不等式的性质高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

北师大版（2019）必修第一册1.3.1不等式的性质学习目标LearningObjectives探索新知Explorenewknowledge题型突破Breakthroughinquestiontypes当堂检测Classroomtest学习目录ParentConferenceDirectory壹叁贰肆学习目标PART01学习目标01能够用作差法比较两个数或式的大小01理解不等式的概念，掌握不等式的性质02会用不等式的性质证明不等式或解决相关问题03探索新知PART02探索新知02

情境导学

探索新知02今天我们来学习不等式的性质．因为不等式和等式一样，都是大小关系的刻画，所以我们可以从等式性质及其研究方法出发，通过类比研究不等式性质．首先梳理一下，等式都有哪些性质？性质1：如果a＝b，那么b＝a；(对称性)性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；(同加减性)性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；(同乘性)性质5：如果a＝b，c≠0那么

(同除性)

知识点1

等式的性质性质2：如果a＝b，b＝c那么a＝c；(传递性)探索新知02(1)在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号“≠”“＞”“≥”“＜”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.(2)用“＜”或“＞”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式.常见的文字语言与数学符号之间的对应关系如下：知识点2

不等式文字语言数学符号文字语言数学符号文字语言数学符号文字语言数学符号大于＞大于或等于≥至多≤不小于≥小于＜小于或等于≤至少≥不大于≤探索新知02在初中数学中，可以利用数轴比较任意两个实数a，b的大小.关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b.反过来也对.知识点3

实数大小比较的依据这个基本事实可以表示为：a＞b⇔a－b＞0；

a＝b

⇔a－b＝0；

a＜b

⇔a－b＜0.由上述基本事实可知，要比较两个实数的大小可以转化为比较它们的差与0的大小(作差法)，作差时应对差式进行恒等变形(常采用配方法，因式分解，有理化，通分等方法)，直到能明显判断正负为止.探索新知02例1试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小.

作差法一般步骤：1.作差2.变形3.定号，下结论定号只与符号有关，与具体值无关;探索新知02性质1(传递性)：如果a＞b，且b＞c，那么a＞c.分析：要证a＞c，只需证a－c>0.证明：因为a＞b，且b＞c，所以a－b>0，b－c>0，从而a－c＝(a－b)+(b－c)>0，即a＞c.知识点4

不等式的性质知识剖析在应用性质1时，如果两个不等式中有一个带等号，而另一个不带等号，那么等号不等传递下去.如由a≥b，b＞c不能得到a≥c，只能得到a＞c.探索新知02性质2(可加性)：如果a＞b，那么a+c＞b+c.分析：要证a+c＞b+c，只需证(a+c)－(b+c)>0.证明：因为a＞b，所以a－b＞0，所以(a+c)－(b+c)＝a－b>0，即a+c＞b+c.知识点4

不等式的性质探索新知02性质3(可乘性)：(1)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc.(2)如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.分析：(1)要证ac＞bc，只需证ac－bc>0.证明：(1)因为a＞b，所以a－b＞0，又因为c＞0，所以(a－b)c＞0，ac－bc>0，即ac＞bc.试用(1)的方法完成(2)的证明.知识点4

不等式的性质证明：(2)因为a＞b，所以a－b＞0，又因为c＜0，所以(a－b)c＜0，ac－bc＜0，即ac＜bc.

探索新知02

探索新知02性质4(同向可加性)：如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.证明：因为a＞b，所以a+c＞b+c，又因为c＞d，所以b+c＞b+d，由不等式的性质1，得a+c＞b+d.知识点4

不等式的性质探索新知02性质5：(1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.(2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd.证明：(1)因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，又因为c＞d，b＞0，所以bc＞bd，由不等式的性质1，得ac＞bd.试用(1)的方法完成(2)的证明.知识点4

不等式的性质证明：(2)因为a＞b，c＜0，所以ac＜bc，又因为c＜d，b＞0，所以bc＜bd，由不等式的性质1，得ac＜bd.

探索新知02

知识点4

不等式的性质探索新知02证明性质6中不等式的方法具有什么特征？

不等式开方性质证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法．反证法的一般步骤：假设假设命题结论不成立．（即命题结论反面成立）推理得出的结论与已知条件矛盾与定理，定义，公理矛盾假设不成立所证命题成立探索新知02

探索新知02

知识点5

倒数法则及其应用探索新知02本节课我们重点学习了不等式的基本性质和不等式的常用性质，你是怎样研究不等式的基本性质的？在探究不等式性质时经历什么过程？性质内容备注性质1性质2性质3性质4如果a＞b，且b＞c，那么a＞c传递性如果a＞b，那么a＋c＞b＋c如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc加（减）乘（除）运算如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d同向不等式相加探索新知02本节课我们重点学习了不等式的基本性质和不等式的常用性质，你是怎样研究不等式的基本性质的？在探究不等式性质时经历什么过程？性质内容备注性质5性质6如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd特别地，如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N*，n≥2）．不等式相乘不等式的乘方性质

不等式的开方性质续表经历的过程：经历“前备经验—归纳特点—类比猜想—推理证明（修正）—理解表达—探究个性—应用反思”的过程．题型突破PART03题型突破03题型1比较大小题型突破03解题通法作差法依据：a＞b⇔a－b＞0；

a＝b

⇔a－b＝0；

a＜b

⇔a－b＜0.应用范围：若数(式)的符号不明显，作差后可化为积、商的形式步骤：①作差；②变形；③判断差与0的大小关系；④下结论题型1比较大小题型突破03题型1比较大小题型突破03解题通法

题型1比较大小题型突破03题型1比较大小题型突破03解题通法平方法依据：a2＞b2＞且a＞0，b＞0⇒a＞b.应用范围：要比较的两数(式)中有根号步骤：①平方；②用作差法或作商法比较大小；题型1比较大小说明：介值比较法也是比较大小的常用方法.(1)介值比较法的理论依据是：若a>b，b>c，则a>c，其中b是a与c的中介值.(2)介值比较法的关键是通过对不等式恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.该方法常用在后面将要学习的指、对、幂式比较大小的问题中，以后我们在详细介绍题型突破03题型2不等式的性质

题型突破03解题通法1.利用不等式的性质判断命题真假的技巧(1)要判断一个命题为真命题，必须严格证明；(2)要判断一个命题为假命题，可以举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果.其中，举反例在解选择题时用处很大.2.运用不等式的性质判断命题真假的注意事项(1)若应用倒数法，则要求两数同号；(2)两边同乘以一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；(3)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减.题型2不等式的性质题型突破03题型3不等式的性质应用

题型突破03题型3不等式的性质应用

解题通法利用几个不等式的范围来