锐角三角函数

关于锐角三角函数问题1

为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.ABC

思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？情境探究第2页,共51页，星期六，2024年，5月

根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即ABC

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.可得AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管。第3页,共51页，星期六，2024年，5月在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于。?思考ABC50m30mB'C'第4页,共51页，星期六，2024年，5月

即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于。

如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比

，你能得出什么结论？ABC第5页,共51页，星期六，2024年，5月

综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，

一般地，当∠A

取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？结论问题

当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；

当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.第6页,共51页，星期六，2024年，5月探究ABCA'B'C'

任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A‘＝，那么与有什么关系．你能解释一下吗？由于∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A’＝所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’第7页,共51页，星期六，2024年，5月

这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．探究第8页,共51页，星期六，2024年，5月

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有ABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c

正弦第9页,共51页，星期六，2024年，5月注意sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；sinA不表示“sin”乘以“A”。第10页,共51页，星期六，2024年，5月例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC34

例题示范ABC135(1)(2)试着完成图（2）第11页,共51页，星期六，2024年，5月练习AC35B2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)和B(0，-4)，则sin∠OAB等于____.3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___.4、在Rt△ABC中,∠C=90°,,则sin∠A=___.1、如图，求sinA和sinB的值．第12页,共51页，星期六，2024年，5月5、如图，在△ABC中，AB=CB=5，sinA=，求△ABC的面积。BAC55第13页,共51页，星期六，2024年，5月28.1锐角三角函数（2）——正弦正切第14页,共51页，星期六，2024年，5月复习与探究：

1.锐角正弦的定义在中，

∠A的正弦：2、当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为什么？第15页,共51页，星期六，2024年，5月新知探索:1、你能将“其他边之比”用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？2、当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比，∠A的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由。方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；方法二：根据相似三角形的性质来说明。第16页,共51页，星期六，2024年，5月

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ABC斜边c对边a邻边b★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即第17页,共51页，星期六，2024年，5月注意cosA，tanA是一个完整的符号，它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；cosA不表示“cos”乘以“A”，tanA不表示“tan”乘以“A”第18页,共51页，星期六，2024年，5月

对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。

同样地，

cosA，tanA也是A的函数。

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.第19页,共51页，星期六，2024年，5月ABC6例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6，，求cosA和tanB的值．第20页,共51页，星期六，2024年，5月例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．ABC23延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么规律吗？结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。第21页,共51页，星期六，2024年，5月练习课本P78练习1，2，3.补充练习

1、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.ABCD第22页,共51页，星期六，2024年，5月rldmm8989889补充练习2、如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=12，AB=13，∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和点B到直线MC的距离．3、如图所示，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：第23页,共51页，星期六，2024年，5月28.1锐角三角函数（3）第24页,共51页，星期六，2024年，5月

AB

C∠A的对边a∠A的邻边b斜边c第25页,共51页，星期六，2024年，5月?思考

请同学们拿出自己的学习工具——一副三角尺，思考并回答下列问题：1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如果设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边的长度。30°60°45°121145°第26页,共51页，星期六，2024年，5月新知探索:30°角的三角函数值sin30°=cos30°=tan30°=第27页,共51页，星期六，2024年，5月cos45°=tan45°=sin45°=新知探索:45°角的三角函数值第28页,共51页，星期六，2024年，5月sin60°=cos60°=tan60°=新知探索:60°角的三角函数值第29页,共51页，星期六，2024年，5月30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana第30页,共51页，星期六，2024年，5月例1求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°（2）第31页,共51页，星期六，2024年，5月求下列各式的值：第32页,共51页，星期六，2024年，5月例2（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A的度数．ABC第33页,共51页，星期六，2024年，5月（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．ABO

当A，B为锐角时，若A≠B，则sinA≠sinB,cosA≠cosB,tanA≠tanB.第34页,共51页，星期六，2024年，5月1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A、∠B的度数．BAC第35页,共51页，星期六，2024年，5月2、求适合下列各式的锐角α第36页,共51页，星期六，2024年，5月ABCD4、如图,△ABC中,∠C=900,BD平分∠ABC,BC=12,BD=,求∠A的度数及AD的长.第37页,共51页，星期六，2024年，5月小结

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我们学习了30°,45°,60°这几类特殊角的三角函数值．第38页,共51页，星期六，2024年，5月作业课本P82第3题《同步练习》P51-52（四）（五）第39页,共51页，星期六，2024年，5月28.1锐角三角函数（4）第40页,共51页，星期六，2024年，5月rldmm8989889

DABE1.6m20m42°C引例升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼。当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？这里的tan42°是多少呢？第41页,共51页，星期六，2024年，5月

前面我们学习了特殊角30°45°60°的三角函数值，一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函数值又怎么求呢？

这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.第42页,共51页，星期六，2024年，5月1、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：（1）我们要用到科学计算器中的键：sincostan（2）按键顺序◆如果锐角恰是整数度数时，以“求sin18°”为例，按键顺序如下：按键顺序显示结果sin18°sin18sin180.309016994∴sin18°=0.309016994≈0.31第43页,共51页，星期六，2024年，5月1、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：◆如果锐角的度数是度、分形式时，以“求tan30°36′”为例，按键顺序如下：方法一：按键顺序显示结果tan30°36′tan3036tan30°36′0.591398351∴tan30°36′=0.591398351≈0.59方法二：先转化，30°36′=30.6°,后仿照sin18°的求法。◆如果锐角的度数是度、分、秒形式时，依照上面的方法一求解。第44页,共51页，星期六，2024年，5月rldmm8989889（3）完成引例中的求解：tan2042+1.619.60808089∴AB=19.60808089≈19.61m即旗杆的高度是19.61m.第45页,共51页，星期六，2024年，5月练习:使用计算器求下列锐角的三角函数值.（精确到0.01）（1）sin20°，cos70°；

sin35°，cos55°；

sin15°32′，cos74°28′；（2）tan3°8′，tan80°25′43″；（3）sin15°+cos61°tan76°.第46页,共51页，星期六，2024年，5月按键的顺序显示结果SHIFT20917.301507834sin·7=

已知三角函数值求角度，要用到sin，Cos，tan的第二功能键“sin－１

Cos－１，tan－１”键例如：已知sinα＝0.2974,求锐角α．按健顺序为：如果再按“度分秒健”就换算成度分秒，°′″即∠α＝17o18’5.43”2、已知锐角的三角函数值，求锐角的