备考2025届高考数学一轮复习分层练习第二章函数第8讲函数模型的应用

第8讲函数模型的应用1.[2024合肥市二检]Malthus模型是一种重要的数学模型.某探讨人员在探讨一种细菌数量N（t）与时间t的关系时，得到的Malthus模型是N（t）＝N0e0.46t，其中N0是t＝t0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数.若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（ln6.3≈1.84）（C）A.2 B.3 C.4 D.5解析因为t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，所以N0e0.46t＝6.3N0，即e0.46t＝6.3，则0.46t＝ln6.3≈1.84，得t≈4.故选C.2.[2024山西晋中模拟]2024年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天放射场点火放射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭胜利分别并进入预定轨道.据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系为v＝2ln（1＋Mm）.若火箭的质量约为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭须要加注的燃料质量约为（参考数值：ln244.69≈5.50，结果精确到0.01t，1t＝1000kg）（BA.890.23t B.755.44tC.244.69t D.243.69t解析由2ln（1＋M3100）＝11，得ln（1＋M3100）＝5.5，1＋M3100≈244.69，M3100≈243.69，所以M≈3100×243.69＝755439kg3.[2024北京高考]在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”运用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了确定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是（D）A.当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态B.当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态C.当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态D.当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态解析对于A选项，当T＝220，P＝1026，即lgP＝lg1026＞lg103＝3时，依据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当T＝270，P＝128，即lgP＝lg128∈（lg102，lg103），即lgP∈（2，3）时，依据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选项，当T＝300，P＝9987，即lgP＝lg9987＜lg104＝4时，依据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D选项，当T＝360，P＝729，即lgP＝lg729∈（lg102，lg103），即lgP＝lg729∈（2，3）时，依据图象可知，二氧化碳处于超临界状态.故选D.4.[多选/2024广东七校联考]尽管目前人类还无法精确预报地震，但科学家经过探讨，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8＋1.5M，则下列说法正确的是（ACD）A.地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级为七级B.八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的6.3倍C.八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍D.记地震里氏震级为n（n＝1，2，…，9），地震释放的能量为f（n），则f（n+1解析对于A，当E＝1015.3时，由题意得lg1015.3＝4.8＋1.5M，解得M＝7，即地震里氏震级为七级，故A正确；对于B，八级地震即M＝8，由lgE1＝4.8＋1.5×8＝16.8，解得E1＝1016.8，所以E11015.3＝1016.对于C，六级地震即M＝6，由lgE2＝4.8＋1.5×6＝13.8，解得E2＝1013.8，所以E1E2＝1016.81013对于D，由题意得f（n）＝104.8＋1.5n，则f（n+1）f（n）＝105.[2024江苏常州模拟]牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ＝（θ1－θ0）e－kt＋θ0，其中t为时间（单位：min），θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度.假设在室内温度为20°C的状况下，一杯饮料由100℃降低到60℃须要20min，则此饮料从60℃降低到25℃须要60min.解析由已知得（100－20）e－20k＋20＝60，得e－20k＝12，－20k＝ln12，k＝ln220，由（60－20）e－tln220＋20＝25，得e－tln220＝6.某污水处理厂为使污水经处理后达到排放标准，须要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的质量浓度C（单位：mg/m3）随时间t（单位：h）的变更关系可以近似地用函数C（t）＝100（t+1）t2+4t+19刻画，由此可以推断，经过3解析依题意t＞0，所以t＋1＞1，所以C（t）＝100（t+1）t2+4t+19＝100（t+1）（t+1）2+2（t+17.[2024宁夏银川一中模拟]某公司经过测算，支配投资A，B两个项目.若投入A项目资金x（单位：万元），则该项目一年创建的利润为x2（单位：万元）；若投入B项目资金x（单位：万元），则该项目一年创建的利润为f（x）＝10x（1）当投入A，B两个项目的资金相同且B项目比A项目一年创建的利润高时，求投入A项目的资金x（单位：万元）的取值范围.（2）若该公司共有资金30万，全部用于投资A，B两个项目，则该公司一年分别投入A，B两个项目多少万元时，创建的总利润最大？解析（1）当0≤x≤20时，由x2＜10x30－x，解得10＜x≤20；当x＞20时，由x2＜20综上，投入A项目的资金x（单位：万元）的取值范围为（10，40）.（2）设对A项目投入资金x万元，0≤x≤30，则对B项目投入资金（30－x）万元.设创建的总利润为W（x），则W（x）＝x2＋f（30－x）＝当10≤x≤30时，W（x）＝x2＋10（30－x）x＝x2＋300x－10，由对勾函数的图象和性质可得，当x＝106时，W（x）取得最小值，又W（10）＝25＞W（30）＝15，故W（x）的最大值为25.（W（x）在[10，30]上与对勾函数相像，其最小值在x＝106处取得，且当0≤x＜10时，W（x）∈[20，25）.综上，当投入A项目10万元、投入B项目20万元时创建的总利润最大.8.[2024江苏省南京市第九中学模拟]天宫空间站的轨道高度为400～450千米，倾角为42～43度，设计寿命为10年，长期驻留3人，总质量可达180吨，以进行较大规模的空间应用.某项试验在空间站进行，试验起先时，某物质的含量为1.2mg/cm3，每经过1小时，该物质的含量就会削减20％，若该物质的含量不超过0.2mg/cm3，则试验进入其次阶段，那么试验进入其次阶段至少须要（须要的小时数取整数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（B）A.7小时 B.8小时C.10小时 D.11小时解析设试验进入其次阶段至少须要的小时数为n（n∈N*），由题意得，1.2×0.8n≤0.2，即（54）n≥6，两边取以10为底的对数可得lg（54）n≥lg6，即nlg（5×28）≥lg2＋lg3，所以n≥lg2+lg31－3lg2，因为lg2≈0.30，lg3≈0.48，所以lg2+lg31－3lg2≈0.30+0.481－3×0.30＝7.8，所以n≥9.[多选/2024安徽六校联考]某地下车库在排气扇发生故障的状况下测得空气中一氧化碳含量达到了紧急状态，经抢修，排气扇复原正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为81ppm，接着排气4分钟后又测得浓度为27ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：分钟）之间存在函数关系y＝f（t），其中f'(t）f（t）＝R（R为常数）（注：[lnf（x）]'＝f'(x）fA.R＝－ln3B.R＝eC.排气20分钟后，人可以平安进入车库D.排气24分钟后，人可以平安进入车库解析因为[lnf（t）]'＝f'(t）f（t）＝R（R为常数），所以lnf（t）f（t）＝eRt＋C，由题意可得方程组81=e4R＋C，27=e8R＋C，解得R＝－ln34，C=5ln3，故A正确，B错误；此时f（t）＝e－ln34t+5ln3，排气20分钟后，f（20）＝e－ln34×10.[2024河北省衡水市第十三中学模拟]为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特殊制作了旅游纪念章，并确定近期投放市场.依据市场调研状况，预料每枚纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表上市时间x/天2632市场价y/元1486073（1）依据上表数据，从①y＝ax＋b（a≠0），②y＝ax＋b（a≠0），③y＝alogbx（a≠0，b＞0，b≠1），④y＝ax＋bx（a＞0，b＞0）中选取一个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的（2）记你所选取的函数y＝f（x），若对随意x∈[k，＋∞）（k＞0），不等式kf（x）－32k－210≥0恒成立，求实数k的取值范围.解析（1）由题表知，随着时间x的增大，y的值先减小后增大，而所给的函数y＝ax＋b（a≠0），y＝ax＋b（a≠0）和y＝alogbx（a≠0，b＞0，b≠1）在（0，＋∞）上明显都是单调函数，不满意题意，故选择y＝ax＋bx（a＞0，b＞0把（2，148），（6，60）分别代入y＝ax＋bx（a＞0，b＞0），得2a＋所以y＝2x＋288x，x∈（0，＋∞）.经检验，（32，73）在y＝2x＋288xy＝2x＋288x≥22x·288x＝48，当且仅当2x＝288x时，即x＝12时，故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.（2）原不等式可以整理为f（x）≥32＋210k，x∈[k，＋∞因为对随意x∈[k，＋∞）（k＞0），不等式kf（x）－32k－210≥0恒成立