《信号与系统》-(中文电子课件) 第九章 离散系统的z域分析

第九章离散系统的z域分析主讲教师：廖斌1引言2

9.1z变换3在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为Z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。

从拉普拉斯变换到Z变换对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号:

两边取双边拉普拉斯变换，得

9.1z变换

59.1z变换5

6S平面与z平面的映射关系

令

9.1z变换79.1z变换

89.1z变换

99.1z变换

Z变换的意义

10

9.1z变换

11Z变换的收敛域9.1z变换

z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即

12

9.1z变换13

9.1z变换149.1z变换

15

9.1z变换

16

9.1z变换17

序列的收敛域大致有一下几种情况：（1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面；（2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域；（3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域；（4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；

9.1z变换18

关于收敛域注意事项双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不唯一。

对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。可以省略。

9.1z变换199.2常用序列的z变换

已知20

9.2常用序列的z变换21

9.2常用序列的z变换同理可得，

229.2z变换的性质

线性性质*但在某些特殊情况下，收敛域可能扩大。23

9.2z变换的性质

那么有所以得

24

9.2z变换的性质

25

移位特性双边z变换的移位：

证明：

9.2z变换的性质26单边z变换的移位：

9.2z变换的性质27单边z变换的移位：

9.2z变换的性质28

证明：

9.2z变换的性质29

-1-2-1

9.2z变换的性质30

9.2z变换的性质31

9.2z变换的性质32指数加权特性

(z域尺度变换)

证明：

举例：9.2z变换的性质33序列乘k（z域微分）

9.2z变换的性质34证明：

9.2z变换的性质35

9.2z变换的性质36k域反转(仅适用双边z变换）

9.2z变换的性质379.2z变换的性质初值定理和终值定理

初值定理38证明：

因为9.2z变换的性质

39

9.2z变换的性质40

终值定理9.2z变换的性质41证明：

所以9.2z变换的性质

42

9.2z变换的性质439.3z变换的性质卷积定理

449.3z变换的性质

从而得证。45

解：由于由卷积定理得,

所以可得，

9.3z变换的性质9.4逆z变换46

幂级数展开法

47

解:

9.4逆z变换48

9.4逆z变换49

9.4逆z变换509.4逆z变换

难以写成闭合形式。51部分分式展开法

可以展开成为

9.4逆z变换52

9.4逆z变换53

计算公式中待定系数：

9.4逆z变换549.4逆z变换

解：

55

9.4逆z变换56

解：

9.4逆z变换579.5差分方程的z域分析与求解

58

9.5差分方程的z域分析与求解

59

9.5差分方程的z域分析与求解

60其中，

9.5差分方程的z域分析与求解619.6系统函数与系统特性系统函数定义

它可以用来表示离散系统的系统传输特性,62

9.6系统函数与系统特性63

9.6系统函数与系统特性

64系统函数零点和极点

9.6系统函数与系统特性65

可得H(z)的零极点分布图。例：离散时间LTI系统的系统函数9.6系统函数与系统特性66系统函数与系统稳定性9.6系统函数与系统特性

67

9.6系统函数与系统特性68系统函数与系统时域特性9.6系统函数与系统特性

（这里假设系统函数的极点都为单极点）离散LTI系统的时域特性主要取决于系统函数的极点分布。69

9.6系统函数与系统特性70系统函数与系统频域特性

9.6系统函数与系统特性719.6系统函数与系统特性

72

9.6系统函数与系统特性73

将其代入上式可得：

9.6系统函数与系统特性74

9.6系统函数与系统特性75

9.6系统函数与系统特性76

9.6系统函数与系统特性77

9.6系统函数与系统特性78

9.6系统函数与系统特性79

9.6系统函数与系统特性809.7系统频率响应函数几何绘制对于零极增益表示的系统函数

81

9.7系统频率响应函数几何绘制82

9.7系统频率响应函数几何绘制83

9.7系统频率响应函数几何绘制84（a）系统的零极点分布

（b）系统的幅频响应(c)系统相频响应9.7系统频率响应函数几何绘制9.8离散LTI系统的方框图表示85对于离散系统，同样可以利用模拟框图来表示一个系统，其中模拟基本运算器的z域模型如图所示。86串联系统的系统函数等于各子系统的系统函数乘积，其关系如图所示。

9.8离散LTI系统的方框图表示87并联系统的系统函数等于各子系统的系统函数之和，其关系如图所示。

9.8离散LTI系统的方框图表示88

9.8离散LTI系统的方框图表示899.8离散LTI系统的方框图表示离散LTI系统的z域模拟

离散LTI系统的z域模拟主要是采用加法器、延时环节以及标量乘法器等基本运算单元来模拟实际的离散系统。其中常用的实现方案有直接型、级联型和并联型。

直接型90级联型

对每一个子系统画出直接型结构图，最后将这些子系统连接起来便