云南省昆明市2025届高三数学第二次双基检测试题含解析

Page25留意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔干脆答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B. C. D.2.若复数是的根，则（）A. B.1 C.2 D.3.已知平面对量，，向量与的夹角为，则（）A.2或 B.3或 C.2或0 D.3或4.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（）A.1 B.2 C.3 D.45.已知点是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（）A B. C. D.6.已知圆，点为直线上的一个动点，是圆的两条切线，，是切点，当四边形（点为坐标原点）面积最小时，直线的方程为（）A. B.C. D.7.“”是“数列为等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是（）A B.C. D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知个数据的第百分位数是，则下列说法错误的是（）A.这个数据中确定有个数小于B.把这个数据从小到大排列后，是第个数据C.把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数D.把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数10.下列命题正确的是（）A.B若，则C.若正数，满足，则D.是的必要不充分条件，其中均为正数11.已知在正三棱台中，，则下列叙述正确的是（）A.该三棱台的高为2B.C.该三棱台的侧面积为D.该三棱台外接球的半径长为12.已知函数满足：，且在上的导数，则不等式的整数解可以为（）A.4 B.3 C.2 D.1三､填空题：本题共4小题，小题5分，共20分.13.从一颗骰子的六个面中随意选取三个面，其中恰有两个面平行的不同选法共有__________种（用数字作答）.14.已知某圆锥的侧面绽开图是一个半径为的半圆､则该圆锥的体积为__________.15.若函数，且，则__________.16.已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽海景和凉快的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务，为此先依据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查､来模拟饮品店开卖之后的利润状况，考虑沙滩承受实力有限，超过1.4万人即停止预约､以下表格是160天内进入沙滩的每日人数（单位：万人）的频数分布表.人数万频数（天）8816244832（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图（用阴影表示），并求出的值和这组数据的分位数；（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，（单位：个）为进入该沙滩的人数为10的整倍数.如有8006人，则取8000.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记为该店每日的利润（单位：元），求和的函数关系式；（3）以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.18.在中.内角的对边分别为，且.（1）证明：；（2）若，求的面积的最大值.19.已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.20.如图，在三棱锥中，平面分别为棱的中点.（1）证明：；（2）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.21.已知函数（1）推断的单调性；（2）若函数存在极值，求这些极值和的取值范围.22.已知动圆过点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线；过点的直线与曲线交于，两点，曲线在，两点处的切线交于点.（1）证明：；（2）设，当时，求的面积的最小值.

昆明市第一中学2025届中学新课标高三其次次双基检测数学试卷留意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔干脆答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合和，从而可求出【详解】因为，所以，所以，因为，所以，所以，故选：D.2.若复数是的根，则（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先用求根公式得出，再依据定义求出z的模即可.【详解】解：由复数求根公式，有，所以.故选：B.3.已知平面对量，，向量与夹角为，则（）A.2或 B.3或 C.2或0 D.3或【答案】A【解析】【分析】利用向量的模的坐标公式求，，依据数量积的坐标公式求，结合夹角公式列方程求【详解】因为，，所以，，所以，，又向量与的夹角为，所以，所以，所以或，故选：A.4.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】由反函数的定义以及对数运算即可求解.【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，所以.故选：A.5.已知点是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得以为直径的圆与椭圆相交，所以，即可求出答案.【详解】解：由已知，以为直径的圆与椭圆相交，所以，所以，故选：D.6.已知圆，点为直线上的一个动点，是圆的两条切线，，是切点，当四边形（点为坐标原点）面积最小时，直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先推断出四边形的面积最小时点的位置，再由两圆公共弦所在直线方程的求法即可求解.【详解】由题意可得，，，所以四边形的面积，所以当最小时，四边形面积最小，此时直线与直线垂直，的斜率为，则直线的斜率为1，所以此时直线的方程为，由得，即得点的坐标为，则，，以为圆心，为半径的圆方程为，即，与方程两式相减，并化简得，即直线的方程为.故选：A.7.“”是“数列为等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】依据等差数列和充分性、必要性的概念求解即可.【详解】若“”，则数列不愿定是等差数列，如，若“数列为等差数列”，则由等差中项可知，所以“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件，故选：B8.函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据题意，将原问题转化为函数在区间上恰有三个零点，依据正弦函数的性质，即可求出结果.【详解】因为，所以，又函数在上恰有三个零点，等价于函数在区间上恰有三个零点，由正弦函数的性质可知，，所以，故选：C.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知个数据的第百分位数是，则下列说法错误的是（）A.这个数据中确定有个数小于B.把这个数据从小到大排列后，是第个数据C.把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数D.把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数【答案】ABD【解析】【分析】依据百分位数的概念可知.【详解】因为为整数，所以依据百分位数的定义，可知将这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数，所以这个数据中确定有个数小于或等于，故A，B，D错误，C正确，故选：ABD.10.下列命题正确的是（）A.B.若，则C.若正数，满足，则D.是的必要不充分条件，其中均为正数【答案】AB【解析】【分析】由基本不等式结合函数的奇偶性可推断A；由不等式的性质可推断B；由基本不等式和对数的运算性质可推断C；由基本不等式结合充分必要条件的定义可推断D.【详解】解：对于A，当时，，当且仅当时取等号，由于为奇函数，所以当时，，所以，A正确：对于B，若，所以，所以，所以，B正确：对于C，因为且，所以，所以错误；对于D，因为时，有，所以；反之，当时，满足，但是错误.故选：.11.已知在正三棱台中，，则下列叙述正确的是（）A.该三棱台的高为2B.C.该三棱台的侧面积为D.该三棱台外接球的半径长为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，依据三棱台的图形特点，利用直角三角行中勾股定理求解即可；对于B，依据线面垂直的相关学问，结合图形特点进而证明即可；对于C，依据梯形面积计算方法干脆计算即可；对于D，依据图形特点找到外接球的球心，进而得到半径即可推断.【详解】解：如图所示，延长正三棱台的三条侧棱相交于点，设的中心分别是和，连接对于A，在中，依据正弦定理得，得外接圆半径，即，同理，在平面中，过点作交与点，明显，四边形为矩形，则，所以，在直角中，，所以，即该三棱台的高为2，故A正确；对于B，由正三棱锥的性质可知，平面，因为平面，所以，因为是等边的中心，所以，又因为平面，所以平面，因为平面，所以，故正确：对于C，如图所示，在梯形中，过点作交于点，过点作交于点，依据梯形性质易知，四边形是矩形，则，则，在直角中，，所以梯形的面积为，所以该三棱台的侧面积为，故C错误；对于D，因为，则，则点是三棱台外接球的球心，则该三棱台外接球的半径长为，故D正确.故选：ABD.12.已知函数满足：，且在上的导数，则不等式的整数解可以为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】CD【解析】【分析】通过，结合，构造函数，从而得到函数的单调性。问题可以转化为，通过，可得，从而解出关于的不等式，并找到区间中的整数解。详解】由，得，令，由不等式得，所以取，则函数在上是减函数，且，所以当时，，由，即，得，所以，因为题目求不等式的整数解，所以整数解为1和2.故选：三､填空题：本题共4小题，小题5分，共20分.13.从一颗骰子的六个面中随意选取三个面，其中恰有两个面平行的不同选法共有__________种（用数字作答）.【答案】12【解析】【分析】运用间接法，先算出从六个面中随意选取三个面的数目，然后算三个面彼此相邻的数目，由此即可求解.【详解】从一颗骰子的六个面中随意选取三个面有种，若其中有三个面彼此相邻，则当且仅当这三个面都交于这颗骰子的同一个顶点，而骰子一共有8个顶点，所以其中有三个面彼此相邻的有8种，所以由间接法可知恰有两个面平行的不同选法共有种.故答案为：12.14.已知某圆锥的侧面绽开图是一个半径为的半圆､则该圆锥的体积为__________.【答案】【解析】【分析】设圆锥的高为，底面圆的半径为，则，依据圆锥的底面圆周长等于侧面绽开图的弧长，求出，最终依据圆锥的体积公式即可得出答案.【详解】解：设圆锥高为，底面圆的半径为，则，由题意可知半圆的弧长为，所以，，所以，所以圆锥体积.故答案为：.15.若函数，且，则__________.【答案】【解析】【分析】先由，可知是的一条对称轴，再依据正弦函数的图象的对称性，得出a的值即可.【详解】解：由，可知是的一条对称轴，因为所以，，因为，所以.故答案为：.16.已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为__________.【答案】【解析】【分析】由双曲线定义可以首先求出，然后由可以求出，最终由直角三角形内切圆半径公式即可求解.【详解】如图所示：设内切圆半径为，切点分别为，由题意，则，所以，由双曲线定义有；又因为，即，所以，因此，从而直角三角形的内切圆半径是，所以的内切圆周长为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：娴熟双曲线定义以及直角三角形内切圆半径公式，并合理转换已知条件是解题的关键.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和凉快的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务，为此先依据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查､来模拟饮品店开卖之后的利润状况，考虑沙滩承受实力有限，超过1.4万人即停止预约､以下表格是160天内进入沙滩的每日人数（单位：万人）的频数分布表.人数万频数（天）8816244832（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图（用阴影表示），并求出的值和这组数据的分位数；（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，（单位：个）为进入该沙滩的人数为10的整倍数.如有8006人，则取8000.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记为该店每日的利润（单位：元），求和的函数关系式；（3）以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.【答案】（1），分位数为，频率分布直方图见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）依据总天数为即可求出，再依据百分位数的的定义求出分位数即可，画出频率分布直方图即可；（2）依据题意分和两种状况计算即可；（3）利用古典概型求解即可.【小问1详解】由题意，，解得，因为，，所以分位数在区间上，则分位数为；画出频率分布直方图如图所示：【小问2详解】由题意知，当时，元，当时，，所以；【小问3详解】设销售的利润不少于7000元的事务记为，事实上得到人数，此时.18.在中.内角的对边分别为，且.（1）证明：；（2）若，求的面积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）依据正弦定理进行求解即可；（2）利用三角形面积公式、余弦定理，结合帮助角公式进行求解即可.【小问1详解】因为，由正弦定理得：，即，即即：，由正弦定理得：；【小问2详解】设，则，由余弦定理得：，所以令，则，其中则，整理得，即所以，的面积的最大值为.19.已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）运用累乘法求出的通项公式；（2）先运用裂项法求出的解析式，再运用缩放法证明.【小问1详解】由已知，所以，当时，满足条件，所以；【小问2详解】由于，所以，所以，所以，明显在上为增函数，，又，所以；综上，.20.如图，在三棱锥中，平面分别为棱的中点.（1）证明：；（2）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明平面，依据线面垂直的性质证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，依据空间角的向量求法结合二面角的余弦值，求出PA的长，依据棱锥体积公式即可求得答案.【小问1详解】因为，点是的中点，所以.因为平面平面，所以.又因为平面，所以平面，因为平面，所以.【小问2详解】因为，所以，取中点，连接，则.因为平面，所以平面.故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，得，所以.设平面的法向量，则，得，令，得.设平面的法向量，则由，得，令，得.依题意，，因为，所以解得，所以，所以三棱锥的体积.21.已知函数（1）推断的单调性；（2）若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）