《数字电子技术》课件1.6逻辑函数与卡诺图

1.6逻辑函数的化简

主要要求：

掌握逻辑函数的常见形式与变换理解卡诺图化简法理解代数法化简

逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。例如与或表达式

或与表达式与非-

与非表达式或非-

或非表达式与或非表达式转换方法举例

与或式与非式

用还原律

用摩根定律

或与式或非式与或非式

用还原律

用摩根定律

用摩根定律

1.6.1逻辑函数表达式的常见形式1.6.2代数法化简化简的原则1、表达式中乘积项最少（所用的门最少）；2、乘积项中的因子最少（门的输入端数最少）；3、化为要求的表达形式（便于用不同的门来实现）。不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简与-

或式，然后通过变换得到所需最简式。化简意义使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。最简与-

或式标准(1)乘积项(即与项)的个数最少(2)每个乘积项中的变量数最少用与门个数最少与门的输入端数最少

最简与非式标准(1)非号个数最少(2)每个非号中的变量数最少用与非门个数最少与非门的输入端数最少

运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。并项法

运用，将两项合并为一项，并消去一个变量。代数（公式）化简法吸收法

运用A+AB

=A和，消去多余的与项。消去法

运用吸收律

，消去多余因子。配项法通过乘或加入零项进行配项，然后再化简。代数化简法

优点：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易判断是否最简式。

卡诺图化简法优点：简单、直观，有一定的步骤和方法易判断结果是否最简。

缺点：适合变量个数较少的情况。一般用于四变量以下函数的化简。代数化简法与卡诺图化简法的特点1.6.3卡诺图化简法1.逻辑函数最小项

（1）

最小项的定义和编号

n个变量有2n种组合，可对应写出2n个乘积项，这些乘积项均具有下列特点：包含全部变量，且每个变量在该乘积项中(以原变量或反变量)只出现一次。这样的乘积项称为这n个变量的最小项，也称为n变量逻辑函数的最小项。如何编号？如何根据输入变量组合写出相应最小项？例如

3变量逻辑函数的最小项有

23=8个

将输入变量取值为1的代以原变量，取值为0的代以反变量，则得相应最小项。

简记符号例如

1015m5m44100ABC111110101100011010001000最小项ABCm7m6m5m4m3m2m1m0输入组合对应的十进制数76543210（2）

最小项的基本性质

①

对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为

1，

而其余各种变量取值均使其值为

0。三变量最小项表110000000111101000000110100100000101100010000100100001000011100000100010100000010001100000001000ABCm7m6m5m4m3m2m1m0ABC②

对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为

0。③

对于变量的任一组取值，全体最小项的和为

1。（3）

最小项的相邻性①几何相邻：最小项在卡诺图几何图形位置上的相邻关系。主要包括3种：一是，相挨；二是相对（任一行或列的两端）；三是相重（对折起来位置重合）。②逻辑相邻：两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为逻辑相邻最小项，简称相邻项。相邻最小项重要特点是，两个相邻最小项相加可合并为一项，消去互反变量，化简为相同变量相与。例如，。注意：在卡诺图中，凡是几何相邻的最小项必定逻辑相邻。2.卡诺图（1）概念

将n变量的2n个最小项用2n个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。变量取0的代以反变量取1的代以原变量AB二变量卡诺图0101000110110001AB0101m0m1m2m30123ABAAB

BABABABAB四变量卡诺图01

3

245

7

61213

15

14891110三变量卡诺图ABC01000111

10

m6m7m4m2m3000m0m5001m16

7

5

4

2

310ABCD00011110000111

10

以循环码排列以保证相邻性变量取0的代以反变量取1的代以原变量ABCD00011110000111

1001

3

245

7

61213

15

14891110ABCD相邻项在几何位置上也相邻卡诺图特点：循环相邻性同一列最上与最下方格相邻同一行最左与最右方格相邻

（2）用卡诺图表示逻辑函数

(1)

求逻辑函数真值表或者标准与-

或式或者与-

或式。

(2)

画出变量卡诺图。

(3)

根据真值表或标准与

-

或式或与

-

或式填图。基本步骤用卡诺图表示逻辑函数举例

已知标准与或式画函数卡诺图

[例]

试画出函数Y=∑m(0,1,12,13,15)的卡诺图解：(1)

画出四变量卡诺图(2)

填图

逻辑式中的最小项m0、m1、m12、m13、m15

对应的方格填1，其余不填。ABCD0001111000011110

0

1324576

12

13

151489

11

10

11

111

（3）用卡诺图化简逻辑函数

卡诺图化简法步骤如下：①画函数卡诺图；②对填1的相邻最小项方格画包围圈：画包围圈规则是，包围圈必须包含个相邻1方格，且必须成方形；先圈小再圈大，圈越大越好；1方格可重复圈，但须每圈有新1；每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。注意：同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈；同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；四个角上的1方格也循环相邻，可画圈。

③将各圈分别化简；④将各圈化简结果逻辑加。m15

m9

m7

m6

m5

m4

m2

m0解：(1)画变量卡诺图[例]用卡诺图化简逻辑函数

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000011110(2)填卡诺图11111111(3)画包围圈abcd(4)将各图分别化简圈2个可消去

1个变量，化简为3个相同变量相与。Yb=BCD圈4个可消去

2个变量，化简为2个相同变量相与。孤立项Ya=ABCDYc=

AB循环相邻

Yd=

AD(5)将各图化简结果逻辑加，得最简与或式3.具有约束的逻辑函数的化简（1）约束、约束项和有约束条件

约束指的是逻辑函数的各个变量之间所具有的相互制约的关系。我们把这样的变量称为具有约束的逻辑变量，而这些不允许出现，或不可能出现的取值组合所对应的最小项统称为约束项。由有约束的变量所决定的逻辑函数，叫做有约束的逻辑函数。约束项可以用di表示，其中下标i=0～（2n−1）为最小项的编号，在列真值表或填卡诺图时，将约束项所对应的函数值记作“×”。

将所有约束项相加所构成的函数值恒为零的逻辑表达式叫做“约束条件”，记做。

（2）具有约束的逻辑函数的化简方法

在对具有约束的逻辑函数化简时，与约束项对应的函数值可以任意假定，既可以取0，也可以取1，完全视需要而定。

【例】

利用图形法化简下列具有约束的逻辑函数。本章小结本章主要介绍了数字电路的概述，数制与码制、逻辑代数基础、逻辑代数定律及规则、逻辑函数及其表示方法和逻辑函数的化简等逻辑代数方面的基础知识。

1.数字电路是传递和处理数字信号的电子电路。数字电路中的信号只有高电平和低电平两个取值，通常用1表示高电平