2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)单元质检卷6　数列

单元质检卷六数列(时间:100分钟满分:130分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.已知{an}为等差数列,首项a1=2,公差d=3,若an+an+2=28,则n=()A.1 B.2 C.3 D.42.已知等比数列{an}的各项均为正数,若log2a3+log2a9=4,则log2a6=()A.±1 B.±2C.2 D.43.在数列{an}中,a1=2,an+1=11-an,则a2021A.-2 B.-1C.2 D.14.已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,有下列四个命题:甲:a18=0;乙:S35=0;丙:a17-a19=0;丁:S19-S16=0.如果只有一个是假命题,则该命题是()A.甲 B.乙C.丙 D.丁5.设{an}是等比数列,前n项和为Sn,若S2S2+S4A.15 B.1C.13 D.6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=an+1-3,若Sk≥125,k∈N*,则k的最小值为()A.5 B.6C.7 D.87.已知数列{an}的首项为14,数列{bn}为等比数列,且bn=an+1an,若b1b20=2,则aA.64 B.128 C.256 D.5128.在等差数列{an}和等比数列{bn}中,有a1=b1=t>0,且a2n+1=b2n+1,则下列关系式中正确的是()A.an+1<bn+1 B.an+1≥bn+1C.an+1=bn+1 D.an+1>bn+19.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=4n2+n.若数列{bn}满足bn=an+34,则1b1b2+A.5052020 C.2019210.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,…,该数列的特点是前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论错误的是()A.S8=54B.a1+a3+a5+a7+…+a2019=a2020C.a2+a4+a6+a8+…+a2020=a2021D.S2020+S2019-S2018-S2017=a202211.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?”在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为()A.35 B.75C.155 D.31512.已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(-3)n+1,bn=2,n为偶数,1,n为奇数,A.a3-a1=8B.a4-a2=18C.{a2n+2-a2n}是等差数列D.{a2n+1-a2n-1}是等比数列二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.各项均为正数的等比数列{an},其公比q≠1,且a3a7=4,请写出一个符合条件的通项公式an=.

14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2an=n,则an=.

15.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢,各穿几何?”大意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍,小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和,则S3=.

16.已知数列{an}满足a1=2,an+1=2(n+2)n+1an三、解答题:共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积.已知2Sn+(1)证明:数列{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.18.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=a(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;(2)求{an}的前20项和.19.(12分)数列{an}满足an+1=an,a1=12,n∈N(1)证明:0<an(2)若数列{bn}满足bn=an+1an−anan+1,设数列{20.(14分)已知公比q>1的等比数列{an}和等差数列{bn}满足:a1=2,b1=1,a2=b4,且a2是b2和b8的等比中项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,若当n∈N*时,等式(-1)nλ-Tn<0恒成立,求实数λ的取值范围.答案：单元质检卷六数列1.D因为{an}为等差数列,a1=2,公差d=3,所以an=2+3(n-1)=3n-1,an+an+2=3n-1+3n+5=28,解得n=4.故选D.2.C由题意得a3>0,a6>0,a9>0,a3a9=a6所以log2a3+log2a9=log2(a3a9)=log2a62=2log2a6=4,则log2a6=3.B由a1=2,an+1=11-an知,a2=-1,a3=12,a4=2,a∴{an}是周期为3的周期数列,而2021=3×673+2,∴a2021=a2=-1.4.C设等差数列{an}的公差为d,若S35=0,则S35=35(a1+a35)若a17-a19=0,所以-2d=0,即d=0;若S19-S16=a17+a18+a19=0,所以a18=0.又因为只有一个是假命题,所以丙是假命题.5.B设等比数列{an}的公比为q,由S2S2+S4=15,可得S4=4S2,整理得a3所以(a1+a2)q2=3(a1+a2),解得q2=3,所以a6.BS1=a1=1,Sn=an+1-3=Sn+1-Sn-3,则Sn+1+3=2(Sn+3),S1+3=4,所以{Sn+3}是等比数列,首项为4,公比为2,所以Sn+3=4×2n-1=2n+1,Sn=2n+1-3,由Sk=2k+1-3≥125,得k≥6.所以k的最小值为6.7.C由bn=an+1an,得an+1=anbn,所以a2=14b1,a3=a2b2=14b1b2,a4=14b1b2b3,…,a21=14b1b2b3…b20=14(b18.B设等比数列的公比为q,则b2n+1=b1q2n=tq2n>0,故a2n+1>0,因为{an}为等差数列,故a1+a2n+1=2an+1=t+a2n+1,因为{bn}为等比数列,故b1b2n+1=bn+12,故b1b结合题设条件有ta2n+1=|bn+1|,由基本不等式可得t+a2n+1≥2ta2n+1=2|bn+1|,当且仅当故2an+1≥2|bn+1|,而|bn+1|≥bn+1,故an+1≥bn+1,故选B.9.DSn=4n2+n,当n≥2时,Sn-1=4(n-1)2+n-1=4n2-7n+3,则an=Sn-Sn-1=8n-3(n≥2),当n=1时,a1=S1=5,适合上式,所以an=8n-3,所以bn=an+34=故1bn1b1b2+1b2b3+…+1b2020b202110.C斐波那契数列满足递推关系an+2=an+1+an(n∈N*),对于选项A,斐波那契数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21,∴S8=1+1+2+3+5+8+13+21=54,A正确;对于选项B,a1=a2,a3=a4-a2,a5=a6-a4,…,a2019=a2020-a2018,各式相加得a1+a3+a5+a7+…+a2019=a2020,B正确;对于选项C,a2=a3-a1,a4=a5-a3,a6=a7-a5,…,a2020=a2021-a2019,各式相加得a2+a4+a6+a8+…+a2020=a2021-a1=a2021-1,C错误;对于选项D,S2020+S2019-S2018-S2017=(S2020-S2018)+(S2019-S2017)=(a2020+a2019)+(a2019+a2018)=a2021+a2020=a2022,D正确.故选C.11.C由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,所以a1=5,q=2,因此前5天所屠肉的总两数为a1(1-q512.D因为数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(-3)n+1,令n=1,得b2a1+b1a2=(-3)1+1=-2,又因为a1=2,b1=1,b2=2,所以a2=-6,令n=2,得b3a2+b2a3=(-3)2+1=10,又因为a2=-6,b3=1,b2=2,所以a3=8,所以a3-a1=6,故A错误;令n=3,得b4a3+b3a4=(-3)3+1=-26,又因为a3=8,b3=1,b4=2,所以a4=-42,所以a4-a2=-42+6=-36,故B错误;由已知得b2n+1a2n+b2na2n+1=(-3)2n+1,b2n=2,b2n+1=1,所以a2n+2a2n+1=32n+1;b2na2n-1+b2n-1a2n=(-3)2n-1+1,b2n-1=1,b2n=2,所以2a2n-1+a2n=-32n-1+1,两式相减得a2n+1-a2n-1=32n+32n-12=6所以{a2n+1-a2n-1}是以6为首项,9为公比的等比数列,故D正确;由a2n+1-a2n-1=6×9n-1得a2n-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+…+(a2n-1-a2n-3)=2+6×(1+9+92+…+9n-2)=2+6×1-9n由2a2n-1+a2n=254+34×9n-1+a2n=-32n-1+1,得a2n=-12×所以a2n+2-a2n=-12×9n+1-32--12×9n-32=-4所以a2n+4-a2n+2-(a2n+2-a2n)=-4×9n+1+4×9n不是常数,所以{a2n+2-a2n}不是等差数列,故C错误.13.2n-4(答案不唯一)因为a3a7=a52=4,an>0,所以a5=2,又q≠1,不妨令q=2,所以an=a1qn-1=a5qn-5=2×2n-5=2n-14.1-23n当n=1时,a1+2a1=1,则a1=13,当n≥2时,Sn+2an=n,Sn-1+2an-1=n-1,两式相减得3an-2an-1=1,即an=23an-1+1即an-1=23(an-1-1),所以数列{an-1}是首项为a1-1=-23,公比为23的等比数列,则an-1=-23所以an=1-23n.15.354由题意知,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,2为公比的等比数列,所以大老鼠前n天打洞长度之和为1-2n同理小老鼠前n天打洞长度之和为1-(12)所以Sn=2n-1+2-12n-1=2n所以S3=23-123-116.10111010由题意an+1an=2(n+2)n+1,∴当n≥2时,an=a1·a2a1·a3a2·…·anan-1=2×2×32×2×43·令S=a1+a2+…+a2020,则S=2×20+3×21+4×22+…+2021×22019,可得2S=2×21+3×22+…+2020×22019+2021×22020,∴-S=2+21+22+…+22019-2021×22020=2+2×(1-22019)1-2-2021×22∴a1+a2+…+a2020=S=2020×22020,因此a17.(1)证明当n=1时,b1=S1,易得b1=3当n≥2时,bnbn-1=Sn,代入2Sn+1bn=2消去Sn,得故{bn}是以32为首项,12(2)解易得a1=S1=b1=3由(1)可得bn=n+22,由2Sn+1b当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n+2n+1−n+1n=-故an=318.解(1)b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.由bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,得bn+1-bn=a2n+3-a2n=3.所以bn是首项为2,公差为3的等差数列所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.(2)由(1)知,数列an的奇数列与偶数列都是以3为公差的等差数列,设数列an的前n项和为Sn,则S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=10+10×92×3+20+10×92×19.证明(1)由题意可知,an+12−an2∵an+1=an,a1=12,n∈N∴an>0,两边同时取对数得lgan+1=12lgan∴数列{lgan}是以首项为lg12,公比为12∴lgan=lg12·12n-1,∴an=12∵an=12

∴an+12−an2=a综上所述,0<a(2)∵an∴1a由(1)知0<an+12−an2≤14,∴bn=(∴b1+b2+b3+…+bn≤141a12−1a22+1a22−1a32+1a32−∴Sn≤144-1an+12,又0<an+1<1,∴0∴Sn<320.解(1)设等差数列{bn}的公差为d,由题意得,b2b8=a2所以(1+3d)2=(1+d)(1+7d),整理可得d2-d=0,解得d=0或d=1.若d=0,则a2=b4=1,可得q=a2a1若d=1,则a2=b4=1+3d=4,可得q=a2a1=所以an=2×2n-