重点突围：专题03 平行线中的拐点问题（解析版）-人教七下期中综合复习

七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（人教版）专题03平行线中的拐点问题【典型例题】1．（2021·吉林珲春·七年级期中）感知与填空：如图①，直线AB∥CD．求证：∠B+∠D=∠BED．证明：过点E作直线EF∥CD，∠2=______，（）AB∥CD(已知），EF∥CD_____∥EF，（）∠B=∠1，（）∠1+∠2=∠BED，∠B+∠D=∠BED，（）方法与实践：如图②，直线AB∥CD．若∠D=53°，∠B=22°，则∠E=______度．【答案】∠D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；31．【解析】【分析】过点E作直线EF//CD，由两直线平行，内错角相等得出∠2=∠D；由两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行得出AB//EF；由两直线平行，内错角相等得出∠B=∠1；由∠1+∠2=∠BED，等量代换得出∠B+∠D=∠BED；方法与实践：如图②，由平行的性质可得∠BOD=∠D=53°，然后再根据三角形外角的性质解答即可【详解】解：过点E作直线EF∥CD，∠2=∠D，（两直线平行，内错角相等）AB∥CD(已知），EF∥CDAB//EF，（两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∠B=∠1，（两直线平行，内错角相等）∠1+∠2=∠BED，∠B+∠D=∠BED，（等量代换）方法与实践：如图②，∵直线AB∥CD∴∠BOD=∠D=53°∵∠BOD=∠E+∠B∴∠E=∠BOD-∠B=53°-22°=31°．故答案依次为：∠D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；31．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识点；熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．【专题训练】选择题1．（2022·广东禅城·八年级期末）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠A=41°，则∠C的度数为（）A．139° B．141° C．131° D．129°【答案】A【解析】【分析】如图，根据AECF，得到∠CGB=41°，根据ABCD，即可得到∠C=139°．．【详解】解：如图，∵AECF，∴∠A=∠CGB=41°，∵ABCD，∴∠C=180°-∠CGB=139°．故选：A【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题关键．2．（2022·广东·红岭中学八年级期末）如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为150°，则第二次的拐角为（）A．40° B．50° C．140° D．150°【答案】D【解析】【分析】由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答．【详解】解：∵拐弯前、后的两条路平行，∴∠B=∠C=150°（两直线平行，内错角相等）．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．3．（2021·山东青岛·八年级单元测试）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【答案】C【解析】【分析】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，根据AB∥EF可得CG∥DH，根据平行线的性质可得∠CDH＝∠DCG，进而根据角的和差关系即可得答案．【详解】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．4．（2021·湖南荷塘·七年级期末）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点O在直线EF上，则．以上结论正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【分析】如图1所示，过点E作EF//AB，由平行线的性质即可得到∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，则∠A+∠C+∠AEC=360°，故①错误；如图2所示，过点P作PE//AB，由平行线的性质即可得到∠A=∠APE=180°，∠C=∠CPE，再由∠APC=∠APE=∠CPE，即可得到∠APC=∠A-∠C，即可判断②；如图3所示，过点E作EF//AB，由平行线的性质即可得到∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，再由∠AEF+∠CEF=∠AEC，即可判断③；由平行线的性质即可得到，，再由，即可判断④．【详解】解：①如图所示，过点E作EF//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//EF，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=360°，又∵∠AEF+∠CEF=∠AEC，∴∠A+∠C+∠AEC=360°，故①错误；②如图所示，过点P作PE//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//PE，∴∠A=∠APE=180°，∠C=∠CPE，又∵∠APC=∠APE=∠CPE，∴∠APC=∠A-∠C，故②正确；③如图所示，过点E作EF//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//EF，∴∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，又∵∠AEF+∠CEF=∠AEC，∴180°-∠A+∠1=∠AEC，故③错误；④∵，∴，，∵，∴，∴，故④正确；故选B【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质二、填空题5．（2021·全国·七年级期中）如图，已知ABCD，，，则____．【答案】95°【解析】【分析】过点E作EF∥AB，可得∠BEF+∠ABE=180°，从而得到∠BEF=60°，再由AB//CD，可得∠FEC=∠DCE，从而得到∠FEC=35°，即可求解．【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，∵EF//AB，∴∠BEF+∠ABE=180°，∵∠ABE=120°，∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-120°=60°，∵EF//AB，AB//CD，∴EF//CD，∴∠FEC=∠DCE，∵∠DCE=35°，∴∠FEC=35°，∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+35°=95°．故答案为：95°【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．6．（2022·辽宁铁西·八年级期末）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，则∠BCE的度数为_____．【答案】50°【解析】【分析】由AB∥CD∥EF，得到∠BCD=∠ABC=125°，∠CEF+∠ECD=180°，则∠ECD=180°-∠CEF=75°，由此即可得到答案．【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠BCD=∠ABC=125°，∠CEF+∠ECD=180°，∴∠ECD=180°-∠CEF=75°，∴∠BCE=∠BCD-∠ECD=50°，故答案为：50°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．7．（2021·吉林宽城·七年级期末）如图，直线mn．若，，则的大小为_____度．【答案】70【解析】【分析】如图（见解析），过点作，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．【详解】解：如图，过点作，，，，，，故答案为：70．【点睛】本题考查了平行线的性质与推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．8．（2021·上海金山·七年级期末）如图，已知DE∥BC，∠ABC＝70°，那么直线AB与直线DE的夹角等于___度．【答案】70或110【解析】【分析】先根据平行线的性质，求得∠AFE的度数，再根据邻补角的定义，即可得到∠AFD的度数．【详解】解：如图，直线AB和DE相交于点F，∵BC∥DE，∠ABC=70°，∴∠AFE=∠ABC=70°，∠AFD=180°-∠AFE=110°，∴直线AB、DE的夹角是70°或110°．故答案为：70或110．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．三、解答题9．（2022·全国·七年级）如图所示，AB∥CD，分别写出下面四个图形中∠A与∠P，∠C的数量关系，请你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明．【答案】（1）∠A+∠C＝∠P；（2）∠A+∠P+∠C＝360°；（3）∠A＝∠P+∠C；（4）∠C＝∠P+∠A，证明见解析【解析】【分析】（1）作PE∥AB，利用两直线平行内错角相等证明即可；（2）作PE∥AB，利用两直线平行同旁内角互补证明即可；（3）作PH∥AB，利用两直线平行同旁内角互补证明即可；（4）作PE∥AB，利用两直线平行内错角相等证明即可；【详解】解：（1）∠A+∠C＝∠P；证明如下：如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，∴∠A=∠1，∠C=∠2，∵∠APC=∠1+∠2，∴∠APC=∠A+∠C，即：∠A+∠C＝∠P；（2）∠A+∠P+∠C＝360°；证明如下：如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，∴∠A+∠C+∠1+∠2=360°，∵∠APC=∠1+∠2，∴∠A+∠C+∠APC=360°，即：∠A+∠P+∠C＝360°；（3）∠A＝∠P+∠C；证明如下：如图所示，作PH∥AB，则PH∥CD，∴∠HPA＋∠A＝180°，∴∠HPA＝180°－∠A，∵∠HPA＋∠APC＋∠C＝180°，∴180°－∠A＋∠P＋∠C＝180°，即：∠A＝∠P+∠C；（4）∠C＝∠P+∠A；证明如下：如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，∴∠EPC=∠C，∠EPA=∠A，∵∠APC=∠EPC－∠EPA，∴∠APC=∠C－∠A，即：∠C＝∠P+∠A．【点睛】本题考查平行线的性质运用，理解并熟练运用平行线的性质，灵活构造辅助线是解题关键．10．（2021·安徽寿县·八年级期中）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DEAB，EFBC，且DE交BC于点P，∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系，如图1与图2所示．①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为；②由①得出一个真命题（用文字叙述）．（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请求出这两个角的度数．【答案】（1）①，；②如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；（2）30°，30°或70°和110°【解析】【分析】（1）①利用平行线的性质即可判断；②根据平行线的性质解决问题即可；（2）设两个角分别为x和2x-30°，由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，解方程即可解决问题．【详解】解：（1）①如图1∵∴如图2，故答案为：，②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（2）设两个角分别为x和2x-30°，由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，解得x=30°或x=70°，这两个角的度数为30°，30°或70°和110°【点睛】本题考查平行线的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．11．（2022·吉林农安·七年级期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．【解析】【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）先证明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的结论即可求解．【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，过点P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如图，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；(3)设PD交AN于O，如图，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB，∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°，即∠AND=45°．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．12．（2021·全国·七年级专题练习）问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得______．问题迁移：如图3，，点在射线上运动，，．（1）当点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出、、之间有何数量关系．【答案】问题情境：；问题迁移：（1）；理由见解析；（2）当点在、两点之间时，；当点在射线上时，.【解析】【分析】问题情境：理由平行于同一条直线的两条直线平行得到PE∥AB∥CD，通过平行线性质来求∠APC；（1）过点P作，得到理由平行线的性质得到，，即可得到；（2）分情况讨论当点P在B、O两点之间，以及点P在射线AM上时，两种情况，然后构造平行线，利用两直线平行内错角相等，通过推理即可得到答案．【详解】解：问题情境：∵AB∥CD，PE∥AB，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°；（1）；过点P作，又因为，所以，则，，所以；（2）情况1：如图所示，当点P在B、O两点之间时，过P作PE∥AD，交ON于E，∵AD∥BC，∴AD∥BC∥PE，∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β，情况2：如图所示，点P在射线AM上时，过P作PE∥AD，交ON于E，∵AD∥BC，∴AD∥BC∥PE，∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α【点睛】本题主要考查了借助辅助线构造平行线，利用平行线的性质进行推理，准确分析证明是解题的关键．13．（2021·福建·泉州五中七年级期末）如图1所示，MN//PQ，∠ABC与MN，PQ分别交于A、C两点（1）若∠MAB＝∠QCB＝20°，则B的度数为度．（2）在图1分别作∠NAB与∠PCB的平分线，且两条角平分线交于点F．①依题意在图1中补全图形；②若∠ABC＝n°，求∠AFC的度数（用含有n的代数式表示）；（3）如图2所示，直线AE，CD相交于D点，且满足∠BAM＝m∠MAE，∠BCP＝m∠DCP，试探究∠CDA与∠ABC的数量关系【答案】（1）40；（2）①见解析；②；（3）m∠CDA＋∠ABC＝180°【解析】【分析】（1）作MN、PQ的平行线HG，根据两直线平行，内错角相等即可解答；（2）①根据题意作图即可，②过F作，根据两直线平行，同旁内角互补和内错角相等即可解答；（3）延长AE交PQ于点G，设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，知∠BAM＝m∠MAE＝mx°，∠BCP＝m∠DCP＝my°，∠BCQ＝180°−my°，根据（1）中所得结论知∠ABC＝mx°＋180°−my°，即y°−x°＝，由MNPQ知∠MAE＝∠DGP＝x°，根据∠CDA＝∠DCP−∠DGC可得答案．【详解】解：（1）作，∵MN//PQ，∴，∴，∴；（2）①如图所示，②过点F作，∴，∴，∵，∴，∵∴，∴，∵，∴；（3）延长AE交PQ于点G，设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，则∠BAM＝m∠MAE＝mx°，∠BCP＝m∠DCP＝my°，∴∠BCQ＝180°−my°，由（1）知，∠ABC＝mx°＋180°−my°，∴y°−x°＝，∵MNPQ，∴∠MAE＝∠DGP＝x°，则∠CDA＝∠DCP−∠DGC＝y°−x°＝，即m∠CDA＋∠ABC＝180°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和判定等知识点．14．（2022·吉林长春·七年级期末）小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E作EF∥AB则有∠BEF＝∠B∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠FED＝∠D∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠