备战2024年高考数学一轮复习7.2空间几何的体积与表面积(精讲)(原卷版+解析)

7.2空间几何的体积与表面积（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一柱锥台表面积【例1-1】（2022·青海）以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周，所得圆柱的侧面积为（

）A． B． C．32 D．16【例1-2】（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆锥的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为(

)A． B． C． D．3【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（

）A． B． C． D．2．（2022·福建三明·模拟预测）如图所示的建筑物是号称“神州第一圆楼”的福建土楼——二宜楼，其外形是圆柱形，圆楼直径为73.4m，忽略二宜楼顶部的屋檐，若二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m，高为10m的圆锥的侧面积的，则二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为（

）A．16m B．17m C．18m D．19m3．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（

）A． B． C． D．考点二柱锥台的体积【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【例2-2】（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（

）A．23 B．24 C．26 D．27【例2-3】（2022·湖北·高三阶段练习）已知四面体中，，则体积的最大值为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·江苏）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（

）A． B． C． D．2．（2022·广西桂林）一个三棱锥S-ABC的侧棱上各有一个小洞D，E，F，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=3：1，则这个容器最多可盛放原来容器的（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点，满足面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．考点三球的体积与表面积【例3】（2022·甘肃省武威第一中学）如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·全国·赣州市第三中学）已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为，其外接球的体积为，那么这个三棱锥的表面积为（

）A． B． C． D．2．（2022·天津·耀华中学二模）一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（

）A． B． C． D．3．（2022·山东青岛·二模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．考点四空间几何的截面【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为2，侧面积为，则过顶点的截面面积的最大值等于（

）A． B． C．3 D．2【例4-2】．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）（多选）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（

）A．球与圆柱的表面积之比为B．平面DEF截得球的截面面积最小值为C．四面体CDEF的体积的取值范围为D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为【一隅三反】1．（2022·江西鹰潭·二模）《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一."该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.现有一圆锥底面周长为，侧面面积为，其体积的近似公式为，用此π的近似取值（用分数表示）计算过该圆锥顶点的截面面积的最大值为（

）A．15 B． C． D．82．（2022·河南·方城第一高级中学）某中学开展劳动实习，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，要求切割面经过圆台的两条母线且使得切割面的面积最大.若圆台的高为，则切割面的面积为______；若圆台的高为，则切割面的面积为______.3．（2022·青海·海东市第一中学）已知圆锥的底面直径为，过一母线的截面是面积的等边三角形，则该圆锥的体积为________．7.2空间几何的体积与表面积（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一柱锥台表面积【例1-1】（2022·青海）以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周，所得圆柱的侧面积为（

）A． B． C．32 D．16【答案】A【解析】以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径，高，故其侧面积．故选：A【例1-2】（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆锥的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为(

)A． B． C． D．3【答案】A【解析】如图，，，，则，设，，则，，则，∴圆柱侧面积为：，当时取等号．故选：A．【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为，所以顶点到底面圆圆心的距离为：，所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为，所以.故选：A.2．（2022·福建三明·模拟预测）如图所示的建筑物是号称“神州第一圆楼”的福建土楼——二宜楼，其外形是圆柱形，圆楼直径为73.4m，忽略二宜楼顶部的屋檐，若二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m，高为10m的圆锥的侧面积的，则二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为（

）A．16m B．17m C．18m D．19m【答案】A【解析】底面直径为40m，高为10m的圆锥的母线长为，所以该圆锥的侧面积为，设二宜楼外层圆柱墙面的高度为，则由，解得因为二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m，高为10m的圆锥的侧面积的，所以二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为，故选：A3．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得圆锥体的母线长为，所以圆锥体的侧面积为，圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，所以此陀螺的表面积为（），故选：C考点二柱锥台的体积【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：因为是边长为的正三角形，所以外接圆的半径，所以点到平面的距离，为球的直径，点到平面的距离为，此棱锥的体积为，故选：A．【例2-2】（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（

）A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【解析】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，因为，所以，因为重叠后的底面为正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，则,由可得平面，设重叠后的EG与交点为则则该几何体的体积为.故选：D.【例2-3】（2022·湖北·高三阶段练习）已知四面体中，，则体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设M为CD的中点，连接AM,BM,设四面体A-BCD的高为h，则,由于，故,则,设，则,所以，当且仅当平面ACD与平面BCD垂直且即时取等号，故选：C【一隅三反】1．（2022·江苏）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C.2．（2022·广西桂林）一个三棱锥S-ABC的侧棱上各有一个小洞D，E，F，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=3：1，则这个容器最多可盛放原来容器的（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，这个容器最多可盛放原来容器的比例为，设到平面的距离为，则.又，故故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点，满足面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取中点为,过作,且,因为平面ABC,所以平面.由于,故,进而可知,所以是球心,为球的半径.由,又,当且仅当,等号成立,故此时,所以球半径,故,体积最小值为故选:C4．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵球的体积为，所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.考点三球的体积与表面积【例3】（2022·甘肃省武威第一中学）如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图.设圆柱底面半径为，球的半径与圆柱底面夹角为，则，，圆柱的高，圆柱的侧面积为，当且仅当时，，圆柱的侧面积最大，为，球的表面积与圆柱的表面积之差为.故选：D．【一隅三反】1．（2022·全国·赣州市第三中学）已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为，其外接球的体积为，那么这个三棱锥的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，点在底面内的射影点为等边的中心，取线段的中点，连接，则，易知三棱锥的外接球球心在线段上，设正三棱锥的外接球半径为，则，解得，设正三棱锥的内切球的半径为，则，故，平面，平面，，易知，则，所以，，故，所以，，由勾股定理可得，所以，正三棱锥是边长为的正四面体，因此，正三棱锥的表面积为.故选：B.2．（2022·天津·耀华中学二模）一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，其轴截面如图所示，设为内切球球心，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，得，即，所以，所以，因为∽，所以,所以，得，所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为，故选：A3．（2022·山东青岛·二模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】连接,交于点,取的中点，则平面,,取的中点,连接,作,垂足为，如图所示由题意可知，，所以,所以,,所以,又,所以，即这个几何体的外接球的球心为，半径为，所以这个几何体的外接球的体积为.故选：B.考点四空间几何的截面【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为2，侧面积为，则过顶点的截面面积的最大值等于（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【解析】由圆锥的母线长为2，侧面积为，假设底面圆周长为，因此，故底面圆周长为，底面圆的半径为.由于轴截面为腰长为2，底边长为底面圆直径的等腰三角形，因此轴截面的顶角是.故当截面为顶角是的等腰三角形时面积最大，此时.故选：D【例4-2】．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）（多选）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（

）A．球与圆柱的表面积之比为B．平面DEF截得球的截面面积最小值为C．四面体CDEF的体积的取值范围为D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为【答案】BCD【解析】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则球表面积为，圆柱的表面积，所以球与圆柱的表面积之比为，故A错误；过作于，则由题可得，设到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为，则，，所以平面DEF截得球的截面面积最小值为，故B正确；由题可知四面体CDEF的体积等于，点到平面的距离，又，所以，故C正确；由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，则，设，则，，所以，所以，故D正确.故选：BCD.【一隅三反】1．（2022·江西鹰潭·二模）《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一."该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.