2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)课时规范练51　抛物线

课时规范练51抛物线基础巩固组1.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线OP2.(2020全国Ⅰ,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2 B.3 C.6 D.93.(2021新高考Ⅱ,3)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2,则p=()A.1 B.2 C.22 D.44.(2022河北唐山期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是C上两点,若y22-2y12=4,则|A.12 B.22 C.2 D5.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线为l,圆C:x-p22+y2=4,l与圆C交于A,B两点,圆C与E交于M,N两点.若A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,则A.y2=x B.y2=3xC.y2=2x D.y2=23x6.(2022江西九师联盟期末)已知F为抛物线C:y2=8x的焦点,M为C上一点,N为C的准线上一点,若△MNF为等边三角形,则△MNF的面积为.

7.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,若|AF|+|BF|=5,则线段AB的中点到y轴的距离为.

综合提升组8.(2022安徽合肥二模)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为抛物线C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交抛物线C的准线l于M,N两点,|MN|=23p,则直线AF的斜率为()A.±1 B.±2 C.3 D.±39.从抛物线的焦点发出的光线经过抛物线反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后,反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线C:y2=x,一束平行于抛物线对称轴的光线经过A(5,2),被抛物线反射后,又射到抛物线C上的Q点,则Q点的坐标为()A.14,-12 B.18,-14C.116,-14 D.164,-1810.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,且|AF|=2|BF|,则|AB|=()A.3 B.9 C.32 D.11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点M(1,1)的直线与C交于A,B两点,若M恰好为AB的中点,则|AF|+|BF|=,直线AB的斜率为.

创新应用组12.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长,交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB最大时,|AD|=()A.4 B.8 C.16 D.16答案：课时规范练51抛物线1.B因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据抛物线定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.2.C设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+p2=12,解得p=63.B抛物线的焦点坐标为p2,0,其到直线x-y+1=0的距离d=|p2解得p=2(p=-6舍去),故选B.4.A由题意,y22=4x2,y12=4x1,因为y22-2y12=4,所以4即x2=1+2x1,|AF||5.C如图,圆C:x-p22+y2=是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点.∵圆C:x-p22+y2=4的半径为2,∴|NC|=2,∵A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,∴点A,N关于直线x=p2对称,即xN+xA=p2×∴xN=32p,∴|NA|=32p--p2=2,即2p=2,则E的方程为y2=2x6.163由题意知|MF|=|MN|,则MN与准线垂直,又△MNF为正三角形,所以NF与准线所成的锐角为30°,所以|NF|=8,所以△MNF的面积为34×82=7.94设A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线的定义及|AF|+|BF|=5,可得x1+14+x2+14=5,解得x1+x2=92,所以线段8.D设准线与x轴交于点H,∵|MN|=23p,∴|MH|=3p,且|FH|=p,∴|FA|=|FM|=|FH|2+设A(x0,y0),由抛物线定义可知|FA|=x0+p2∴x0=3p2,代入抛物线方程中得y0=±3p,得A3p2,±3p,且Fp2,0∴直线AF的斜率为±39.D设光线被抛物线反射的反射点为B,则AB∥x轴,把y=2代入y2=x,得x=4,∴B(4,2),设抛物线y2=x的焦点为F,则F14,0,∴直线BF的方程为y=2-04-14即y=815x-14,又y2=x,解得x=4,y=2或x=164,y=-1∴Q164,-18.故选D.10.D(方法1)抛物线的焦点坐标为F(1,0),设点A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x-1).由y=k(x-1),y2=4x,得k2显然Δ=16k2+16>0恒成立,则x1x2=1,①因为|AF|=2|BF|,由抛物线的定义得x1+1=2(x2+1),即x1=2x2+1,②由①②解得x1=2,x2=12,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=2+12+2=92(方法2)因为|AF|=2|BF|,由结论|AF|=p1-cosθ得p1-cosθ所以2-2cosθ=1+cosθ,即cosθ=13,所以sin2θ=89,11.42不妨设A在第一象限,过点A,B,M分别作准线x=-1的垂线,垂足分别为A1,B1,M1,则|MM1|=2.根据梯形中位线定理,得|AA1|+|BB1|=4.根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=4.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y12=4x1,y22=4x2,得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),则直线AB的斜率为k=12.C设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y1+y2+2,因为y1+所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cos∠AFB=|