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专题七立体几何初步第26讲空间直线、平面的平行1.线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.1.直线与平面平行的判定和性质
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,O,M分别为BD,PC的中点.设平面PAD与平面PBC的交线为l.求证:(1)OM∥平面PAD;(2)BC∥l.证明:(1)因为底面ABCD为平行四边形,所以O为AC中点,又M为PC中点,所以OM∥PA,又OM⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,所以OM∥平面PAD.(2)因为底面ABCD为平行四边形,所以AD∥BC,因为AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,所以BC∥平面PAD,又BC⊂平面PBC,又平面PAD∩平面PBC=l,所以BC∥l.剖析:判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α).(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β).(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).2.平面与平面平行的判定与性质
已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M、N、Q分别在PA、BD、PD上.若PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,求证:平面MNQ∥平面PBC.证明:因为PM∶MA=PQ∶QD,所以QM∥AD,因为AD∥BC,所以QM∥BC,因为QM⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以MQ∥平面PBC;因为BN∶ND=PQ∶QD,所以QN∥PB,因为QN⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,又QM∩QN=Q,所以平面MNQ∥平面PBC.剖析:证明面面平行的方法(1)利用面面平行的定义.(2)利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)利用两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.1.平面α∥平面β的一个充分条件是(
)A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD若α∩β=l,a∥l,a⊄α,a⊄β,则a∥α,a∥β,故排除A.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C.故选D.2.对于空间中的两条直线m,n和一个平面α,下列命题中的真命题是(
)A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若m∥α,n⊥α,则m∥nD.若m⊥α,n⊥α,则m∥nD对A,直线m,n可能平行、异面或相交,故A错误;对B,直线m与n可能平行,也可能异面,故B错误;对C,m与n垂直而非平行,故C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故D正确.故选D.3.如图,四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则(
)A.MN∥PD B.MN∥PAC.MN∥AD D.以上均有可能B
四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,由直线与平面平行的性质定理可得:MN∥PA.故选B.4.下列命题中正确的是(
)A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥αD
A中,a可以在过b的平面内;B中,a与α内的直线也可能异面;C中,两平面可相交;D中,由直线与平面平行的判定定理知b∥α,正确.故选D.5.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列说法正确的是(
)A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC.若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥βD.若m⊥α,n⊥α,则m∥nD若m⊥α,n⊥α,则m∥n,D正确;分析知选项A,B,C中位置不能确定,均不正确.故选D.6.设α,β,γ为三个不同的平面,a,b为直线,给出下列条件:①a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;②α∥γ,β∥γ;③α⊥γ,β⊥γ;④a⊥α,b⊥β,a∥b.其中能推出α∥β的条件是________.(填上所有正确的序号)解析:在条件①或条件③中,α∥β或α与β相交;由α∥γ,β∥γ⇒α∥β,条件②满足;在④中,a⊥α,a∥b⇒b⊥α,又b⊥β,从而α∥β,④满足.答案:②④7.(2023·广东模拟)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E、F分别是AB、PC的中点.证明:EF∥平面PAD.证明:取PD的中点G,连接AG、FG,8.(2023·广东模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,侧面PAD是正三角形,AD=2,且侧面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PD的
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