吉林省长春市朝阳区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题（解析版）

2021—2022学年度（下学期）期末质量监测试题七年级数学一、选择题（每小题3分，共24分）1.已知关于x的方程的解是，则a的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根据方程的解的定义，把代入方程，然后得到关于a的一元一次方程，求解即可．【详解】解：∵方程的解是，∴，解得，故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，把解代入方程求解即可．2.已知方程组，则x＋2y的值为（）A.2 B.1 C.－2 D.3【答案】A【解析】【分析】方程组中两方程相减即可求出x+2y的值．【详解】①-②得：x+2y=2，故选A．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4.不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可．【详解】解：不等式移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，将不等式的解集表示在数轴上如下：故选：B．【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．在数轴上正确表示出不等式的解集是解题的关键．5.如图，是一个外角，若，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵，的一个外角，∴．故选：C．【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和．熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．6.如图，在中，过点作于点，则下列说法正确的是（）A.是的高 B.是的高C.只是的高 D.是图中三个三角形的高【答案】D【解析】【分析】根据三角形高的定义判断即可．【详解】解：如图，∵，∴，，∴是、、三个三角形的高，∴A、是的高，错误，故此选项不符合题意；B、是的高，错误，故此选项不符合题意；C、只是的高，错误，故此选项不符合题意；D、是三个三角形的高，正确，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了三角形的高，从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高．理解和熟练掌握三角形高的定义是解题的关键．7.如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB′关于直线AD对称，若∠B′AC＝14°，则∠B的度数为()A.38° B.48° C.50° D.52°【答案】D【解析】【分析】通过对称的性质得到，结合计算得，进而用余角进行计算．【详解】解：∵∠BAC＝90°，∠B′AC＝14°，∴，∵△ABD与△ADB′关于直线AD对称，∴，∵AD⊥BC，∴，∴．故选：D．【点晴】本题考查对称以及直角三角形中角的转化与计算，解题的关键是掌握对称的性质．8.如图①，在△ABC中，，．如图②，将图①中的边CB边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置，得到线段．在整个旋转的过程中，若，则的大小为（）A.73° B.107° C.73°或107° D.42°或107°【答案】C【解析】【分析】分两种情况画出图形求解即可．【详解】解：如图，∵，∴．∵，∴，如图，∵，∴．∵，∴．综上所述：或73°．故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，以及平行线的性质，运用分类讨论思想是解决问题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）9.不等式组的解集为______．【答案】【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】解：解不等式得，，∴不等式的解集为：．故答案为：．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了”的原则是解题的关键．10.已知一个三角形的两边长分别为3和6，若第三边的长为偶数，则第三边的长可以为______．（写出一个即可）【答案】4，6，8（答案不唯一，任何一个即可）【解析】【分析】根据三角形三边关系，列出不等式组，根据第三边的长为偶数，求得不等式组的整数解即可求解．【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为3和6，设第三边长为x，∴6−3<x<6+3，解得3<x<9，∵x为偶数，∴x=4，6，8．故答案为：4，6，8（答案不唯一，任何一个即可）．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，不等式组的整数解，掌握三角形的三边关系是解题的关键．11.将一副直角三角尺如图放置，则的大小为______度．【答案】【解析】【分析】根据三角形外角的性质和互补解答即可．【详解】解：如图所示，∵，，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查三角形外角的性质．关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．12.如图，正六边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的大小是______度．【答案】【解析】【分析】根据正六边形的内角和正五边形的内角并结合周角的定义可得结论．【详解】解：由题意得：正六边形的每个内角都为：，正五边形的每个内角都为：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形的内角，正多边形的内角和为（且为整数，为正多边形的边数），正多边形的每个内角相等，每个外相等．熟练掌握正六边形的各内角度数，正五边形的各内角度数是解题的关键．13.如图，将长为5，宽为3长方形ABCD先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到长方形，则阴影部分图形的面积和为______．【答案】18【解析】【分析】利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题．【详解】解：由题意，空白部分是长方形，长为，宽为，∴阴影部分的面积．故答案为：18．【点睛】本题考查平移的性质，长方形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14.如图，在中，点为边上任意一点（点不与点、点重合），点、分别是线段、的中点，连接、．若的面积为，则的面积为______．【答案】【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【详解】解：∵点是线段的中点，∴，，∴∵的面积为，∴，∵点是线段的中点，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的面积．熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键，原理为等底等高的三角形的面积相等．三、解答题（本大题10小题，共78分）15.解方程组【答案】原方程组的解是【解析】分析】根据代入法解二元一次方程组即可求解．【详解】由②：③，将③代入①：，解得：，把代入③：，∴原方程组的解是．【点睛】本题考查了代入法解二元一次方程组，掌握代入消元法是解题的关键．16.解方程：．【答案】x=-23【解析】【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【详解】解：去分母得，2（x-7）-3（1+x）=6，去括号得，2x-14-3-3x=6，移项得，2x-3x=6+14+3，合并同类项得，-x=23，系数化为1得，x=-23．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17.解不等式组，并写出它的正整数解．【答案】，正整数解为3，4【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集，最后写出不等式组的整数解．【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，所以不等式组的解集为．所以不等式组的正整数解为3，4．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，解决问题的关键是熟练解答一元一次不等式和确定一元一次不等式组的解集．18.一个正多边形的一个内角减去与它相邻的一个外角的结果为．（1）求这个正多边形的边数．（2）如果该正多边形与另外一个与其边长相等的正多边形能铺满地面，直接写出这个正多边形的边数．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先设内角为，根据内角与其相邻外角和为，则其相邻的外角为，可得方程，计算出的值，进而可得外角的度数，然后可得多边形的边数．（2）根据“拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于360度”进行判断即可．【小问1详解】解：设一个内角为，则外角为，∴，解得：，则其外角为：，这个正多边形的边数为．答：这个正多边形的边数为．【小问2详解】∵，又∵正方形的每个内角是，∴这个正多边形的边数是．【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角、平面镶嵌．关键是掌握多边形的一个内角与其相邻外角和为180度，拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于360度．19.图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点．点A、B、C均在格点上，要求作一个多边形使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在格点上．（1）在图①中作一个三角形，使它是轴对称图形．（2）在图②中作一个四边形，使它只是中心对称图形．（3）在图③中作一个四边形，使它既是轴对称图形又是中心对称图形．【答案】（1）如图①．答案不唯一（2）如图②．答案不唯一（3）如图③．答案不唯一【解析】【分析】（1）根据轴对称图形的性质可直接进行求解；（2）根据中心对称图形的性质可直接进行求解；（3）根据轴对称图形及中心对称图形的性质可进行求解．小问1详解】解：如图所示；【小问2详解】如图所示；【小问3详解】如图所示；【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握相关概念是解题的关键．20.如图，在中，，．将沿射线方向平移得到，使点的对应点在边上，点的对应点为点，边与交于点，，．（1）求的长．（2）求四边形的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平移的性质可得，进而可求解；（2）由平移的性质可得，从而得出，求出梯形的面积即可．【小问1详解】解：∵沿射线方向平移得到，∴，∴．∴的长为．【小问2详解】∵，，∴，∵沿射线方向平移得到，，∴，，，∴，即：，∵，∴．∴四边形的面积为．【点睛】本题主要考查平移的性质，梯形的面积等知识，平移的性质：经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形，面积和周长相等）．本题利用了等积变换的解题方法．掌握平移的性质是解题的关键．21.某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“红色之旅一日游”活动收费标准如下：人数m收费标准（元/人）908575甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动．已知甲校报名参加的学生人数多于100人，但少于200人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校分别组团共需花费20800元，若两校联合组团只需花费18000元．（1）求两所学校报名参加旅游的学生人数之和．（2）求甲学校报名参加旅游的学生的人数．【答案】（1）240人（2）160人【解析】【分析】（1）设两校人数之和为a，分情况计算即可求解；（2）设甲学校报名参加旅游的学生有x人，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．【小问1详解】能．设两校人数之和为a．若，则．若，则，不合题意．所以两所学校报名参加旅游的学生人数之和为240人．【小问2详解】设甲学校报名参加旅游的学生有x人．∵，∴．解得．答：甲学校报名参加旅游的学生有160人．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键．22.在四边形中，，．（1）如图①，若，则______度．（2）如图②，作的角平分线交于点．若，求的大小．（3）如图③，作和角平分线交于点，求的度数．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据四边形的内角和是，结合已知条件就可求解；（2）根据平行线的性质得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，进一步根据四边形的内角和定理进行求解；（3）根据四边形的内角和定理以及角平分线的概念求得的度数，再结合三角形内角和求得的度数．【小问1详解】解：在四边形中，，，∴，∴，又∵，∴．故答案为：．【小问2详解】∵，，∴，∴，∵CE平分，∴，∵，∴，．∴的大小为．【小问3详解】∵四边形ABCD中，，，∴，∵和的角平分线交于点E，∴，，∴，∴．∴的度数为．【点睛】本题考查了四边形的内角和，三角形的内角和，平行线的性质，角平分线的定义等知识．综合运用四边形的内角和以及三角形的内角和、熟练运用平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．23.“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备，已知3台A型设备和2台B型设备日处理能力一共为54吨；5台A型设备和1台B型设备日处理能力一共为62吨．（1）求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各多少吨？（2）若购买A、B两种型号的垃圾处理设备共20台，并且它们的日处理能力不低于235吨．请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；（3）已知每台A型设备价格为5万元，每台B型设备价格为7万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于137万元时，则按9.5折优惠；问：采用（2）中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由．【答案】（1）A设备处理能力为一天10吨，B设备一天12吨；（2）方案①买A设备0台，B设备20台；方案②买A设备1台，B设备19台；方案③买A设备2台，B设备18台；（3）方案②费用最少，理由见解析【解析】【分析】（1）设1台A设备日处理能力为x吨，1台B设备日处理能力为y吨，根据题意列出方程组，解之即可；（2）设购买A设备m台，根据日处理能力不低于235吨，列出不等式，求出整数解，从而可得方案；（3）分别计算出三种方案对应的费用，再比较即可．【详解】解：（1）设1台A设备日处理能力为x吨，1台B设备日处理能力为y吨，由题意可得：，解得：，∴A设备处理能力为一天10吨，B设备一天12吨；（2）设购买A设备m台，则B设备（20-m）台，∴10m+12（20-m）≥235，解得：m≤，∵m为非负数，∴m=0或1或2，则一共有3种方案：方案①买A设备0台，B设备20台；方案②买A设备1台，B设备19台；方案③买A设备2台，B设备18台；（3）方案①：20×7=140＞137，则实际付款：