的负半轴上，若AB的对应线段AC恰好经过点O．（1）求点A的坐标和双曲线的解析式；（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由24．（10分）如图，点在轴正半轴上，点是反比例函数图象上的一点，且.过点作轴交反比例函数图象于点.（1）求反比例函数的表达式；（2）求点的坐标.25．（12分）有这样一个问题，如图1，在等边中，，为的中点，，分别是边，上的动点，且，若，试求的长．爱钻研的小峰同学发现，可以通过几何与函数相结合的方法来解决这个问题，下面是他的探究思路，请帮他补充完整．（1）注意到为等边三角形，且，可得，于是可证，进而可得，注意到为中点，，因此和满足的等量关系为______．（2）设，，则的取值范围是______．结合（1）中的关系求与的函数关系．（3）在平面直角坐标系中，根据已有的经验画出与的函数图象，请在图2中完成画图．（4）回到原问题，要使，即为，利用（3）中的图象，通过测量，可以得到原问题的近似解为______（精确到0.1）26．平面直角坐标系中，函数（x>0），y=x-1，y=x-4的图象如图所示，p（a,b）是直线上一动点，且在第一象限.过P作PM∥x轴交直线于M，过P作PN∥y轴交曲线于N.（1）当PM=PN时，求P点坐标（2）当PM>PN时，直接写出a的取值范围.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据比例的性质，若，则判断即可.【详解】解：故选：C.【点睛】本题主要考查了比例的性质，灵活的利用比例的性质进行比例变形是解题的关键.2、C【分析】根据科学记数法的表示方法表示即可．【详解】将150000用科学记数法表示为1．5×2．故选：C．【点睛】本题考查科学记数法的表示,关键在于牢记科学记数法的表示方法．3、D【分析】根据矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质逐一对各命题进行分析即可得出答案.【详解】（1）在矩形ABCD中，∵DE平分∴∵∴是等腰直角三角形∴∴∵是等腰直角三角形∴∴∴∴∴，故（1）正确；（2），∴，故（2）正确；（3）∵∴∵∴∴∴∴∴∴∴，故（3）正确；（4）∵在和中,∴∴在和中,∴∴∴,故（4）正确故选D【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.4、D【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法，平行四边形的判定方法分别分析即可得出答案．【详解】解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，此选项正确，不符合题意；B、根据菱形的判定方法可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，此选项正确，不符合题意；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形是判断平行四边形的重要方法之一，此选项正确，不符合题意；D、根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此只有对角线相等的四边形不能判定是矩形，此选项错误，符合题意；选：D．【点睛】此题主要考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，关键是需要同学们准确把握矩形、菱形正方形以及平行四边形的判定定理之间的区别与联系．5、D【解析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】A、是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．【点睛】考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．6、C【分析】根据题意和勾股定理可得AB长，再根据菱形的四条边都相等，即可求出菱形的周长．【详解】∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），∴OA＝2，OB＝1，∴，∴菱形ABCD的周长等于4AB＝4．故选：C．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出AB的长是解题关键．7、B【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．【详解】解：6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是．故选：B．【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．8、C【分析】连接BE，设⊙O的半径为r，然后由垂径定理和勾股定理列方程求出半径r，最后由勾股定理依次求BE和EC的长即可．【详解】解：如图：连接BE设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OC=r-2∵OD⊥AB，∴∠ACO=90°∴AC=BC=AB=4，在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2-42=（r-2）2，解得：r=5∴AE=2r=10，∵AE为⊙O的直径∴∠ABE=90°由勾股定理得：BE==6在Rt△ECB中，EC=．故答案为C．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，根据题意正确作出辅助线、构造出直角三角形并利用勾股定理求解是解答本题的关键．9、B【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】A、画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故本选项错误；

B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项正确；

C、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7是必然事件，故本选项错误；

D、在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球是不可能事件，故本选项错误．

故选：C．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．10、A【分析】过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，易得出四边形PMON是正方形，推出OM=OM=ON=PN=1，证得△APM≌△BPN，可对①进行判断，推出AM=BN，求出OA+OB=ON+OM=2，当OA=OB时，OA=OB=1，然后可对②作出判断，由△APM≌△BPN可对四边形OAPB的面积作出判断，由OA+OB=2，然后依据AP和PB的长度变化情况可对四边形OAPB的周长作出判断，求得AB的最大值以及OP的长度可对④作出判断．【详解】过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，

∵P(1，1)，

∴PN=PM=1．

∵x轴⊥y轴，

∴∠MON=∠PNO=∠PMO=90°，则四边形MONP是正方形，

∴OM=ON=PN=PM=1，

∵∠MPN=∠APB=90°，

∴∠MPA=∠NPB．

在△MPA≌△NPB中，，

∴△MPA≌△NPB，

∴PA=PB，故①正确．

∵△MPA≌△NPB，

∴AM=BN，

∴OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=1+1=2．

当OA=OB，即OA=OB=1时，则点A、B分别与点M、N重合，此时四边形OAPB是正方形，故②正确．

∵△MPA≌△NPB，

∴．

∵OA+OB=2，PA=PB，且PA和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误．

∵∠AOB+∠APB=180°，

∴点A、O、B、P共圆，且AB为直径，所以AB≥OP，故④错误．

故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，坐标与图形性质，正方形的性质的应用，圆周角定理，关键是推出AM=BN和推出OA+OB=OM+ON11、A【分析】把a=1,b=-1,c=-1,代入，然后计算，最后根据计算结果判断方程根的情况.【详解】方程有两个不相等的实数根.故选A.【点睛】本题考查根的判别式，把a=1,b=-1,c=-1,代入计算是解题的突破口.12、C【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．【详解】当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=-＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选C．二、填空题（每题4分，共24分）13、16【分析】（1）设A（m，km），B（n，kn），联立解析式，利用根与系数的关系建立之间的关系，列出面积函数关系式，利用二次函数的性质求解最小值即可；（2）先证明平分得到，把转化为，利用两点间的距离公式再次转化，从而可得答案．【详解】解：（1）如图，设A（m，km），B（n，kn），其中m1，n1．得：即，∴∴当k=1时，△PAB面积有最小值，最小值为故答案为．（2）设设A（m，km），B（n，kn），其中m1，n1．得：即，∴设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（1，4），A（m，km）代入得：，解得：，∴令y=1，得∴直线PA与x轴的交点坐标为．同理可得，直线PB的解析式为直线PB与x轴交点坐标为．∵∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．平分，到的距离相等，而∴，过作轴于，过作轴于，则∴∴∵∴∴∴故答案为：【点睛】本题是代数几何综合题，难度很大．考查了二次函数与一次函数的基本性质，一元二次方程的根与系数的关系．相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，解答中首先得到基本结论，即PA、PB的对称性，正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用．14、-6.【分析】由AB∥x轴，得到S△AOP=，S△BOP=，根据的面积为3得到，即可求得答案.【详解】∵AB∥x轴，∴S△AOP=，S△BOP=，∵S△AOB=S△AOP+S△BOP=3，∴，∴-m+n=6，∴m-n=-6，故答案为：-6.【点睛】此题考查反比例函数中k的几何意义，由反比例函数图象上的一点作x轴（或y轴）的垂线，再连接此点与原点，所得三角形的面积为，解题中注意k的符号.15、1【分析】先根据正方形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得CF的长，又根据线段的和差可得DF的长，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得出DE的长，最后根据直角三角形的面积公式即可得．【详解】四边形ABCD是正方形，，即在和中，，即解得又，即，即解得则的面积为故答案为：1．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定定理与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解题关键．16、4【分析】利用韦达定理计算即可得出答案.【详解】根据题意可得：故答案为4.【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，若和是方程的两个解，则.17、【分析】因为顶点式y=a（x-h）2+k，其顶点坐标是（h，k），直接求二次函数的顶点坐标即可．【详解】∵是顶点式，∴顶点坐标是.故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键.18、【分析】这个反比例函数的表达式为，将A、B两点坐标代入，列出方程即可求出k的值，从而求出反比例函数的表达式．【详解】解：设这个反比例函数的表达式为将点和代入，得化简，得解得：（反比例函数与坐标轴无交点，故舍去）解得：∴这个反比例函数的表达式为故答案为：．【点睛】此题考查的是求反比例函数的表达式，掌握待定系数法是解决此题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）证明见解析；（2）EF=2.【分析】(1)、先证明四边形AOCD是菱形，从而得到∠AOD=∠COD=60°，再根据切线的性质得∠FDO=90°，接着证明△FDO≌△FBO得到∠ODF=∠OBF=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；(2)、在Rt△OBF中，利用60度的正切的定义求解．【详解】(1)、连结OD，如图，∵四边形AOCD是平行四边形，而OA=OC，∴四边形AOCD是菱形，∴△OAD和△OCD都是等边三角形，∴∠AOD=∠COD=60°，∴∠FOB=60°，∵EF为切线，∴OD⊥EF，∴∠FDO=90°，在△FDO和△FBO中，∴△FDO≌△FBO，∴∠ODF=∠OBF=90°，∴OB⊥BF，∴BF是⊙O的切线；(2)、在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°，而tan∠FOB=，∴BF=1×tan60°=．∵∠E=30°，∴EF=2BF=2．考点：(1)、切线的判定与性质；(2)、平行四边形的性质20、（1）①证明见解析；②CE＝；（2）当△ABC是“类直角三角形”时，AC的长为或．【分析】（1）①证明∠A+2∠ABD=90°即可解决问题．②如图1中,假设在AC边设上存在点E（异于点D）,使得△ABE是“类直角三角形”,证明△ABC∽△BEC,可得,由此构建方程即可解决问题．（2）分两种情形:①如图2中,当∠ABC+2∠C=90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB．则点F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA．②如图3中,由①可知,点C,A,F共线,当点E与D共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,可证∠C+2∠ABC=90°,利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【详解】（1）①证明:如图1中,∵BD是∠ABC的角平分线,∴∠ABC＝2∠ABD,∵∠C＝90°,∴∠A+∠ABC＝90°,∴∠A+2∠ABD＝90°,∴△ABD为“类直角三角形”;②如图1中,假设在AC边设上存在点E（异于点D）,使得△ABE是“类直角三角形”,在Rt△ABC中,∵AB＝5,BC＝3,∴AC＝,∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°,∴∠ABE+2∠A＝90°,∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°,∴∠A＝∠CBE,∴△ABC∽△BEC,∴,∴CE＝,（2）∵AB是直径,∴∠ADB＝90°,∵AD＝6,AB＝10,∴BD＝,①如图2中,当∠ABC+2∠C＝90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB,则点F在⊙O上,且∠DBF＝∠DOA,∵∠DBF+∠DAF＝180°,且∠CAD＝∠AOD,∴∠CAD+∠DAF＝180°,∴C，A，F共线,∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°,∴∠C＝∠ABF,∴△FAB∽△FBC,∴,即,∴AC＝．②如图3中,由①可知,点C,A,F共线,当点E与D共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,∴∠C+2∠ABC＝90°,∵∠CAD＝∠CBF,∠C＝∠C,∴△DAC∽△FBC,∴,即,∴CD＝（AC+6）,在Rt△ADC中,[（ac+6）]2+62＝AC2,∴AC＝或﹣6（舍弃）,综上所述,当△ABC是“类直角三角形”时,AC的长为或．【点睛】本题主要考查圆综合题,考查了相似三角形的判定和性质,“类直角三角形”的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题.21、（1）；（2）该公可若想获得10万元的年利润，此设备的销售单价应是3万元.【解析】分析：（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．详解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，53）代入y=kx+b，得：，解得：，∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1．（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1）台，根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1）=10，整理，得：x2﹣130x+4000=0，解得：x1=3，x2=2．∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=3．答：该设备的销售单价应是3万元/台．点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．22、（1）见解析；（2）15【分析】（1）利用平行线性质及角平分线线定理得到∠DEB=∠DBE，再利用等腰三角形判定得到BD=DE，即得到答案.（2）利用相似的判定得到△ADE∽△ABC，再利用相似的性质得到，代入值即可得到答案.【详解】（1）证明：∵DE//BC，∴∠DEB=∠EBC∵BE平分∠ABC∴∠DBE=∠EBC∴∠DEB=∠DBE∴BD=DE(2)解：∵AB=10，AD=4∴BD=DE=6∵DE//BC∴△ADE∽△ABC∴∴∴BC=15【点睛】本题考查平行线性质、等腰三角形的判定以及相似三角形的判定、性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23、（1），双曲线的解析式为；（2）点在双曲线上，理由见解析.【分析】（1）根据旋转的性质和平行线的性质，得到，得到△AOD是等边三角形，根据特殊角的三角函数，求出点A的坐标，然后得到双曲线的解析式；（2）先求出OC的长度，然后利用特殊角的三角函数