备战2024年高考数学一轮复习1.3复数(精练)(原卷版+解析)

1.3复数（精练）（提升版）题组一复数的基本知识1．（2022·内蒙古赤峰）若复数z满足，则（

题组一复数的基本知识A．B．是纯虚数C．复数z在复平面内对应的点在第三象限D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则2．（2022·广东·二模）(多选）已知复数z的共轭复数是，，i是虚数单位，则下列结论正确的是（

）A． B．的虚部是0C． D．在复平面内对应的点在第四象限3．（2022·山东潍坊·二模）（多选）若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若是纯虚数，那么D．若在复平面内对应的向量分别为（为坐标原点），则4．（2022·广东茂名·二模）（多选）已知复数，，若为实数，则下列说法中正确的有（

）A． B．C．为纯虚数 D．对应的点位于第三象限5（2022·湖南湘潭·三模）（多选）已知复数，，则（

）A． B．C． D．在复平面内对应的点位于第二象限6．（2022·广东佛山·二模）（多选）关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（）A． B．在复平面上对应的点位于第二象限C． D．7．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）（多选）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（

）A． B．复数的共轭复数是 C． D．的虚部为8．（2022·内蒙古赤峰·三模）若复数满足，则（

）A．B．是纯虚数C．复数在复平面内对应的点在第二象限D．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则题组二题组二复数的模长1．（2022·全国·高三专题练习）已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知是虚数单位，复数的共轭复数为，下列说法正确的是（

）A．如果，则，互为共轭复数B．如果复数，满足，则C．如果，则D．4．（2022·全国·高三专题练习）已知、，且，（是虚数单位），则的最小值为（

）A．4 B．3 C．2 D．15．（2022·全国·高三专题练习）若存在复数同时满足，，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论不正确的是（

）A．点的坐标为 B．C．的最大值为 D．的最小值为7（2022·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．8．（2022·全国·高三专题练习）已知复数和满足，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．9．（2022·全国·高三专题练习）若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．10．（2022·全国·高三专题练习）已知复数满足：，那么的最小值为（

）A． B． C． D．题组三题组三复数的几何意义1．（2022·全国·江西师大附中）已知复数，则z在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2022·陕西汉中·二模（文））已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（

）.A． B．C． D．3．（2022·贵州）复数（其中为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2022·湖南·一模）已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题组四题组四复数与其他知识的综合运用1．（2022·全国·高三专题练习）设n是偶数，，a､b分别表示的展开式中系数大于0与小于0的项的个数，那么（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数z满足，且z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．23．（2022·全国·高三专题练习）若，为复数，则“是实数”是“，互为共轭复数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知（，为虚数单位)，又数列满足：当时，；当时，为的虚部．若数列的前项和为，则（

）．A． B．C． D．5．（2022·全国·高三专题练习）设复数(为虚数单位)，若对任意实数，，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数中占有非常重要的地位，它被誉为“数学中的天桥”，当时，eπi＋1＝0被称为数学上的“优美公式”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（

）A．|eix|＝1 B．cosx＝C．cosx＝ D．e2i在复平面内对应的点位于第二象限7．（2022·全国·高三专题练习）设复数，则______.8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知的二项展开式中的常数项的值是，若(其中是虚数单位)，则复数的模___________.(结果用数值表示)9．（2022·全国·高三专题练习）已知，函数为偶函数，则＝________.10．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数，（，为虚数单位），在复平面上，设复数、对应的点分别为、，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期为________.题组五题组五解复数的方程1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））下列关于复数的命题中（其中为虚数单位），说法正确的是（

）A．若复数，的模相等，则，是共轭复数B．已知复数，，，若，则C．若关于x的方程（）有实根，则D．是关于x的方程的一个根，其中为实数，则2．（2022·全国·高三专题练习）已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________3．（2022·全国·高三专题练习）实系数一元二次方程的一根为（其中为虚数单位），则______．4．（2022·上海徐汇·二模）若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则____．题组六题组六复数的综合运用1．（2022·重庆南开中学模拟预测）（多选）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）（多选）已知复数（且），是z的共轭复数，则下列命题中的真命题是（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即（）.根据欧拉公式，下列说法正确的是（

）A．对任意的，B．在复平面内对应的点在第二象限C．的实部为D．与互为共轭复数4．（2022·江苏·南京大学附属中学高三阶段练习）（多选）下列命题中正确的有（

）A．若复数满足，则； B．若复数满足，则；C．若复数满足，则； D．若复数，则．5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）在下列命题中，正确命题的个数为（

）A．两个复数不能比较大小；B．若是纯虚数，则实数；C．的一个充要条件是；D．的充要条件是.6（2022·全国·高三专题练习（文））（多选）设，，为复数，.下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知复数，是的共轭复数，则（

）A． B．C．复数在复平面内所对应的点在第一象限 D．8．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若互为共轭复数，则为实数B．若为虚数单位，为正整数，则C．复数（为虚数单位，为实数）为纯虚数，则D．若为实数，为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件9．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列结论正确的是（

）A．若复数满足，则为纯虚数B．若复数，满足，则C．若复数满足，则D．若复数满足，则10．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z满足，下列结论正确的是（

）A．点的坐标为B．复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．与z对应的点z间的距离有最小值1.3复数（精练）（提升版）题组一复数的基本知识1．（2022·内蒙古赤峰）若复数z满足，则（

题组一复数的基本知识A．B．是纯虚数C．复数z在复平面内对应的点在第三象限D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则【答案】D【解析】，则，对于A，，故A错误，对于B，，不是纯虚数，故B错误，对于C，复数z在复平面内对应的点在第一象限，故C错误，对于D，点在角α的终边上，则，故D正确故选：D2．（2022·广东·二模）(多选）已知复数z的共轭复数是，，i是虚数单位，则下列结论正确的是（

）A． B．的虚部是0C． D．在复平面内对应的点在第四象限【答案】BC【解析】由题意，，，A错；，虚部是0；B正确；C正确，对应点为，在第一象限，D错；故选：BC．3．（2022·山东潍坊·二模）（多选）若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若是纯虚数，那么D．若在复平面内对应的向量分别为（为坐标原点），则【答案】BCD【解析】对于A，，A错误；对于B，，；又，，B正确；对于C，为纯虚数，，解得：，C正确；对于D，由题意得：，，，，D正确.故选：BCD.4．（2022·广东茂名·二模）（多选）已知复数，，若为实数，则下列说法中正确的有（

）A． B．C．为纯虚数 D．对应的点位于第三象限【答案】AC【解析】因为为实数，所以，解得，所以，，所以，故A正确，，故B错误，因为，所以，故C正确，因为，所以，其对应的点在第四象限，故D错误．故选:AC．5（2022·湖南湘潭·三模）（多选）已知复数，，则（

）A． B．C． D．在复平面内对应的点位于第二象限【答案】BC【解析】由题可知，，A不正确；，B正确；，C正确；对应的点在第四象限，D不正确.故选：BC.6．（2022·广东佛山·二模）（多选）关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（）A． B．在复平面上对应的点位于第二象限C． D．【答案】ACD【解析】所以故A正确，则在复平面上对应的点为位于第三象限故B错误故C正确故D正确故选：ACD7．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）（多选）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（

）A． B．复数的共轭复数是 C． D．的虚部为【答案】D【解析】因为复数在复平面内对应的点的坐标为，所以，，，虚部为.故ABC错误，D正确.故选：D8．（2022·内蒙古赤峰·三模）若复数满足，则（

）A．B．是纯虚数C．复数在复平面内对应的点在第二象限D．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则【答案】D【解析】由题设，且对应点在第一象限，A、C错误；不是纯虚数，B错误；由在复平面内对应的点为，所以，D正确.故选：D题组二题组二复数的模长1．（2022·全国·高三专题练习）已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为在复平面内对应的点在第四象限，所以，解得，，因为，所以，则，所以复数z的模的取值范围是.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】点到点与到点的距离之和为2．点的轨迹为线段．而表示为点到点的距离．数形结合，得最小距离为1所以|z＋i＋1|min＝1.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）已知是虚数单位，复数的共轭复数为，下列说法正确的是（

）A．如果，则，互为共轭复数B．如果复数，满足，则C．如果，则D．【答案】D【解析】对于A，设，，，但，不互为共轭复数，故错误；对于B，设（，），（，）．由，得，则，而不一定等于，故错误；对于C，当时，有，故错误；对于D，设，，则，正确故选：4．（2022·全国·高三专题练习）已知、，且，（是虚数单位），则的最小值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】设复数，对应的点为，，即，，点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，设复数，对应的点为，，即，化简可得，点的轨迹是一条直线，表示点与点的距离，即圆上的一点到直线的距离，圆与直线相离，圆心到直线的距离，故的最小值为，故选：C.5．（2022·全国·高三专题练习）若存在复数同时满足，，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可设，则有，又因为，即，所以，可设，，（为任意角），则，当时取到最大值；当时取到最小值，所以实数的取值范围是.故选：C6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论不正确的是（

）A．点的坐标为 B．C．的最大值为 D．的最小值为【答案】D【解析】A：因为复数为虚数单位在复平面内对应的点为，所以点的坐标为，因此本选项结论正确；B：因为，所以，因此本选项结论正确；C，D：设，在复平面内对应的点为，设因为，所以点到点的距离为1，因此点是在以为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点到点距离，因此，，所以选项C的结论正确，选项D的结论不正确，故选：D7（2022·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，由题意知，则复数对应点的轨迹方程为.故选：C．8．（2022·全国·高三专题练习）已知复数和满足，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则表示点到点的距离是到点距离的倍.则，化简得：，即复数在复平面对应得点为以为圆心，5为半径的圆上的点.设，因为，所以点和点距离为3，所以复数在复平面对应得点为以为圆心，2为半径的圆即以为圆心，8为半径的圆上构成的扇环内（含边界），如图所示：表示点和原点的距离，由图可知的最小为0，最大为.故选：A.9．（2022·全国·高三专题练习）若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下示意图：所以，故选：D.10．（2022·全国·高三专题练习）已知复数满足：，那么的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】表示的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆；表示的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆；，表示的轨迹是直线，如图所示：表示直线上的点到圆和圆上的点的距离，先作出点关于直线的对称点，连接,与直线交于点.的最小值为.故选：A题组三题组三复数的几何意义1．（2022·全国·江西师大附中）已知复数，则z在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由，所以z在复平面内对应点为，位于第二象限，故选：B2．（2022·陕西汉中·二模（文））已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，解得．故选：A．3．（2022·贵州）复数（其中为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】复数所以对应点为，即在复平面的第二象限内.故选：B4．（2022·湖南·一模）已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】复数，则所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第一象限.故选：A题组四题组四复数与其他知识的综合运用1．（2022·全国·高三专题练习）设n是偶数，，a､b分别表示的展开式中系数大于0与小于0的项的个数，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】展开通项公式通项公式为，因此当为偶数时，项的系数为实数，其项，又，，是偶数，所以正的项有，负的项有项．即，，所以．故选：B．2．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数z满足，且z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由，得，因为z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，所以，即，设，解得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）若，为复数，则“是实数”是“，互为共轭复数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，不妨设若是实数，则故，即，由于不一定相等，故，不一定互为共轭复数，故充分性不成立；若，互为共轭复数，则，故，故必要性成立.因此“是实数”是“，互为共轭复数”的必要不充分条件.故选：B4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知（，为虚数单位)，又数列满足：当时，；当时，为的虚部．若数列的前项和为，则（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】的通项公式：，，依题意得：时，，时，，．故选：．5．（2022·全国·高三专题练习）设复数(为虚数单位)，若对任意实数，，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：由，得，由复数模的几何意义知，表示复平面上的点与点间的距离，而点在单位圆上，要使恒成立，则点必在圆上或其内部，故，解得.故选：D.6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数中占有非常重要的地位，它被誉为“数学中的天桥”，当时，eπi＋1＝0被称为数学上的“优美公式”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（

）A．|eix|＝1 B．cosx＝C．cosx＝ D．e2i在复平面内对应的点位于第二象限【答案】ABD【解析】因为eix＝cosx＋isinx，所以|eix|＝，故A正确；因为eix＝cosx＋isinx，所以，则cosx＝，故B正确C错误；因为，，所以e2i在复平面内对应的点位于第二象限，故D正确.故选：ABD7．（2022·全国·高三专题练习）设复数，则______.【答案】15【解析】，所以.故答案为：.8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知的二项展开式中的常数项的值是，若(其中是虚数单位)，则复数的模___________.(结果用数值表示)【答案】【解析】的二项展开式的通项为：令，得，可得常数项为，则复数的模故答案为：59．（2022·全国·高三专题练习）已知，函数为偶函数，则＝________.【答案】【解析】由于为偶函数，所以，即，，所以.设，则故答案为：10．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数，（，为虚数单位），在复平面上，设复数、对应的点分别为、，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期为________.【答案】【解析】，，则函数的最小正周期为故答案为题组五题组五解复数的方程1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））下列关于复数的命题中（其中为虚数单位），说法正确的是（

）A．若复数，的模相等，则，是共轭复数B．已知复数，，，若，则C．若关于x的方程（）有实根，则D．是关于x的方程的一个根，其中为实数，则【答案】D【解析】若，，则，故A错误；若，满足，故B错误；若关于x的方程（）有实根，，因为，所以，所以，故C错误；将代入方程，得，即，所以，得，故D正确.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________【答案】【解析】不妨设，，因为是实系数一元二次方程的一个虚数根，所以也是的一个虚数根，从而

①，又因为无实根，所以

②，由①②可得，，因为，所以，由一元二次函数性质易知，当时，有最小值5；当时，；当时，，故当时，，即，故向量的取值范围为：.故答案为：.3．（2022·全国·高三专题练习）实系数一元二次方程的一根为（其中为虚数单位），则______．【答案】1【解析】因为实系数一元二次方程的一根为，所以根据虚根成对定理可得，实系数一元二次方程的另一共轭虚根为，所以根据韦达定理得，，所以，，所以.故答案为：.4．（2022·上海徐汇·二模）若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则____．【答案】【解析】因为为实系数一元二次方程的一根，所以也为方程的根，所以，解得，所以；故答案为：题组六题组六复数的综合运用1．（2022·重庆南开中学模拟预测）（多选）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABC【解析】对于A：若，则，故，所以A正确；对于B：若，则，所以B正确；对于C：设，则，故，所以C正确；对于D：如下图所示，若，，则，，故，所以D错误.故选：ABC2．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）（多选）已知复数（且），是z的共轭复数，则下列命题中的真命题是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】对于A选项，，，所以，故正确；对于B选项，，，，故错误；对于C选项，，，，故正确；对于D选项，，，，所以当时，，当时，，故错误.故选：AC3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即（）.根据欧拉公式，下列说法正确的是（

）A．对任意的，B．在复平面内对应的点在第二象限C．的实部为D．与互为共轭复数【答案】ABD【解析】对于A选项，，A正确；对于B选项，，而，，故在复平面内对应的点在第二象限，B正确；对于C选项，，实部为，C错误；对于D选项，，又，故与互为共轭复数，D正确.故选：ABD.4．（2022·江苏·南京大学附属中学高三阶段练习）（多选）下列命题中正确的有（

）A．若复数满足，则； B．若复数满足，则；C．若复数满足，则； D．若复数，则．【答案】AD【解析】对于A中，设复数，可得，因为，可得，所以，所以A正确；对于B中，取，可得，所以B不正确；对于C中，例如：，则，此时，所以C不正确；对于D中，设，由，可得，即，可得，所以D正确.故选：AD5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）在下列命题中，正确命题的个数为（

）A．两个复数不能比较大小；B．若是纯虚数，则实数；C．的一个充要条件是；D．的充要条件是.【答案】CD【解析】对于