二次函数图像与性质专题复习

二次函数得图像与性质一、二次函数得基本形式1、二次函数基本形式：得性质：a得绝对值越大,抛物线得开口越小。得符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随得增大而增大；时，随得增大而减小;时,有最小值．向下轴时,随得增大而减小;时,随得增大而增大；时，有最大值.2、得性质:上加下减。得符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随得增大而增大;时，随得增大而减小；时,有最小值.向下轴时，随得增大而减小；时,随得增大而增大;时，有最大值.3、得性质：左加右减。得符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上Ｘ=h时，随得增大而增大；时,随得增大而减小；时，有最小值.向下Ｘ=ｈ时,随得增大而减小；时,随得增大而增大;时，有最大值.4、得性质：得符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时,随得增大而增大；时，随得增大而减小;时，有最小值。向下X=h时,随得增大而减小;时，随得增大而增大;时，有最大值。二、二次函数图象得平移1、平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标;⑵保持抛物线得形状不变,将其顶点平移到处，具体平移方法如下:2、平移规律在原有函数得基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减"。方法二：⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成(或）⑵沿轴平移:向左（右)平移个单位,变成（或)三、二次函数与得比较从解析式上瞧，与就是两种不同得表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中。四、二次函数图象得画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图、一般我们选取得五点为：顶点、与轴得交点、以及关于对称轴对称得点、与轴得交点,（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称得点)、画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴，顶点，与轴得交点，与轴得交点、五、二次函数得性质1、当时，抛物线开口向上，对称轴为,顶点坐标为.当时，随得增大而减小；当时,随得增大而增大;当时,有最小值.2、当时，抛物线开口向下，对称轴为,顶点坐标为。当时，随得增大而增大;当时,随得增大而减小;当时，有最大值.六、二次函数解析式得表示方法1、一般式：（,,为常数,）；2、顶点式：（,，为常数,）;３、两根式:（,,就是抛物线与轴两交点得横坐标)、注意:任何二次函数得解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有得二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线得解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式得这三种形式可以互化、七、二次函数得图象与各项系数之间得关系１、二次项系数二次函数中，作为二次项系数,显然。⑴当时,抛物线开口向上,得值越大，开口越小，反之得值越小,开口越大；⑵当时,抛物线开口向下,得值越小，开口越小,反之得值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口得大小与方向，得正负决定开口方向,得大小决定开口得大小．２、一次项系数在二次项系数确定得前提下,决定了抛物线得对称轴．⑴在得前提下,当时，，即抛物线得对称轴在轴左侧；当时,,即抛物线得对称轴就就是轴；当时,，即抛物线对称轴在轴得右侧。⑵在得前提下,结论刚好与上述相反，即当时,，即抛物线得对称轴在轴右侧;当时，,即抛物线得对称轴就就是轴；当时，,即抛物线对称轴在轴得左侧。总结起来,在确定得前提下,决定了抛物线对称轴得位置.得符号得判定:对称轴在轴左边则，在轴得右侧则,概括得说就就是“左同右异”总结：3、常数项⑴当时，抛物线与轴得交点在轴上方,即抛物线与轴交点得纵坐标为正；⑵当时，抛物线与轴得交点为坐标原点，即抛物线与轴交点得纵坐标为；⑶当时,抛物线与轴得交点在轴下方,即抛物线与轴交点得纵坐标为负。总结起来，决定了抛物线与轴交点得位置。总之，只要都确定，那么这条抛物线就就是唯一确定得.二次函数解析式得确定:根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。用待定系数法求二次函数得解析式必须根据题目得特点,选择适当得形式，才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况：１、已知抛物线上三点得坐标，一般选用一般式;2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；3、已知抛物线与轴得两个交点得横坐标，一般选用两根式;4、已知抛物线上纵坐标相同得两点,常选用顶点式。八、二次函数图象得对称二次函数图象得对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1、关于轴对称关于轴对称后，得到得解析式就是；关于轴对称后，得到得解析式就是；2、关于轴对称关于轴对称后,得到得解析式就是;关于轴对称后，得到得解析式就是;３、关于原点对称关于原点对称后，得到得解析式就是；关于原点对称后，得到得解析式就是;４、关于顶点对称（即:抛物线绕顶点旋转18０°)关于顶点对称后,得到得解析式就是；关于顶点对称后,得到得解析式就是。5、关于点对称关于点对称后，得到得解析式就是根据对称得性质，显然无论作何种对称变换,抛物线得形状一定不会发生变化，因此永远不变。求抛物线得对称抛物线得表达式时，可以依据题意或方便运算得原则，选择合适得形式，习惯上就是先确定原抛物线(或表达式已知得抛物线)得顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线得顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线得表达式．二次函数图像参考:十一、【例题精讲】一、一元二次函数得图象得画法【例1】求作函数得图象【例２】求作函数得图像。分析:画二次函数图象步骤：（1）配方;（2）列表;（3)描点成图;也可利用图象得对称性，先画出函数得左(右）边部分图象,再利用对称性描出右(左)部分就可。二、一元二次函数性质【例３】求函数得最小值及图象得对称轴与顶点坐标，并求它得单调区间。【例4】求函数图象得顶点坐标、对称轴、最值。【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时,方法有两个:配方法;如例3公式法:适用于不容易配方题目（二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错。任何一个函数都可配方成如下形式:【二次函数题型总结】１、关于二次函数得概念例１如果函数就是二次函数,那么ｍ得值为。例2抛物线得开口方向就是；对称轴就是;顶点为。-1-1OX=1YX2、关于二次函数得性质及图象例3函数得图象如图所示，则a、b、c,，，得符号为，例4已知a－b+ｃ＝09ａ＋3b+c=０，则二次函数y＝ax2＋bｘ+ｃ得图像得顶点可能在（）第一或第二象限(B)第三或第四象限(C)第一或第四象限(D）第二或第三象限3、确定二次函数得解析式3o3o-13yx(Ａ）（B)(C)(Ｄ）4、一次函数图像与二次函数图像综合考查例6已知一次函数ｙ=ａx＋ｃ二次函数y=ax2+ｂｘ+c(a≠０)，它们在同一坐标系中得大致图象就是()、例７如图:△ABC就是边长为４得等边三角形,AＢ在X轴上,点C在第一象限，AC与Ｙ轴交于点D，点A得坐标为（-1，0）（１)求Ｂ、C、D三点得坐标；（2）抛物线经过B、C、D三点,求它得解析式；【练习题】一、选择题1、二次函数得顶点坐标就是（）Ａ、(２,—11）B、(－２,7)C、(２,11）D、(２,-3)2、把抛物线向上平移1个单位，得到得抛物线就是(）A、Ｂ、Ｃ、D、3、函数与在同一直角坐标系中图象可能就是图中得()4、已知二次函数得图象如图所示,则下列结论：①a,ｂ同号；②当与时，函数值相等；③④当时,得值只能取0、其中正确得个数就是（)A、1个B、２个Ｃ、3个D、4个5、已知二次函数得顶点坐标(－1，—3、２）及部分图象（如图)，由图象可知关于得一元二次方程得两个根分别就是()A.－１、3B、-2、3C、—0、３D、－3、３6、已知二次函数得图象如图所示，则点在()A。第一象限Ｂ.第二象限C。第三象限D。第四象限７、方程得正根得个数为（)A、0个B、１个C、2个、3个8、已知抛物线过点A(2,0），Ｂ（-1,0）,与轴交于点C，且OC=２、则这条抛物线得解析式为A、Ｂ、C、或Ｄ、或二、填空题９．二次函数得对称轴就是,则＿＿_＿___。１0。已知抛物线ｙ=-2(x＋3）²+5，如果y随x得增大而减小,那么ｘ得取值范围就是＿_＿____、11。一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2）,②当<0时,函数值随自变量得增大而增大；满足上述两条性质得函数得解析式就是（只写一个即可)。12．抛物线得顶点为C，已知直线过点Ｃ,则这条直线与两坐标轴所围成得三角形面积为.13、二次函数得图象就是由得图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到得，则b＝,c=。１4．如图，一桥拱呈抛物线状，桥得最大高度就是16米，跨度就是４0米，在线段AB上离中心M处５米得地方，桥得高度就是(π取3、14)、三、解答题：1５、已知二次函数图象得对称轴就是，图象经过（１,—6），且与轴得交点为(0，)、（1）求这个二次函数得解析式；（２)当x为何值时，这个函数得函数值为0?（3)当x在什么范围内变化时，这个函数得函数值随x得增大而增大?第15题图第15题图16、某种爆竹点燃后,其上升高度h(米）与时间t