备考2025届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何第8讲直线与圆锥曲线的位置关系

第8讲直线与圆锥曲线的位置关系1.[命题点1]若直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1相切，则直线的斜率k＝（A.63 B.－63 C.±63 解析由题意知直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1有且只有一个交点.由y＝kx+2，x23＋y22=1，消去y并整理，得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，所以Δ＝（12k）2－42.[命题点2角度1]已知直线l过双曲线C：x216－y29＝1的左焦点，且与C交于A，B两点，当｜AB｜＝8时，这样的直线l有（A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析由双曲线C：x216－y29＝1可得左焦点为（－5，0），左、右顶点分别为（－4，0），（4若l⊥x轴，则｜AB｜＝2×94＝92＜若l与x轴不垂直，与C的左支交于A，B两点，则｜AB｜＝8，存在2条直线；若l与x轴不垂直，与C的左、右支各交于一点，则只有A，B为顶点时满意｜AB｜＝8，存在1条直线.综上可得，满意条件的直线有3条.3.[命题点2角度2/多选]已知椭圆x22＋y24＝1与斜率为k且不经过原点O的直线l交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列说法正确的是（A.kAB·kOM＝－1B.若M（1，1），则直线l的方程为2x＋y－3＝0C.若直线l的方程为y＝x＋1，则M（13，4D.若直线l的方程为y＝x＋2，则｜AB｜＝4解析设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x122＋y124=1，x222＋y224=1，两式相减，得x12－对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；对于B，由kAB·kOM＝－2，M（1，1），得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2（x－1），即2x＋y－3＝0，所以B正确；对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，M（13，43），则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以对于D，由y＝x+2，x22＋y24=1，得3x2＋4x＝0，解得x4.[命题点3/多选/2024重庆市调研质量抽测]设O为坐标原点，F为抛物线C:x2=2pyp>0的焦点，过焦点F且倾斜角为θ的直线l与抛物线C交于M，N两点（点M在其次象限），当θ＝30°时，｜MFA.p＝3B.△MON的面积的最小值为9C.存在直线l，使得∠OMF＋∠ONF＞90°D.分别过点M，N且与抛物线相切的两条直线相互垂直解析对于A，由题意得，F（0，p2），抛物线C的准线方程为y＝－p2，如图，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为M1，过点M作y轴的垂线，垂足为M2，记抛物线C的准线与y轴的交点为K，则｜MF｜＝｜MM1｜＝｜M2K｜＝｜FK｜－｜M2F｜.因为θ＝30°时，｜MF｜＝2，所以｜FM2｜＝1，则2＝p－1，得p＝3，所以选项A正确由选项A可知抛物线C：x2＝6y，F（0，32），易知直线MN的斜率确定存在，设直线MN的方程为y＝kx＋32，由x2=6y，y＝kx＋32，得x2－6kx－9＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2对于B，S△MON＝12｜OF｜·｜x1－x2｜＝34·（x1＋x2）2－4x1x2＝3436对于C，OM·ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋x126·x226＝x1x2＋（x1x2）236＝－9＋8136＜0，则∠对于D，因为y＝16x2，所以y'＝13x，则过点M且与抛物线相切的直线的斜率k1＝13x1，过点N且与抛物线相切的直线的斜率k2＝13x2，则k1k2＝x1x29＝－99＝－1综上，选ABD.5.[命题点2，4/2024长春高三质检]已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为π3的直线被E所截得的弦长为（1）求抛物线E的方程；（2）已知点C为抛物线上的随意一点，以C为圆心的圆过点F，且与直线y＝－12交于A，B两点，求｜FA｜·｜FB｜·｜FC｜的取值范围解析（1）由题意，F（0，p2），设过点F且倾斜角为π3的直线为l，l的斜率为k，则k＝tanπ3＝3，l：y＝3x联立抛物线E与l的方程，并消去y得，x2－23px－p2＝0，Δ＝16p2＞0.设直线l与抛物线E交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1＋x2＝23p，x1x2＝－p2.所以｜MN｜＝1+k2（x1＋x2）2－4x1x所以抛物线E的方程为x2＝4y.（2）设∠AFB＝θ，则∠ACB＝2θ，设圆C的半径为r，则｜CF｜＝｜CA｜＝｜CB｜＝r.因为S△AFB＝12×｜FA｜×｜FB｜×sinθ＝12×｜AB｜×所以12×｜FA｜×｜FB｜×sinθ＝12×2rsinθ×所以｜FA｜·｜FB｜＝3r.设C（xC，yC），则｜FC｜＝r＝yC＋1.又yC≥0，所以｜FC｜＝r＝yC＋1≥1，则｜FA｜·｜FB｜·｜FC｜＝3r2∈[3，＋∞），即｜FA｜·｜FB｜·｜FC｜的取值范围是[3，＋∞）.6.[命题点4/2024天津高考]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，｜A1F｜＝3，｜（1）求椭圆的方程和离心率e；（2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线A2P的方程.解析（1）由题意可知a＋c则b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的方程为x24＋y23＝1，离心率e＝（2）由题易知直线A2P的斜率存在且不为0，所以可设直线A2P的方程为y＝k（x－2）.由y＝k（x－2),x24＋y23=1，可得（3＋4k2）设P（xP，yP），则由根与系数的关系可知xP＋2＝16k即xP＝8k2－63+4k2，则yP＝k（x由直线A2P交y轴于点Q可得Q（0，－2k），所以S△A1PQ＝12×4×｜yPS△A2FP＝12×1×因为S△A1PQ＝2S△A2FP，