2025届新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程课件新人教A届选择性必修第一册

3.3抛物线3．3.1抛物线及其标准方程素养目标•定方向

1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.(重点)2．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题.(难点)

通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，提升数学抽象及数学运算素养.必备知识•探新知

抛物线的定义知识点11．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)的_________的点的轨迹.2．焦点：定点F.3．准线：定直线l.思考1：抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F？提示：若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.距离相等做一做：1.若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是(

)A.椭圆 B．抛物线C.直线 D．双曲线[解析]

由抛物线定义知，动点P的轨迹是抛物线，故选B.B2．平面内到点A(2,3)和直线l：x＋2y－8＝0距离相等的点的轨迹是(

)A.直线 B．抛物线C.椭圆 D．圆[解析]

由题意知，直线l经过点A，则点的轨迹是过点A且垂直于直线l的一条直线，故选A.A抛物线的标准方程知识点2y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)思考2：抛物线的标准方程中p(p>0)的几何意义是什么？提示：p的几何意义是焦点到准线的距离.做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线y2＝－2px(p>0)中p是焦点到准线的距离.(

)(2)方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线.(

)√××关键能力•攻重难1．求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2＝－12x；(2)3x2－4y＝0；(3)x＝32y2；(4)y2＝ax(a≠0).[分析]

先将所给方程转化为标准方程的形式，确定其开口方向，求出p的值，再写出焦点坐标和准线方程.题型探究题型一根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程[规律方法]

由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程，要注意p>0，焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴.(1)抛物线x2＋2y＝0的准线方程为(

)对点训练❶CD题型二求抛物线的标准方程A.椭圆 B．双曲线C.直线 D．抛物线(2)根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：D[规律方法]

1.求抛物线标准方程的方法：(1)直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p.(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my.2．定义法解决轨迹问题根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时，要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，对所给方程进行适当变形，分析其几何意义，然后结合有关曲线的定义作出判定.(1)一个动圆经过点A(2,0)，并且和直线l：x＝－2相切，则动圆圆心M的轨迹方程是_____________.(2)求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：①过点(－1,2)；②焦点在直线x－2y－4＝0上.对点训练❷y2＝8x题型三抛物线的实际应用问题3．河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为

8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？[规律方法]

求解抛物线实际应用题的步骤

苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图1所示)，“门”的内侧曲线呈抛物线形.图2是“东方之门”的示意图，已知|CD|＝30m，|AB|＝60m，点D到直线AB的距离为150m，建立适当坐标系，求“门”的内侧曲线所在的抛物线方程，并求抛物线顶端O到AB的距离.对点训练❸易错警示4．设抛物线y2＝mx(m≠0)的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程.[辨析]

题目条件中未给出m的符号，当m>0或m<0时，抛物线的准线是不同的，错解考虑问题欠周到.课堂检测•固双基1．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为(

)A．圆 B．椭圆C．直线 D．抛物线[解析]

如图所示，设P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离|PA|等于点P到y轴的距离|PB|，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线．D2．(2023·北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝(

)A．7 B．6C．5 D．4[解析]

因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D.D3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面