2024年高中数学同步高分突破讲义(人教A版2019)专题3-3圆锥曲线最值问题-(选择性必修第一册)(学生版+解析)

圆锥曲线最值问题1常见的几何模型①圆外点到圆上点的距离圆⊙O外一点A与圆上一点B的距离AB最小值是AB1=AO−r，最大值A②圆上点到圆外直线的距离圆上一动点P到圆外一定直线l的距离最小值是d−r，最大值d+r(r是圆的半径，d是圆心到直线l的距离)；③三点共线模型一动点P到两定点A、B的距离分别为PA、PB，当P、A、B共线，且点P在A、B之间时，PA+PB取到最小值P1当P、A、B共线，且点P在A、B同侧时，|PA−PB|取到最大值P1其本质是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；④将军饮马模型点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，那AP+BPmin⑤垂线段最值模型点A是∠MON内外的一点，点P在OM上，PA与点P到射线ON的距离之和为PA+PB．(1)点A是∠MON外，PA+PBmin=AB1(2)点A⑥胡不归模型如图，求k∙AC+BC(0<k<1)，构造射线AE，使得角度sinα=k，则k∙AC+BC=CD+BC，问题转化为“垂线段模型”，则k∙AC+BCmin⑦阿氏圆模型如图，圆O半径是r，点A，B在圆O外，点P是圆O上一动点，已知r=在线段OB上截取OC=k∙r，则COOP=OP则k∙BP+AP的最小值转化为PC+PA的最小值，当然是2最值问题常见处理方法①几何法通过观察掌握几何量的变化规律，利用几何知识点找到几何量取到最值的位置，从而求出最值，这需要熟悉常见的几何模型.②代数法理解几何量之间的变化规律，找到“变化源头”，通过引入恰当的参数(一般与源头有关)，把所求几何量表示成参数的式子，再利用求函数最值的方法（基本不等式、换元法、数形结合等）求得几何量的最值.【方法一】几何法【典题1】已知椭圆C：x225+y216=1(1)|PM|－|PF1|【典题2】设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x=－1的距离之和的最小值为M，若B(3,2)，记|PB|+|PF|的最小值为【典题3】已知双曲线方程为x2−y24=1，如图，点A的坐标为(−【典题4】椭圆x24+y2【方法二】代数法【典题1】求点A(a,0)到椭圆x2【典题2】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l'．若直线l'与直线l相交于点P，与直线x=2【典题3】P是抛物线x2=2y上的动点，过P(x0,y0)作圆C：(1)若两条切线l1，l2的斜率乘积为(2)求当4<y0<8【典题4】如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)，G为圆H：x+22+y2=1上一动点，由G向C引切线，切点分别为E(1)求C的方程；(2)当点G在圆H：x+22+y2=1上运动时，记k巩固练习1(★★)已知抛物线y2=4x的焦点为F，定点A(2,2)，在此抛物线上求一点P，A．(－2,2) B．(1，2) C．(1,2) 2(★★)F是椭圆x29+y25=1A．9−2 B．3+2 C．6−2 3(★★)点P是双曲线x24−y2=1的右支上一点，M、NA．2 B．4 C．6 D．84(★★★)【多选题】已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线CA．抛物线的方程是x2=2y B．抛物线的准线是C．sin∠QMN的最小值是12 D．线段5(★★)设P,Q分别为圆x2+y−62=2和椭圆x6(★★★)E、F是椭圆x24+y22=1的左、右焦点，点P在直线7(★★★)已知过抛物线C：y2=4x焦点的直线交抛物线C于P,Q两点，交圆x2+y2－2x=0于M8(★★★)如图，抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，以A(x1,y(1)过Q(0,－3)作抛物线C的切线l，切点为R，点F到切线l的距离为2，(2)求△ABC面积的最小值．9(★★★★)已知抛物线C:y2=2pxp>0，焦点为F，直线B(x2,y2)两点(1)求抛物线C的方程；(2)若x1x2圆锥曲线最值问题1常见的几何模型①圆外点到圆上点的距离圆⊙O外一点A与圆上一点B的距离AB最小值是AB1=AO−r，最大值A②圆上点到圆外直线的距离圆上一动点P到圆外一定直线l的距离最小值是d−r，最大值d+r(r是圆的半径，d是圆心到直线l的距离)；③三点共线模型一动点P到两定点A、B的距离分别为PA、PB，当P、A、B共线，且点P在A、B之间时，PA+PB取到最小值P1当P、A、B共线，且点P在A、B同侧时，|PA−PB|取到最大值P1其本质是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；④将军饮马模型点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，那AP+BPmin⑤垂线段最值模型点A是∠MON内外的一点，点P在OM上，PA与点P到射线ON的距离之和为PA+PB．(1)点A是∠MON外，PA+PBmin=AB1(2)点A⑥胡不归模型如图，求k∙AC+BC(0<k<1)，构造射线AE，使得角度sinα=k，则k∙AC+BC=CD+BC，问题转化为“垂线段模型”，则k∙AC+BCmin⑦阿氏圆模型如图，圆O半径是r，点A，B在圆O外，点P是圆O上一动点，已知r=在线段OB上截取OC=k∙r，则COOP=OP则k∙BP+AP的最小值转化为PC+PA的最小值，当然是2最值问题常见处理方法①几何法通过观察掌握几何量的变化规律，利用几何知识点找到几何量取到最值的位置，从而求出最值，这需要熟悉常见的几何模型.②代数法理解几何量之间的变化规律，找到“变化源头”，通过引入恰当的参数(一般与源头有关)，把所求几何量表示成参数的式子，再利用求函数最值的方法（基本不等式、换元法、数形结合等）求得几何量的最值.【方法一】几何法【典题1】已知椭圆C：x225+y216=1(1)|PM|－|PF1|【解析】(1)由椭圆C：x225+y则F则||PM|－|PF1||≤|M所以−所以|PM|－|PF1|的最大值与最小值分别为34(2)2a=10,设P是椭圆上任一点，由|PF∴|PM|+|P等号仅当|PM|=|PF2|－|M由|PM|≤|PF∴等号仅当|PM|=|PF2|+|M故|PM|+|PF1|的最大值10+【点拨】本题采取几何法，通过三点共线模型与椭圆的定义进行求解.【典题2】设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x=－1的距离之和的最小值为M，若B(3,2)，记|PB|+|PF|的最小值为【解析】如图所示，过点P作PG垂直于直线x=－1，垂足为点G，由抛物线的定义可得|PG|=|PF|，所以点P到直线x=－1的距离为|PG|，所以|PA|+|PG|=|PA|+|PF|≥|AF|=(三点共线模型)当且仅当A、P、F三点共线时，|PA|+|PG|取到最小值，即M=5如图所示，过点P作直线PH垂直于直线x=－1，垂足为点H，由抛物线的定义可得|PH|=|PF|,点B到直线x=－1的距离为d=4，所以|PB|+|PF|=|PB|+|PH|≥4，当且仅当B、P、H三点共线时，等号成立，即N=4，(垂线段最值模型)因此M+N=5【点拨】①本题采取几何法，通过几何模型与抛物线的定义进行求解；②处理抛物线类似的题目，注意点在抛物线之内还是之外，比如本题点A在抛物线外，点B在抛物线内.【典题3】已知双曲线方程为x2−y24=1，如图，点A的坐标为(−【解析】设点D的坐标为(5，0)，则点由双曲线的定义，得|MA|－|MD|=2a=2．∴|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，(此时相当于把点B看成“定点”看待，当M,B,D三点共线时|MB|+|MD|取到最小值，这是处理两动点的常规方法)又B是圆x2+半径为1，故|BD|≥|CD|－1=10从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥10当点M,B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为10+1【点拨】本题眨眼一看，存在两动点M、B，有些头疼.题中通过双曲线的定义把|MA|+|MB|的最小值转化为|BD|最小值问题，这就是圆外一点到圆上最短距离问题，即|BD|≥|CD|－1=10【典题4】椭圆x24+y2【解析】设与直线2x+3y－9=0平行的直线2x+3由2x+3y+m=0x由∆=0得m=±5设直线2x+3y+m=0与直线2x+3当m=5时，d=477；当椭圆x24+y2【点拨】通过观察，可知与直线l平行且与椭圆相切的直线与椭圆的切点即是取到最小距离的点，最小距离为两平行线的距离.【方法二】代数法【典题1】求点A(a,0)到椭圆x2【解析】设椭圆x22+y2则PA设fx=x(构造函数，问题转化为二次函数定区间动轴最值问题)①当2a<−2，即a<−22时，y=f(x)则fxmin=f−2②当−2≤2a≤2，即−22则fxmin=f2a=2③当2a>−2，即a>−22时，y=f(x)则fxmin=f2=综上，当a<−22时，|PA|最小为−22≤a≤22a>−22时，|PA|最小为【点拨】①两点A、B距离AB往往用两点距离公式xA②本题把求距离最值问题转化为函数的最值问题，函数问题优先讨论定义域x∈[−2,2]，函数含有参数a③本题还是利用椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθ，设椭圆上点P(2cosθ,sinθ)，从而构造函数|PA|=cos2θ−2【典题2】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l'．若直线l'与直线l相交于点P，与直线x=2【解析】(1)过程略，椭圆C的方程为x2(2)(采取代数法，思路很直接，引入变量表示|PQ||MN|再求其最值，而PQ,|MN|是线段，用两点距离公式和弦长公式求出，由于它们是由直线由题意知直线l的斜率不为0，故设直线l的方程为x=my－1，设M(x联立x2+2y此时△=8(m∴y由弦长公式，得MN=(用m表示MN，弦长公式求得)又yP∴P(−2∵直线l与直线l'相互垂直，∴∴yQ−∴|PQ|=1+∴|PQ|当且仅当m2+1=∴当m=±1，即直线l的斜率为±1时，|PQ||MN|取得最小值【点拨】①本题中求|PQ||MN|的最小值，用代数法，则可把|PQ|、|MN|表示出来，|MN|用到了弦长公式，而|PQ|用两点距离公式，最后|PQ|②求|PQ|时，也可以PQ=【典题3】P是抛物线x2=2y上的动点，过P(x0,y0)作圆C：(1)若两条切线l1，l2的斜率乘积为(2)求当4<y0<8【解析】(1)设点直线PA,PB的斜率分别为k1,∴PA的方程：y－y则由直线l1与圆相切得：同理直线l2与圆相切可得所以k1,k∴又∵k1又x∴y(2)由(1)得x∴S由(1)知：|k∴S故令t=y∴∵ft=t+4故函数值域为(8,32即△PAB面积的取值范围为(8,32【点拨】①若x1、x2满足ax②本题求△PAB面积的取值范围，则先求出S△PAB=y02y0−2(【典题4】如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)，G为圆H：x+22+y2=1上一动点，由G向C引切线，切点分别为E(1)求C的方程；(2)当点G在圆H：x+22+y2=1上运动时，记k【解析】(1)设切线方程为：y=k(x+1)，不妨设k>0．联立y=k(x+1)y2=2px则△=2k2方程k2x2+(2k∴E(1,2k)，由对称性可知F(1,−2k)，∵△GEF的面积为4，∴12×2×4k=4∴p=2．∴C的方程为：y2(2)设G(x0,设切线方程为：y－y联立y−y0=k(x−△1∴x0k∴|k∴|1∴|1k1−【点拨】理解到本题的变化源头在点G(x0,y0)，利用直线与抛物线相切把|1k1−1k2巩固练习1(★★)已知抛物线y2=4x的焦点为F，定点A(2,2)，在此抛物线上求一点P，A．(－2,2) B．(1，2) C．(1,2) 【答案】C【解析】根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，设点P到准线l：x=－1的距离为PQ,则所求的|PA|+|PF|最小值，即|PA|+|PQ|的最小值；根据平面几何知识，可得当P、A、Q三点共线时|PA|+|PQ|最小，∴|PA|+|PQ|的最小值为A到准线l的距离；此时P的纵坐标为2，代入抛物线方程得P的横坐标为1，得P(1,2)故选：C．2(★★)F是椭圆x29+y25=1A．9−2 B．3+2 C．6−2 【答案】C【解析】椭圆x29+如图，设椭圆的右焦点为F'(2,0)，则|PF|+|PF'|=2a=6；∴|PA|+|PF|=|PA|+6－|PF'|=6+|PA|－|PF'|；由图形知，当P在直线AF'上时，PA－当P不在直线AF'上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，||PA|－|PF'||<|AF'|=2∴当P在F'A的延长线上时，|PA|－|PF'|取得最小值−∴|PA|+|PF|的最小值为6−故选：C．3(★★)点P是双曲线x24−y2=1的右支上一点，M、NA．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】双曲线x2∵a=2,b=1,c=∴F∴|MP|≤|PF1∵|PN|≥|PF可得－|PN|≤－|PF2∴①②相加，得|PM|－|PN|≤|P∵|P∴|PM|－|PN|≤4+1+1=6故选：C．4(★★★)【多选题】已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线CA．抛物线的方程是x2=2y B．抛物线的准线是C．sin∠QMN的最小值是12 D．线段【答案】BC【解析】(1)抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F得抛物线的准线方程为y=−点点E(t,2)到焦点F的距离等于3，可得2+p2=3则抛物线C的方程为x2=4y；所以抛物线的准线方程：y=－1，所以B正确；(2)由题知直线l的斜率存在，F(0,1)，设A(x1,y1由y=kx+1x2=4y，消去所以x1所以y1所以AB的中点Q的坐标为(2k,2k|AB|=y所以圆Q的半径为r=2k在等腰△QMN中，sin∠QMN=当且仅当k=0时取等号．所以sin∠QMN的最小值为12．所以C线段AB的最小值是：y1+y故选：BC．5(★★)设P,Q分别为圆x2+y−62=2和椭圆x【答案】62【解析】设椭圆上的点为(x,y)，则∵圆x2+y－62∴椭圆上的点(x,y)到圆心(0,6)的距离为x2∴P,Q两点间的最大距离是526(★★★)E、F是椭圆x24+y22=1的左、右焦点，点P在直线【答案】π【解析】设P(