2025届湖南省永州市双牌县数学九上期末学业质量监测试题含解析

2025届湖南省永州市双牌县数学九上期末学业质量监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图,AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点,，弧AD=弧CD．则∠DAC等于（）A． B． C． D．2．如图，AB⊥OB，AB=2，OB=4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（）A．2 B．2π C．π D．π3．若反比例函数的图象经过点（2，-3），则k值是（）A．6 B．-6 C． D．4．下列事件为必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和是C．买一张电影票，座位号是奇数号 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上5．sin30°等于()A． B． C． D．6．已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断7．下列根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．8．某单位进行内部抽奖，共准备了100张抽奖券，设一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个．若每张抽奖券获奖的可能性相同，则1张抽奖券中奖的概率是（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.69．某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为（）A．150 B．100 C．50 D．20010．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（4，4）、D（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD缩小为线段AB，若点B的坐标为（3，1），则点A的坐标为（）A．（0，3） B．（1，2） C．（2，2） D．（2，1）二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是___________12．不等式组的解集是_____________．13．如图，在4×4的正方形网络中，已将部分小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是____.14．如图，在反比例函数的图象上任取一点P，过P点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，那么四边形PMON的面积为_____．15．已知中，，交于，且，，，，则的长度为________.16．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为________.17．对于任意非零实数a、b，定义运算“”，使下列式子成立：，，，，…，则ab=．18．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=．三、解答题(共66分)19．（10分）计算：=_________。20．（6分）如图，在边长为的正方形中，点是射线上一动点(点不与点重合)，连接，点是线段上一点，且，连接.求证:；求证:；直接写出的最小值.21．（6分）关于x的一元二次方程为（ｍ－1）x2－2ｍx＋ｍ＋1＝0（1）求出方程的根；（2）ｍ为何整数时，此方程的两个根都为正整数？22．（8分）己知函数（是常数）（1）当时，该函数图像与直线有几个公共点？请说明理由；（2）若函数图像与轴只有一公共点，求的值.23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm．动点P，Q从点A同时出发，点P沿AB向终点B运动；点Q沿AC→CB向终点B运动，速度都是1cm/s．当一个点到达终点时，另一个点同时停止运动．设点P运动的时间为t（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm2）．（1）AC=_________cm；（2）当点P到达终点时，BQ=_______cm；（3）①当t=5时，s=_________；②当t=9时，s=_________；（4）求S与t之间的函数解析式．24．（8分）阅读材料，解答问题：观察下列方程：①；②；③；…；（1）按此规律写出关于x的第4个方程为，第n个方程为；（2）直接写出第n个方程的解，并检验此解是否正确．25．（10分）2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会（The2ndChinaInternationallmportExpo）在上海国家会展中心开幕.本次进博会将共建开放合作、创新共享的世界经济，见证海纳百川的中国胸襟，诠释兼济天下的责任担当.小滕、小刘两人想到四个国家馆参观：.中国馆；.俄罗斯馆；.法国馆；.沙特阿拉伯馆.他们各自在这四个国家馆中任意选择一个参观，每个国家馆被选择的可能性相同.（1）求小滕选择.中国馆的概率；（2）用画树状图或列表的方法，求小滕和小刘恰好选择同一国家馆的概率.26．（10分）某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y＝﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：月份（x）1月2月3月4月5月6月销售量（p）3.9万台4.0万台4.1万台4.2万台4.3万台4.4万台（1）求p关于x的函数关系式；（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】利用圆周角定理得到，则，再根据圆内接四边形的对角互补得到，又根据弧AD=弧CD得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得出的度数．【详解】∵AB为⊙O的直径∵弧AD=弧CD故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，利用圆内接四边形的性质求出的度数是解题关键．2、C【解析】根据勾股定理得到OA，然后根据边AB扫过的面积==解答即可得到结论．【详解】如图，连接OA、OC．∵AB⊥OB，AB=2，OB=4，∴OA==，∴边AB扫过的面积====．故选C．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．3、B【分析】直接把点代入反比例函数解析式即可得出k的值．【详解】∵反比例函数的图象经过点，

∴，解得：．

故选：B．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．4、B【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件.【详解】∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意．故选B．【点睛】本题考查的是对必然事件的概念的理解.解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养.用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.5、B【解析】分析：根据特殊角的三角函数值来解答本题．详解：sin30°=．故选B．点睛：本题考查了特殊角的三角函数值，特殊角三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．6、A【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【详解】∵⊙O的半径为5，若PO＝4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．7、D【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数），逐一判断即可得答案.【详解】A.=，故该选项不是最简二次根式，不符合题意，B.=，故该选项不是最简二次根式，不符合题意，C.=，故该选项不是最简二次根式，不符合题意，D.是最简二次根式，符合题意，故选：D.【点睛】本题考查了对最简二次根式的理解，被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数的二次根式叫做最简二次根式；能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键．8、D【分析】直接利用概率公式进行求解，即可得到答案．【详解】解：∵共准备了100张抽奖券，设一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个．∴1张抽奖券中奖的概率是：＝0.6，故选：D．【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．9、A【分析】根据大量重复试验中的频率估计出概率，利用概率公式求得草鱼的数量即可．【详解】∵通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，∴捕捞到草鱼的概率约为0.5，设有草鱼x条，根据题意得：＝0.5，解得：x＝150，故选：A．【点睛】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，由草鱼出现的频率可以计算出鱼的数量．10、C【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可．【详解】解：∵在第一象限内将线段CD缩小为线段AB，点B的坐标为（3，1），D（6，2），∴以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∵C（4，4），∴端A点的坐标为：（2，2）．故选：C．【点睛】本题考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【解析】试题解析：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵AC=BC=，∴△ACB为等腰直角三角形，∴OC⊥AB，∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，∴S△AOC=S△BOC，OA=AC=1，∴S阴影部分=S扇形AOC=．【点睛】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式：S=πr2，（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．12、【分析】根据解一元一次不等式组的方法求解即可；【详解】解：由不等式①得，，由不等式②得，x＜4，故不等式组的解集是：；故答案为：.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组，掌握一元一次不等式是解题的关键.13、【解析】本题应分别求出正方形的总面积和阴影部分的面积，用阴影部分的面积除以总面积即可得出概率．【详解】解：小虫落到阴影部分的概率＝，故答案为：．【点睛】本题考查的是概率的公式，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．14、1【分析】设出点P的坐标，四边形PMON的面积等于点P的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可．【详解】设点P的坐标为（x，y），∵点P的反比例函数的图象上，∴xy＝﹣1，作轴于，作轴于，∴四边形PMON为矩形，∴四边形PMON的面积为|xy|＝1，故答案为1．【点睛】考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．注意面积应为正值．15、【分析】过B作BF⊥CD于F，BG⊥BF交AD的延长线于G，则四边形DGBF是矩形，由矩形的性质得到BG=DF，DG=FB．由△BFC是等腰直角三角形，得到FC=BF=1．设DE=9x，则CE=7x，EF=CE-FC=7x-1，BG=DF=16x-1，DG=FB=1．在Rt△ADC和Rt△AGB中，由AC=AB，利用勾股定理得到AD=16x-1．证明△FEB∽△DEA，根据相似三角形的对应边成比例可求出x的值，进而得到AD，DE的长．在Rt△ADE中，由勾股定理即可得出结论．【详解】如图，过B作BF⊥CD于F，BG⊥BF交AD的延长线于G，∴四边形DGBF是矩形，∴BG=DF，DG=FB．∵∠BCD=45°，∴△BFC是等腰直角三角形．∵BC=，∴FC=BF=1．设DE=9x，则CE=7x，EF=CE-FC=7x-1，BG=DF=16x-1，DG=FB=1．在Rt△ADC和Rt△AGB中，∵AC=AB，∴，∴，解得：AD=16x-1．∵FB∥AD，∴△FEB∽△DEA，∴，∴，∴18x1-16x+1=0，解得：x=或x=．当x=时，7x-1＜0，不合题意，舍去，∴x=，∴AD=16x-1=6，DE=9x=，∴AE=．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．求出AD=16x-1是解答本题的关键．16、【分析】此题实际上求的值．设t=a2+b2，将原方程转化为关于t的一元二次方程t（t+1）=12，通过解方程求得t的值即可．【详解】设t=a2+b2，则由原方程，得t（t+1）=12，整理，得（t+4）（t-3）=0，解得t=3或t=-4（舍去）．则a2+b2=3，∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长，∴这个直角三角形的斜边长为．故答案是：．【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，以及勾股定理，熟练运用勾股定理是解本题的关键．17、【解析】试题分析：根据已知数字等式得出变化规律，即可得出答案：∵，，，，…，∴。18、．【解析】试题分析：根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠D=∠BAD=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，∵∠1=∠2=110°，∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，∴∠4=90°﹣70°=20°，∴∠α=20°．故答案为20°．三、解答题(共66分)19、4【解析】根据二次根式除法法则计算即可求解.【详解】解：原式===4.故答案为：4.【点睛】本题考查二次根式的除法运算，注意二次根式的运算结果要化为最简二次根式．在二次根式的混合运算中，解题关键是能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的最小值为【分析】（1）由得出，进而得出，即可得出；（2）首先由正方形的性质得出，，然后由（1）中结论得出，进而即可判定，进而得出（3）首先由（1）中得出，然后构建圆，找出DE的最小值即可得解.【详解】∵四边形是正方形由(1)知，又由（1）中，得若使有最小值，则DE最小，由（2）中，点E在以AB为直径的圆上，如图所示∴DE最小值为DO-OE=∴的最小值为【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，以及动点综合问题，解题关键是找出最小值.21、（1）∴．（2）ｍ=2或3．【解析】（1）利用一元二次方程求根根式解方程．（2）利用（1）中x的值来确定m的值．【详解】解：（1）根据题意得ｍ≠1，△＝（–2ｍ）2－4（ｍ－1）（ｍ＋1）＝4，∴．（2）由（1）知，∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数．∴ｍ－1=1或2.．∴ｍ=2或3．考点：公式法解一元二次方程，一元二次方程的解．22、（1）函数图像与直线有两个不同的公共点；（2）或.【分析】（1）首先联立二次函数和一次函数得出一元二次方程，然后由根的判别式判定即可；（2）分情况讨论：当和时，与轴有一个公共点求解即可.【详解】（1）当时，∴∴∵∴方程有两个不相等的实数根，函数图像与直线有两个不同的公共点（2）①当时，函数与轴有一个公共点②当时，函数是二次函数由题可得，综上可知：或.【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，熟练掌握，即可解题.23、（1）8；（2）4；（3）①，②22；（4）【分析】（1）根据勾股定理求解即可；（2）先求出点P到达中点所需时间，则可知点Q运动路程，易得CQ长，；（3）①作PD⊥AC于D，可证△APD∽△ABC，利用相似三角形的性质可得PD长，根据面积公式求解即可；②作PE⊥AC于E，可证△PBE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得PE长，用可得s的值；（4）当0＜t≤8时，作PD⊥AC于D，可证△APD∽△ABC，可用含t的式子表示出PD的长，利用三角形面积公式可得s与t之间的函数解析式；当8＜t≤10时，作PE⊥AC于E，可证△PBE∽△ABC，利用相似三角形的性质可用含t的式子表示出PE长，用可得s与t之间的函数解析式.【详解】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得（2）设点P运动到终点所需的时间为t，路程为AB=10cm，则点Q运动的路程为10cm，即cm所以当点P到达终点时，BQ=4cm.（3）①作PD⊥AC于D，则∵∠A=∠A．∠ADP=∠C=90°，∴△APD∽△ABC．∴．即∴．∴．②如图，作PE⊥AC于E，则∵∠B=∠B．∠BEP=∠C=90°，∴△PBE∽△ABC．∴．即．∴．∴．（4）当0＜t≤8时，如图①．作PD⊥AC于D．∵∠A=∠A．∠ADP=∠C=90°，∴△APD∽△ABC．∴．即．∴．∴．当8＜t≤10时，如图②．作PE⊥AC于E．∵∠B=∠B．∠BEP=∠C=90°，∴△PBE∽△ABC．∴．即．∴．∴．综上所述：【点睛】本题考查了二次函数在三角形动点问题中的应用，涉及的知识点有勾股定理、相似三角形的判定与性质，灵活的应用相似三角形对应线段成比例的性质求线段长是解题的关键.24、（1）9，2n+1；（2）2n+1，见解析【分析】（1）观察一系列等式左边分子为连续两个整数的积，右边为从3开始的连续奇数，即可写出第4个方程及第n个方程；（2）归纳总结即可得到第n个方程的解为n与n+1，代入检验即可．【详解】解：（1）x+＝x+＝9，x+＝2n+1；故答案为：x+＝9；x+＝2n+1．（2）x+＝2n+1，观察得：x1＝n，x2＝n+1，将x＝n代入方程左边得：n+n+1＝2n+1；右边为2n+1，左边＝右边，即x＝n是方程的解；将n+1代入方程左边得：n+1+n＝2n+1；右边为2n+1，左边＝右边，即x＝n+1是方程的解，则经检