运筹学单纯形法第部分

关于运筹学单纯形法第部分

先将约束条件标准化，再引入非负的人工变量，以人工变量作为初始基变量，其对应的系数列向量构成单位阵，称为“人造基”；然后用大M法或两阶段法求解；

线性规划限制条件都是“≥”或“=”类型的约束——第2页,共40页，星期六，2024年，5月等式约束左端引入人工变量的目的

使约束方程的系数矩阵中出现一个单位阵，用单位阵的每一个列向量对应的决策变量作为“基变量”，这样，出现在单纯形表格中的B(i)列（即约束方程的右边常数）值正好就是基变量的取值。（注意：用非基变量表示基变量的表达式）第3页,共40页，星期六，2024年，5月①如果限制条件中既有“≤”类型的约束，又有“≥”或“=”类型的约束，怎麽办？构造“不完全的人造基”！

讨论②为什麽初始可行基一定要选单位阵？

b列正好就是基变量的取值，检验数行和b列交叉处元素也正好对应目标函数值，

因此称b列为解答列第4页,共40页，星期六，2024年，5月（2）写出初始基本可行解——

根据“用非基变量表示基变量的表达式”，非基变量取0，算出基变量，搭配在一起构成初始基本可行解。

2、建立判别准则：（1）两个基本表达式的一般形式就LP限制条件中全部是“≤”类型约束，新增的松弛变量作为初始基变量的情况来描述：第5页,共40页，星期六，2024年，5月此时LP的标准型为第6页,共40页，星期六，2024年，5月初始可行基：初始基本可行解：

第7页,共40页，星期六，2024年，5月

一般（经过若干次迭代），对于基B，用非基变量表出基变量的表达式为：用非基变量表示目标函数的表达式：

第8页,共40页，星期六，2024年，5月第9页,共40页，星期六，2024年，5月

若是对应于基B的基本可行解，是非基变量的检验数，若对于一切非基变量的角指标j，均有≤0，则X(0)为最优解。（2）最优性判别定理（3）无“有限最优解”的判别定理

若为一基本可行解，有一非基变量xk,其检验数,而对于i=1,2,…，m，均有，则该线性规划问题没有“有限最优解”。

第10页,共40页，星期六，2024年，5月证明思路——构造性证明：依据用非基变量表示基变量的表达式构造一族可行解，其对应的目标函数值趋于无穷大。几何意义：沿着无界边界前进的一族可行解第11页,共40页，星期六，2024年，5月举例：用非基变量表示基变量的表达式

代表两个约束条件：x2对应的系数列向量P2=（1，3）T，当前的换入变量是

X2，按最小比值原则确定换出变量：第12页,共40页，星期六，2024年，5月要求：

于是：

如果x2的系数列变成P2’=（-1，0）T,则用非基变量表示基变量的表达式就变成；

可行性自然满足,最小比值原则失效,意即x2的值可以任意增大→原线性规划无“有限最优解”。第13页,共40页，星期六，2024年，5月

3、进行基变换（1）选择进基变量——原则：正检验数（或最大正检验数）所对应的变量进基，目的是使目标函数得到改善（较快增大）；

进基变量对应的系数列称为主元列。（2）出基变量的确定——按最小比值原则确定出基变量，为的是保持解的可行性；

出基变量所在的行称为主元行。主元行和主元列的交叉元素称为主元素。第14页,共40页，星期六，2024年，5月思考题

这样进行基变换后得到的新解对应的系数列向量是否线性独立？

4、主元变换（旋转运算或枢运算）

按照主元素进行矩阵的初等行变换——把主元素变成1，主元列的其他元素变成0（即主元列变为单位向量）写出新的基本可行解，返回最优性检验。第15页,共40页，星期六，2024年，5月单纯形法小结

求解思想－－

顶点的逐步转移，

条件是使目标函数值不断得到改善。第16页,共40页，星期六，2024年，5月表格单纯形法求解步骤第一步：将LP化为标准型，并加以整理。引入适当的松驰变量、剩余变量和人工变量，使约束条件化为等式，并且约束方程组的系数阵中有一个单位阵。

（这一步计算机可自动完成）

确定初始可行基，写出初始基本可行解第17页,共40页，星期六，2024年，5月第二步：最优性检验计算检验数，检查：所有检验数是否≤0？

是——结束，写出最优解和目标函数最优值；还有正检验数——检查相应系数列≤

0？是——结束，该LP无“有限最优解”！不属于上述两种情况，转入下一步—基变换。

确定是停止迭代还是转入基变换？第18页,共40页，星期六，2024年，5月

选择（最大）正检验数对应的系数列为主元列，主元列对应的非基变量为换入变量；最小比值对应的行为主元行，主元行对应的基变量为换出变量。第三步：基变换确定进基变量和出基变量。第19页,共40页，星期六，2024年，5月

利用矩阵的初等行变换把主元列变成单位向量，主元素变为1，进基变量对应的检验数变成0，从而得到一张新的单纯形表，返回第二步。第四步换基迭代（旋转运算、枢运算)完成一次迭代，得到新的基本可行解和相应的目标函数值第20页,共40页，星期六，2024年，5月该迭代过程直至下列情况之一发生时停止

检验数行全部变为非正值；（得到最优解）或主元列≤

0（最优解无界）

停止迭代的标志（停机准则）

依据：最优性检验的两个定理最优性判别定理；无“有限最优解”判断定理第21页,共40页，星期六，2024年，5月计算机求解时的注意点1、输入数据中的分数，需先化为小数再执行输入过程。2、每一张迭代表格中由基变量列（Basic）和B(i)列（解答列）可以读出现行解及相应的目标函数值，同时显示进基变量和出基变量，从而很容易识别主元列、主元行和主元素。3、最终表显示最优解、最优目标函数值及总的迭代次数。如遇该线性规划无可行解或无“有限最优解”，则屏幕将显示有关信息：

NOfeasiblesolution.

或**unboundedsolution!!!第22页,共40页，星期六，2024年，5月五、各种类型线性规划的处理1、分类及处理原则：（1）类型一：目标要求是“Max”，约束条件是“≤”类型——左边加上非负松弛变量变成等式约束（约束条件标准化），将引入的松弛变量作为初始基变量，则初始可行基是一个单位阵，用原始单纯形法求解。第23页,共40页，星期六，2024年，5月（2）类型二：目标要求是“Max”，约束条件是“=”类型——左边引入非负的人工变量，并将引入的人工变量作为初始基变量，则初始可行基是一个单位阵，然后用大M法或两阶段法求解。（3）类型三：目标要求是“Max”，约束条件是“≥”类型——约束条件标准化，左边减去非负的剩余变量，变成等式约束，化为类型二。第24页,共40页，星期六，2024年，5月（4）类型四：目标要求是“Min”

①方法1——化为极大化问题

②方法2——按照极小化问题直接在单纯形表格上计算处理，但

相应的原则要作改动。

第25页,共40页，星期六，2024年，5月2、处理人工变量的方法：（1）大M法——在约束条件中人为地加入非负的人工变量，以便使它们对应的系数列向量构成单位阵。问题：加入的人工变量是否合理？如何处理？在目标函数中，给人工变量前面添上一个绝对值很大的负系数-M（M>>0），迭代过程中，只要基变量中还存在人工变量，目标函数就不可能实现极大化——惩罚！第26页,共40页，星期六，2024年，5月①最优表中，基变量不包含人工变量，则最优解就是原线性规划的最优解，不影响目标函数的取值；②最优表中，基变量中仍含有人工变量，表明原线性规划的约束条件被破坏，线性规划没有可行解，也就没有最优解！

结果问题

结果②中求得的最优解是哪个线性规划的最优解？为什麽？第27页,共40页，星期六，2024年，5月（2）

两阶段法

第一阶段：建立辅助线性规划并求解，以判断原线性规划是否存在基本可行解。辅助线性规划的结构：目标函数W为所有人工变量之和，目标要求是使目标函数极小化，约束条件与原线性规划相同。

第28页,共40页，星期六，2024年，5月

求解结果①W最优值=0——即所有人工变量取值全为0（为什麽？），均为非基变量，最优解是原线性规划的一个基本可行解，转入第二阶段；②W最优值=0——但人工变量中有等于0的基变量，构成退化的基本可行解，可以转化为情况①；如何转化？

选一个不是人工变量的非基变量进基，把在基中的人工变量替换出来第29页,共40页，星期六，2024年，5月③W最优值>0——至少有一个人工变量取值>0,说明基变量中至少有1个人工变量,表明原问题没有可行解,讨论结束。问题讨论①教材P49辅助线性规划的结构是：目标函数W为所有人工变量之和的相反数，目标要求是使目标函数极大化，约束条件与原线性规划相同。这与上述的讨论是否矛盾？第30页,共40页，星期六，2024年，5月试比较：（1）（2）第31页,共40页，星期六，2024年，5月

②（1）式目标要求改为极大化（或（2）式目标要求改为极小化）行不行？

第二阶段：

将第一阶段的最优解作为初始可行解，目标函数换成原问题的目标函数，进行单纯形迭代，求出最优解。问题讨论：①如何实施？需要重新建立初始单纯形表吗？第32页,共40页，星期六，2024年，5月

实施中，在第一阶段最优表格中划去人工变量列，将表头部分和CB列的价值系数换成原问题的价值系数(把目标函数换成原线性规划的目标函数)，继续迭代，直至求出最优解。②在大M法中，当人工变量出基后能否立即划去该人工变量所在的系数列？

第33页,共40页，星期六，2024年，5月3、用表格单纯形法直接计算极小化线性规划时要修改哪些原则？（初始表？最优解判别？换入变量？换出变量？旋转运算？引入人工变量？）

最优性判别：所有检验数非负

换入变量的选择原则：（最小）负检验数所对应的变量进基，以保证目标函数值（较快）减小；

用大M法求解时，在目标函数中人工变量的前面添上一个很大的正系数M；第34页,共40页，星期六，2024年，5月六、迭代过程中可能出现的问题及处理方法1、为确定出基变量要计算比值，该比值=解答列元素/主元列元素。对于主元列的0元素或负元素是否也要计算比值？（此时解的可行性自然满足，不必计算；如果主元列元素全部为0元素或负元素，则最小比值失效，线性规划无“有限最优解”）第35页,共40页，星期六，2024年，5月2、现若干个相同的最小比值怎麽办？（说明出现了退化的基本可行解，即非0分量的个数小于约束方程的个数。按照“摄动原理”所得的规则，从相同比值对应的基变量中选下标最大的基变量作为换出变量可以避免出现“死循环”现象）3、选择进基变量时，同时有若干个正检验数，怎麽选？第36页,共40页，星期六，2024年，5月（最大正检验数或从左至右第1个出现的正检验数所对应的非基变量进基）课堂练