高考数学第一轮复习第六章　复数与平面向量讲义及试题

【标题】第六章复数与平面向量第一节复数1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.1.复数的有关概念（1）复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a，b分别是它的实部和虚部.当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；当b≠0时，a＋bi为虚数；当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数；（2）复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）；（3）共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d（a，b，c，d∈R）；（4）复数的模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝a22.复数的几何意义（1）复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）；（2）复数z＝a＋bi平面向量OZ提醒复数z＝a＋bi（a，b∈R）的对应点的坐标为（a，b），而不是（a，bi）.3.复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.（2）复数加法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；②结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.（3）复数乘法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数乘法满足以下运算律：①交换律：z1z2＝z2z1；②结合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3）；③乘法对加法的分配律：z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若a∈C，则a2≥0. （）（2）已知z＝a＋bi（a，b∈R），当a＝0时，复数z为纯虚数. （）（3）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的虚部为bi. （）（4）方程x2＋x＋1＝0没有解. （）答案：（1）×（2）×（3）×（4）×2.（2022·新高考Ⅱ卷）（2＋2i）（1－2i）＝ （）A.－2＋4iB.－2－4iC.6＋2i D.6－2i解析：D（2＋2i）（1－2i）＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故选D.3.在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是（）A.1－2i B.－1＋2iC.3＋4i D.－3－4i解析：D∵CA＝CB＋BA＝CB－AB＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.4.若a＋bi（a，b∈R）是1-i1+i的共轭复数，则a＋b＝解析：由1-i1+i＝(1-i)(1-i)(1+i)(1-i)＝－i，得a＋bi＝答案：15.已知（a－i）（1－2i）＝－3＋bi，a，b∈R，i是虚数单位，则a＋b＝；若复数z＝a＋bi，则z在复平面内对应的点位于第象限.

解析：由（a－i）（1－2i）＝－3＋bi，得a－2－（1＋2a）i＝－3＋bi，由复数相等的充要条件得a-2=-3,-(1+2a)=b,解得a=-1,b=1,所以a＋b＝答案：0二1.（1±i）2＝±2i，1+i1-i＝i，1-2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N*）.3.z·z＝｜z｜2＝｜z｜2，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，︱z1z2＝|z1||z2|，1.已知z＝1+i1-i，则｜z｜＝ A.22B.C.－2 D.1解析：D由结论3可知｜z｜＝|1+i||1-i|＝2.已知i为虚数单位，则1+i1-i2解析：由结论1可得1+i1-i＝i，又i2024＝i4×506，由结论2可知原式答案：1复数的有关概念1.（2022·全国乙卷）设（1＋2i）a＋b＝2i，其中a，b为实数，则 （）A.a＝1，b＝－1 B.a＝1，b＝1C.a＝－1，b＝1 D.a＝－1，b＝－1解析：A由题意知a＋b＋2ai＝2i，所以a+b=0,22.若复数z满足（1＋2i）z＝4＋3i，则z＝ （）A.－2＋i B.－2－iC.2＋i D.2－i解析：C由题意，得z＝4+3i1+2i＝(4+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)＝10-3.复数z＝（3＋i）（1－4i），则复数z的实部与虚部之和是.

解析：z＝（3＋i）（1－4i）＝7－11i，则z的实部为7，虚部为－11，故实部与虚部的和是7－11＝－4.答案：－44.如果复数m2+i1+mi是纯虚数，那么实数解析：m2+i1+mi＝(m2+i)(1-mi)答案：0或－1｜练后悟通｜解决复数概念问题的两个注意事项复数的四则运算1.（2022·全国甲卷）若z＝－1＋3i，则zzz-1＝A.－1＋3i B.－1－3iC.－13＋33i D.－13解析：Czzz-1＝-1+3i(-1+3i2.（2022·新高考Ⅰ卷）若i（1－z）＝1，则z＋z＝ （）A.－2 B.－1C.1 D.2解析：D因为i（1－z）＝1，所以z＝1－1i＝1＋i，所以z＝1－i，所以z＋z＝（1＋i）＋（1－i）＝2.故选D3.（多选）若复数z满足z-iz+1＝i，则A.z＝1＋iB.｜z｜＝2C.z在复平面内对应的点位于第四象限D.z2为纯虚数解析：BD设z＝a＋bi（a，b∈R），则z-iz+1＝a+(b-1)i(a+1)+bi＝i，a＋（b－1）i＝i·[（a＋1）＋bi]＝－b＋（a＋1）i，所以a=-b,b-1=a+1,解得a=-1,b=1,所以z＝－1＋i，故z＝－1－i，A错误；｜z｜＝24.若z＝i20231-i，则｜z｜＝；z解析：z＝i20231-i＝-i1-i＝1-i2，｜z｜＝122+-12答案：22｜练后悟通｜复数代数形式运算的策略复数的几何意义【例】（1）（2021·新高考Ⅱ卷）复数2-i1-3iA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限（2）（2022·全国甲卷）若z＝1＋i，则｜iz＋3z｜＝ （）A.45 B.42C.25 D.22解析（1）2-i1-3i＝(2-i)(1+3i)（2）因为z＝1＋i，所以iz＋3z＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3z｜＝｜2－2i｜＝22+(-2)2＝答案（1）A（2）D｜解题技法｜对复数几何意义的再理解（1）复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋bi（a，b∈R）⇔Z（a，b）⇔OZ；（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.1.在复平面内，复数2i，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且AC＝CB，则点C对应复数的共轭复数是 （）A.1＋2i B.2＋iC.2－i D.1－2i解析：C由题意知，A（0，2），B（4，0），∵AC＝CB，∴点C为线段AB的中点，∴C（2，1），点C对应的复数z＝2＋i，∴z的共轭复数z＝2－i，故选C.2.设复数z满足｜z－2i｜＝1，在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是 （）A.1 B.3C.5 D.3解析：D法一：由题意可知，在复平面内复数z对应的点为复平面内一动点到定点（0，2）的距离为1的点的集合，即以（0，2）为圆心，1为半径的圆，圆心（0，2）到原点的距离为2，所以圆上任一点到原点的距离的最大值为2＋1＝3，故选D.法二：设复数z＝x＋yi（x，y∈R），则x2＋（y－2）2＝1，所以－1≤y－2≤1，即1≤y≤3，所以x2＋y2＝4y－3≤9，所以x2+y2≤3，即在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是31.（2022·全国乙卷）已知z＝1－2i，且z＋az＋b＝0，其中a，b为实数，则 （）A.a＝1，b＝－2B.a＝－1，b＝2C.a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝－2解析：A由题意知z＝1＋2i，所以z＋az＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i，又z＋az＋b＝0，所以a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以a+b+1=0,22.（2022·北京高考）若复数z满足i·z＝3－4i，则｜z｜＝ （）A.1 B.5C.7 D.25解析：B依题意可得z＝3-4ii＝(3-4i)ii2＝－4－3i，所以3.已知i是虚数单位，复数z与复平面内的点（2，－1）对应，则复数1-2iz对应的点在 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：D由复数z与复平面内的点（2，－1）对应，可知z＝2－i，所以1-2i2-i＝(1-2i)(2+i)(4.已知复数z＝（a2－4）＋（a－3）i（a∈R），则“a＝2”是“z为纯虚数”的 （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A因为复数z＝（a2－4）＋（a－3）i（a∈R）为纯虚数，等价于a2-4=0,a-3≠0,即a＝±2，由充分条件和必要条件的定义知“a＝2”是“a＝±2”的充分不必要条件，所以“a＝2”是“5.设z是复数z的共轭复数.在复平面内，复数z＋2与z＋2i对应的点关于y轴对称，则1z＝ （A.－1＋i B.－12－C.12－i2 D.－1解析：B设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＋2＝（a＋2）＋bi，z＋2i＝a＋（2－b）i，因为复数z＋2与z＋2i对应的点关于y轴对称，所以a＋2＋a＝0且b＝2－b，解得a＝－1，b＝1，则z＝－1＋i，1z＝1-1+i＝-1-i(-1+i)(-1-6.（多选）若复数z满足（1＋i）·z＝5＋3i（其中i是虚数单位），则 （）A.z的虚部为－iB.z的模为17C.z的共轭复数为4－iD.z在复平面内对应的点位于第四象限解析：BD由（1＋i）·z＝5＋3i得z＝5+3i1+i＝(5+3i)(1-i)(1+i)(1-i)＝8-2i2＝4－i，所以z的虚部为－1，A错误；z的模为42+(-1)2＝17，B7.（多选）已知复数z对应的向量为OZ（O为坐标原点），OZ与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z可能为 （）A.1＋3i B.2C.－1－3i D.－1＋3i解析：CD设复数z＝x＋yi（x，y∈R），∵向量OZ与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，∴当z在第二象限时，x＝｜OZ｜cos120°＝2×-12＝－1，y＝｜OZ｜sin120°＝2×32＝3，∴z＝－1＋3i；当z在第三象限时，x＝｜OZ｜cos（－120°）＝2×-12＝－1，y＝｜OZ｜sin（－120°）＝2×-32＝－3，∴y＝－1－38.已知i为虚数单位，若复数z＝3-i1+i，则｜iz｜＝解析：法一：iz＝(3-i)i1+i＝1+3i1+i＝(1+3i)(1-i)(1+i)(法二：｜iz｜＝｜i｜｜z｜＝1×︱3-i1+i︱＝|3-i|答案：59.若z＝（a－2）＋ai为纯虚数，其中a∈R，则a+i71+解析：∵z为纯虚数，∴a-2=0,a≠0,∴a＝2，∴a+i答案：－i10.设复数z＝1-i1+in＋1+i1-in，i为虚数单位，n解析：z＝in＋（－i）n，i为虚数单位，n∈N，当n＝4k（k∈N）时，z＝2；当n＝4k＋1（k∈N）时，z＝0；当n＝4k＋2（k∈N）时，z＝－2；当n＝4k＋3（k∈N）时，z＝0.答案：{－2，0，2}11.已知复数数列{an}满足a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，i为虚数单位，则a10＝ （）A.2i B.－1＋iC.1＋i D.－2i解析：B法一：因为a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，所以a2＝2i·i＋i＋1＝－1＋i，a3＝（－1＋i）i＋i＋1＝0，a4＝0·i＋i＋1＝1＋i，a5＝（1＋i）i＋i＋1＝2i，…，所以数列{an}是以4为周期的周期数列，所以a10＝a4×2＋2＝a2＝－1＋i，故选B.法二：因为an＋1＝ian＋i＋1，所以an＋1－i＝i（an－i），又a1－i＝i≠0，所以数列{an－i}是以i为首项，i为公比的等比数列，所以an－i＝in，则an＝i＋in，所以a10＝i＋i10＝i＋i2＝－1＋i，故选B.12.（多选）已知两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1－i，则下面说法正确的是 （）A.z2＝-1+i2 B.｜z1C.｜z1＋z2｜≥2 D.z1z解析：ABD因为z1z2＝i，z1＝1－i，所以z2＝i1-i＝-1+i2，故A正确；｜z1｜＝12+(-1)2＝2，｜z2｜＝-122+122＝22，所以｜z1｜＝1|z2|，故B正确；因为｜z1＋z2｜＝︱1-i2︱＝22＜13.（多选）设z∈C，则下列说法中正确的是 （）A.｜z｜2＝z·zB.｜z1＋z2｜＝｜z1｜＋｜z2｜C.若z12＋z22＝0，则z1＝D.若｜z｜＝1，则｜z－i｜≤2解析：ADA选项，设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＝a－bi，｜z｜2＝a2＋b2，z·z＝a2＋b2，所以｜z｜2＝z·z，故A正确；B选项，令z1＝1＋i，z2＝1－i，则｜z1＋z2｜＝2，｜z1｜＋｜z2｜＝22，不满足｜z1＋z2｜＝｜z1｜＋｜z2｜，故B错误；C选项，若z1＝i，z2＝1，则z12＋z22＝0，但不满足z1＝z2＝0，故C错误；D选项，若｜z｜＝1，不妨令z＝cosθ＋sinθ·i，则｜z－i｜＝cos2θ+(sinθ-1)14.i是虚数单位，使（1＋i）n为实数的最小正整数n＝.

解析：∵（1＋i）2＝2i，（1＋i）3＝2i－2，（1＋i）4＝－4，∴使（1＋i）n为实数的最小正整数n是4.答案：415.复数z满足｜z－1｜2－｜z＋1｜2＝4，则复数z在复平面内对应的点所在的轨迹方程是.

解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），则（a－1）2＋b2－[（a＋1）2＋b2]＝4，整理，得a＝－1，∴复数z在复平面内对应的点所在的轨迹方程是x＝－1.答案：x＝－116.已知复数z1满足（1＋i）z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i是虚数单位，a∈R，若｜z1－z2｜＜｜z1｜，则a的取值范围是.解析：∵z1＝-1+5i1+i＝2＋3i，z2＝a－2＋i，∴｜z1－z2｜＝｜4－a＋2i｜＝(4-a)2+4，｜z1｜＝｜2＋3i｜＝13，∴(4-a)2+4＜13，得a答案：（1，7）第二节平面向量的概念及线性运算1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（模）；（2）零向量：长度为0的向量，记作0；（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量；（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行；（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量；（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量.提醒单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量a|a|和2.向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）减法求两个向量差的运算a－b＝a＋（－b）续表向量运算定义法则（或几何意义）运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ（μa）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ（a＋b）＝λa＋λb3.共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.提醒当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）｜a｜与｜b｜是否相等，与a，b的方向无关. （）（2）若向量a与b同向，且｜a｜＞｜b｜，则a＞b.（）（3）若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上. （）（4）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量. （）答案：（1）√（2）×（3）×（4）√2.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的 （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：A若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立.故前者是后者的充分不必要条件，故选A.3.已知下列各式：①AB＋BC＋CA；②OA＋OB＋BO＋CO；③AB－AC＋BD－CD.其中结果为零向量的个数为 （）A.0B.1C.2 D.3解析：C①中AB＋BC＋CA＝0；②中OA＋OB＋BO＋CO＝OA＋CO＝CA；③AB－AC＋BD－CD＝CB＋BC＝0.故①③结果为零向量，故选C.4.（2022·新高考Ⅰ卷）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB＝ （）A.3m－2nB.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n解析：B因为BD＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3（CD－CA）＝－2CA＋3CD＝－2m＋3n.故选B.5.化简：（1）（AB＋MB）＋BO＋OM＝；

（2）NQ＋QP＋MN－MP＝.

解析：（1）原式＝AB＋BO＋OM＋MB＝AB.（2）原式＝NP＋PN＝0.答案：（1）AB（2）01.三点共线的等价转化A，P，B三点共线⇔AP＝λAB（λ≠0）⇔OP＝（1－t）·OA＋tOB（O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R）⇔OP＝xOA＋yOB（O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1）.2.向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP＝12（OA＋OB1.已知O是△ABC所在平面内一点，P为线段AB的中点，且OA－BO＋3OC＝0，那么 （）A.CO＝23OP B.COC.CO＝32OP D.CO解析：A由结论2可知OA＋OB＝2OP，又因OA－BO＋3OC＝0，则3CO＝2OP⇒CO＝23OP故选2.已知A，B，C，O四点满足条件αOA＋βOB＝OC，若α＋β＝1，则能得到.

解析：由结论1可知A，B，C三点共线.答案：A，B，C三点共线平面向量的有关概念1.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|bA.a＝－bB.a∥bC.a＝2b D.a∥b且｜a｜＝｜b｜解析：C因为向量a|a|的方向与向量a相同，向量b|b|的方向与向量b相同，且a|a|＝b|b|.所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A、B、D.当a＝2b时，a|a|＝2.下列说法正确的是 （）A.若｜a｜＝｜b｜，则a＝b或a＝－bB.若ma＝mb，m∈R，则a＝bC.若a∥b，b∥c，则a∥cD.若ma＝0，m∈R，则m＝0或a＝0解析：D对于A，当a＝（1，1），b＝32,52时，满足｜a｜＝｜b｜，但a≠±b，故A错误；对于B，当a＝（1，1），b＝（1，2），m＝0时，满足ma＝mb＝0，但a≠b，故B错误；对于C，当a＝（1，1），b＝0，c＝（1，2）时，满足a∥b，c∥b，但不满足a∥c，故C错误；对于D，由ma＝0，得m＝0或a＝0，故D正确.综上所述3.（多选）给出下列命题，其中正确的有 （）A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B.若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形C.a＝b的充要条件是｜a｜＝｜b｜且a∥bD.两个相等向量的模相等解析：BDA错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为AB＝DC，所以｜AB｜＝｜DC｜且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当a∥b且方向相反时，即使｜a｜＝｜b｜，也不能得到a＝b；D正确，两个相等向量的模一定相等，故选B、D.｜练后悟通｜向量有关概念的关键点（1）向量定义的关键是方向和长度；（2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制；（3）相等向量的关键是方向相同且长度相等；（4）单位向量的关键是长度等于1个单位长度；（5）零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线.平面向量的线性运算考向1向量的线性运算【例1】在△ABC中，BD＝13BC，若AB＝a，AC＝b，则AD＝ （A.23a＋13b B.13aC.13a－23b D.23a解析法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以AD＝AE＋AF因为BD＝13BC，所以AE＝23AB，AF＝13AC，所以AD＝23AB＋13AC法二：AD＝AB＋BD＝AB＋13BC＝AB＋13（AC－AB）＝23AB＋13AC＝23法三：由BD＝13BC，得AD－AB＝13（AC－AB），所以AD＝AB＋13（AC－AB）＝23AB＋13AC＝2答案A｜解题技法｜平面向量的线性运算的求解策略考向2根据向量线性运算求参数【例2】在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且AN＝13AM，若AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝（A.13 B.C.－12 D.－解析由题意，知AN＝13AM＝13（AB＋BM）＝13AB＋13×32BC＝13AB＋12（AC－AB）＝－16AB＋12AC，又AN＝λAB＋μAC，所以答案A｜解题技法｜与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过相等向量或共线向量等条件列出关于参数的方程（组）求得相关参数的值.1.如图，AB是圆O的一条直径，C，D为半圆弧的两个三等分点，则AB＝ （）A.AC－AD B.2AC－2ADC.AD－AC D.2AD－2AC解析：D连接CD（图略），∵C，D是半圆弧的三等分点，∴CD∥AB，且AB＝2CD，因此AB＝2CD＝2（AD－AC）＝2AD－2AC.2.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若EB＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝ （）A.1 B.3C.12 D.－解析：C因为D为BC的中点，E为AD的中点，所以EB＝AB－AE＝AB－12AD＝AB－1212AB+12AC＝34AB－14AC，因为EB＝λAB＋μAC，所以λ共线向量定理的应用【例3】设两向量a与b不共线.（1）若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3（a－b）.求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.解（1）证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3（a－b）.∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5AB，∴AB，BD共线.又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线.（2）∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），即ka＋b＝λa＋λkb，∴（k－λ）a＝（λk－1）b.∵a，b是不共线的两个向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.1.（变条件，变设问）若将本例（1）中“BC＝2a＋8b”改为“BC＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？解：BD＝BC＋CD＝（a＋mb）＋3（a－b）＝4a＋（m－3）b，若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使BD＝λAB，即4a＋（m－3）b＝λ（a＋b），∴4=λ,m-3=故当m＝7时，A，B，D三点共线.2.（变条件）若将本例（2）中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb）（λ＜0），所以k=λ,kλ=1又λ＜0，k＝λ，所以k＝－1.故当k＝－1时，两向量反向共线.｜解题技法｜提醒证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点.1.已知向量a与b不共线，AB＝a＋mb，AC＝na＋b（m，n∈R），则AB与AC共线的条件是 （）A.m＋n＝0 B.m－n＝0C.mn＋1＝0 D.mn－1＝0解析：D由AB＝a＋mb，AC＝na＋b（m，n∈R）共线，得a＋mb＝λ（na＋b），即1=λn,m=λ,所以2.在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是 （）A.矩形 B.平行四边形C.梯形 D.以上都不对解析：C由已知，得AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2BC，故AD∥BC.又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形.1.如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是 （）A.AP＝13ABB.AQC.BP＝－23AB D.AQ解析：D由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误.2.已知a，b是两个非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，则下列说法正确的是 （）A.a＋b＝0B.a＝bC.a与b共线反向 D.存在正实数λ，使a＝λb解析：D因为a，b是两个非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，则a与b共线同向，故D正确.3.已知平面向量a，b不共线，AB＝4a＋6b，BC＝－a＋3b，CD＝a＋3b，则 （）A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线解析：DBD＝BC＋CD＝6b，得不出AB＝λBD，∴AB，BD不共线，∴A，B，D三点不共线，A错误；得不出AB＝λBC，∴AB，BC不共线，∴A，B，C三点不共线，B错误；得不出BC＝λCD，∴BC，CD不共线，∴B，C，D三点不共线，C错误；AC＝AB＋BC＝3a＋9b＝3CD，∴A，C，D三点共线，D正确.故选D.4.已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A等于 （）A.30° B.45°C.60° D.90°解析：A由OA＋OB＋CO＝0，得OA＋OB＝OC，又O为△ABC的外接圆的圆心，根据向量加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.5.已知P是△ABC所在平面内一点，且满足PA＋PB＋PC＝2AB，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为（）A.2 B.3C.4 D.8解析：A∵PA＋PB＋PC＝2AB＝2（PB－PA），∴3PA＝PB－PC＝CB，∴PA∥CB，且两向量方向相同，∴S△ABCS△PAB＝BCAP＝|CB||PA|＝3，又S△ABC6.在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P.若AP＝xAB＋yAF，则x＋y＝ （）A.2 B.5C.3 D.7解析：B如图，记正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OB，OD，易证四边形OBCD为菱形，且P恰为其中心，于是FP＝32FO＝32AB，因此AP＝AF＋FP＝32AB＋AF，因为AP＝xAB＋yAF，所以x＝32且y＝1，7.（多选）如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段DC上，且满足CE＝2DE，则下列结论中正确的有 （）A.AB＝DCB.AD＋AB＝ACC.AB－AD＝BDD.AE＝AD＋1解析：ABD因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB＝DC，故A正确；根据向量加法的平行四边形法则，可得AB＋AD＝AC，故B正确；根据向量的减法法则可得AB－AD＝DB，故C错误；由题意知，AE＝AD＋DE＝AD＋13DC＝AD＋13AB，故D正确.故选A、8.若AP＝12PB，AB＝（λ＋1）BP，则λ＝解析：由AP＝12PB可知，点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则AB＝－32BP，所以λ＋1＝－32，答案：－59.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝.

解析：∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ（a＋2b）成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则λ=μ,1=2μ,解得答案：110.若｜AB｜＝｜AC｜＝｜AB－AC｜＝2，则｜AB＋AC｜＝.

解析：因为｜AB｜＝｜AC｜＝｜AB－AC｜＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以｜AB＋AC｜为△ABC的边BC上的高的2倍，所以｜AB＋AC｜＝23.答案：2311.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若BC＝a，BA＝b，BE＝3EF，则BF＝ （）A.1225a＋925b B.1625aC.45a＋35b D.35a解析：B由题得BF＝BC＋CF＝BC＋34EA＝BC＋34EB+BA＝BC＋34-34BF+BA，即BF＝BC＋34-34BF+BA12.（多选）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是 （）A.若AM＝12AB＋12AC，则点B.若AM＝2AB－AC，则点M在边BC的延长线上C.若AM＝－BM－CM，则点M是△ABC的重心D.若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，则△MBC的面积是△ABC面积的解析：ACD若AM＝12AB＋12AC，则点M是边BC的中点，故A正确；若AM＝2AB－AC，即有AM－AB＝AB－AC，即BM＝CB，则点M在边CB的延长线上，若AM＝－BM－CM，即AM＋BM＋CM＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；如图，AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，可得2AM＝2xAB＋2yAC，设AN＝2AM，则AN＝2xAB＋2yAC，2x＋2y＝1，可得B，N，C三点共线.又M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的12，故D13.直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量OA＝（1－cosα）OB＋sinαOC（α是锐角）总成立，则α＝.

解析：因为直线l上有不同的三点A，B，C，所以存在实数λ，使得BA＝λBC，所以OA－OB＝λ（OC－OB），即OA＝（1－λ）OB＋λOC，所以1-λ=1-cosα,λ=sinα,所以sinα＝cos答案：45°14.在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是.

解析：由已知得AD＝1，CD＝3，所以AB＝2DC.因为点E在线段CD上，所以DE＝λDC（0≤λ≤1）.因为AE＝AD＋DE＝AD＋λDC＝AD＋λ2AB，又AE＝AD＋μAB，所以μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ答案：015.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n＝.

解析：作BG∥AC，则BG∥NC，|BG||AN|＝|BM||AM|.∵O是BC的中点，∴△NOC≌△GOB，∴｜BG｜＝｜NC｜，又∵｜AC｜＝n｜AN｜，∴｜NC｜＝（n－1）｜AN｜，∴|BG||AN|＝n－1.∵｜AB｜＝m｜AM｜，∴｜BM｜＝（1－m）｜AM｜，∴|BM||AM答案：2第三节平面向量基本定理及坐标表示1.理解平面向量的基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线的条件.1.平面向量基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2；（2）基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.提醒（1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一.2.平面向量的坐标运算（1）向量的加法、减法、数乘及向量的模设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1），｜a｜＝x1（2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB＝（x2－x1，y2－y1），｜AB｜＝(x提醒若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＝b⇔x3.平面向量共线的坐标表示设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.提醒（1）a∥b的充要条件不能表示为x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能为0；（2）当且仅当x2y2≠0时，a∥b与x1x1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. （）（2）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y（3）平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. （）答案：（1）√（2）×（3）√2.设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则给出下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是 （）A.①②B.①③C.①④ D.③④解析：B平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于①，AD与AB不共线，可作为基底；对于②，DA与BC为共线向量，不可作为基底；对于③，CA与DC是两个不共线的向量，可作为基底；对于④，OD与OB在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底.3.已知点A（0，1），B（3，2），向量AC＝（－4，－3），则向量BC＝ （）A.（－7，－4） B.（7，4）C.（－1，4） D.（1，4）解析：A根据题意得AB＝（3，1），∴BC＝AC－AB＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）.故选A.4.（2021·全国乙卷）已知向量a＝（2，5），b＝（λ，4），若a∥b，则λ＝.

解析：因为a∥b，所以a＝kb，即（2，5）＝k（λ，4），得kλ=2,答案：81.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2.已知△ABC的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心G的坐标为x11.已知OA＝（5，－2），OB＝（－4，－3），且OP＋AP＋BP＝0，其中O为坐标原点，则P点坐标为 （）A.（－9，－1） B.1C.（1，－5） D.3解析：B因为OA＝（5，－2），OB＝（－4，－3），且OP＋AP＋BP＝0，所以P是△OAB的重心，又A（5，－2），B（－4，－3），O（0，0），由结论2得P点坐标为13,-532.（2023·周口模拟）给出以下说法，其中正确的是 （）A.若b＝λa（λ∈R），则a∥bB.若a∥b，则存在实数λ，使b＝λaC.若a，b是非零向量，λ，μ∈R，那么λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0D.平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底解析：AA项，由向量的数乘运算的几何意义，正确；B项，若a＝0，b≠0，有a∥b，但不存在实数λ，使b＝λa，错误；C项，若a，b为相反向量，则a＋b＝0，此时λ＝μ∈R，错误；D项，由平面向量基本定理可知，作为基底的两向量是不共线的非零向量，错误.故选A.平面向量基本定理的应用【例1】（1）如图所示，在△ABC中，CB＝3CD，AD＝2AE，AB＝a，AC＝b，则CE＝（）A.16a－13b B.16aC.a－13b D.16a－（2）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若CG＝λCD＋μCB（λ，μ∈R），则λμ＝.解析（1）CE＝AE－AC＝12AD－AC＝12AB+23BC－AC＝12AB＋13（AC－AB）－AC＝16（2）由题图可设CG＝xCE（0＜x＜1），则CG＝x（CB＋BE）＝xCB+12CD＝x2CD＋xCB.因为CG＝λCD＋μCB，CD与CB不共线，所以λ＝x2，μ＝答案（1）B（2）1｜解题技法｜1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.提醒同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解是唯一的.1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝π2，AC＝2AB，∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆于点D，设AB＝a，AC＝b，则向量AD＝ （A.a＋b B.12a＋C.a＋12b D.a＋2解析：C设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝π2，AC＝2AB，所以∠BAC＝π3，∠ACB＝π6，又∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝π6，则根据圆的性质得BD＝AB，又因为在Rt△ABC中，AB＝12AC＝r＝OD，所以四边形ABDO为菱形，所以AD＝AB＋AO＝2.已知在△ABC中，点O满足OA＋OB＋OC＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且OP＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是.

解析：依题意，设OP＝λOC（0＜λ＜1），由OA＋OB＋OC＝0，知OC＝－（OA＋OB），所以OP＝－λOA－λOB，由平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈（－2，0）.答案：（－2，0）平面向量的坐标运算【例2】（1）已知a＝（5，－2），b＝（－4，－3），若a－2b＋3c＝0，则c＝（）A.133,83C.133,43（2）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若CA＝λCE＋μDB（λ，μ∈R），则λ＋μ＝ （）A.65 B.C.2 D.8解析（1）∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－13（a－2b）.∵a－2b＝（5，－2）－（－8，－6）＝（13，4），∴c＝－13（a－2b）＝（2）建立如图所示的平面直角坐标系，则D（0，0）.不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C（2，0），A（0，2），B（1，2），E（0，1），∴CA＝（－2，2），CE＝（－2，1），DB＝（1，2），∵CA＝λCE＋μDB，∴（－2，2）＝λ（－2，1）＋μ（1，2），∴-2λ+μ=-2,λ答案（1）D（2）B｜解题技法｜平面向量坐标运算的技巧（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标；（2）解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求解.1.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则λμ＝ （A.1 B.2C.3 D.4解析：D以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系（设每个小正方形边长为1），则O（0，0），A（1，－1），B（6，2），C（5，－1），∴a＝AO＝（－1，1），b＝OB＝（6，2），c＝BC＝（－1，－3），∵c＝λa＋μb，∴（－1，－3）＝λ（－1，1）＋μ（6，2），则-λ+6μ=-1,λ+22.在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝（4，3），PQ＝（1，5），则AQ＝，BC＝.

解析：AQ＝PQ－PA＝（1，5）－（4，3）＝（－3，2），PC＝PA＋AC＝PA＋2AQ＝（4，3）＋2（－3，2）＝（－2，7），BC＝3PC＝3（－2，7）＝（－6，21）.答案：（－3，2）（－6，21）向量共线的坐标表示考向1利用向量共线求参数【例3】（1）已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2），c＝（1，λ）.若c∥（2a＋b），则λ＝；

（2）已知向量OA＝（k，12），OB＝（4，5），OC＝（－k，10），且A，B，C三点共线，则k＝.

解析（1）因为2a＋b＝（4，2），c∥（2a＋b），所以4λ＝2，解得λ＝12（2）AB＝OB－OA＝（4－k，－7），AC＝OC－OA＝（－2k，－2）.因为A，B，C三点共线，所以AB，AC共线，所以－2×（4－k）＝－7×（－2k），解得k＝－23答案（1）12（2）－｜解题技法｜利用向量共线的坐标表示求参数的步骤（1）根据已知条件求出相关向量的坐标；（2）利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组；（3）根据方程或方程组求解得到参数的值.考向2利用向量共线求向量或点的坐标【例4】已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为.

解析法一：由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝（4λ，4λ），则AP＝OP－OA＝（4λ－4，4λ）.又AC＝OC－OA＝（－2，6），由AP与AC共线，得（4λ－4）×6－4λ×（－2）＝0，解得λ＝34，所以OP＝34OB＝（3，3），所以点P的坐标为（3法二：设点P（x，y），则OP＝（x，y），因为OB＝（4，4），且OP与OB共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP＝（x－4，y），AC＝（－2，6），且AP与AC共线，所以（x－4）×6－y×（－2）＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为（3，答案（3，3）｜解题技法｜利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路：求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa（λ∈R），然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.求点的坐标时，可设要求点的坐标为（x，y），根据向量共线的条件列方程（组），求出x，y的值.1.已知向量e1＝（1，1），e2＝（0，1），若a＝e1＋λe2与b＝－（2e1－3e2）共线，则实数λ＝.

解析：由题意知a＝e1＋λe2＝（1，1＋λ），b＝－（2e1－3e2）＝（－2，1）.由于a∥b，所以1×1＋2（1＋λ）＝0，解得λ＝－32答案：－32.已知向量a＝（1，1），点A（3，0），点B为直线y＝2x上的一个动点，若AB∥a，则点B的坐标为.

解析：设B（x，2x），则AB＝（x－3，2x）.∵AB∥a，∴x－3＝2x，即x＝－3，∴B（－3，－6）.答案：（－3，－6）1.已知点A（8，－1），B（1，－3），若点C（2m－1，m＋2）在直线AB上，则实数m＝ （）A.－12B.13C.－13 D.12解析：C因为点C在直线AB上，所以AC与AB共线.又AB＝（－7，－2），AC＝（2m－9，m＋3），故2m-9-7＝m+3-2，2.设向量a＝（m，2），b＝（1，m＋1），且a与b的方向相反，则实数m的值为 （）A.－2 B.1C.－2或1 D.m的值不存在解析：A向量a＝（m，2），b＝（1，m＋1），因为a∥b，所以m（m＋1）＝2×1，解得m＝－2或m＝1.当m＝1时，a＝（1，2），b＝（1，2），a与b的方向相同，舍去；当m＝－2时，a＝（－2，2），b＝（1，－1），a与b的方向相反，符合题意.故选A.3.在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且AE＝2EC，则DE＝ （）A.12AB－16ACBC.12AB－23AC D解析：B如图，可知DE＝DC＋CE＝12BC－13AC＝12（AC－AB）－13AC4.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，以{a，b}为基底，则 （）A.c＝－2a＋3b B.c＝－3a＋2bC.c＝3a－2b D.c＝2a－3b解析：C记网格中小正方形的边长为1，如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则a＝AC＝（1，1），b＝CB＝（－2，3），c＝BD＝（7，－3），令c＝xa＋yb，则（7，－3）＝x（1，1）＋y（－2，3）＝（x－2y，x＋3y），所以x-2y=7,x+3y=-3,解得x5.已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点.OA＝（2，4），OB＝（1，3），若点E满足OC＝3EC，则点E的坐标为 （）A.-23,-2C.13,13解析：A易知OC＝OB－OA＝（－1，－1），则C（－1，－1），设E（x，y），则3EC＝3（－1－x，－1－y）＝（－3－3x，－3－3y），由OC＝3EC知-3-3x=-6.在△ABC中，D是直线AB上一点.若2BD＝CB＋λCA，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则S1S2＝ A.λ6 B.C.13 D.解析：D法一：易知BD＝CD－CB，又2BD＝CB＋λCA，所以2（CD－CB）＝CB＋λCA，得CD＝32CB＋λ2CA因为A，B，D三点共线，所以32＋λ2＝1，所以λ＝－1.由2BD＝CB－CA，得2BD＝AB，即AB＝23AD，如图，可知△ACB和△ACD同高，所以S1法二：因为A，B，D三点共线，所以存在唯一非零实数μ，使得BD＝μAB易知AB＝CB－CA，所以BD＝μAB＝μCB－μCA又由已知得BD＝12CB＋λ2CA，所以μ＝12，－μ＝λ2，所以λ＝－1.则2BD＝CB－CA，可得2BD＝AB，AB＝23AD.又△ACB和△ACD同高，所以S17.（多选）已知O为坐标原点，A（2，－1），B（1，2），则 （）A.与AB同方向的单位向量为-B.若AP＝2PB，则点P的坐标为5C.若a＝（1，－3），则a∥ABD.若C（1，－3），则四边形OBAC为平行四边形解析：ACD因为AB＝（－1，3），｜AB｜＝10，所以与AB同方向的单位向量为-110,310＝-1010,31010，选项A正确；设P（x，y），则（x－2，y＋1）＝2（1－x，2－y），所以x-2=2(1-x),y+1=2(2-y),解得x=43,y=1,所以P43,1，选项B错误；因为a＝（1，－3），AB＝（－1，3），AB＝－a，所以a∥AB，选项C正确；因为OB＝（1，2），CA＝（1，2），所以OB8.（多选）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M，设AB＝a，AD＝b，则下列结论正确的是 （）A.AC＝12a＋B.BC＝－12a＋C.BM＝－13a＋2D.EF＝－14a＋解析：ABDAC＝AD＋DC＝AD＋12AB＝12a＋b，故A正确；BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD＋12AB＝－12a＋b，故B正确；BM＝BA＋AM＝－AB＋23AC＝－23a＋23b，故C错误；EF＝EA＋AD＋DF＝－12AB＋AD9.（多选）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若AP＝λAB，OC＝μOA＋3μOB，则 （）A.P为线段OC的中点时，μ＝1B.P为线段OC的中点时，μ＝1C.无论μ取何值，恒有λ＝3D.存在μ∈R，λ＝1解析：ACOP＝OA＋AP＝OA＋λAB＝OA＋λ（OB－OA）＝（1－λ）OA＋λOB，因为OP与OC共线，所以1-λμ＝λ3μ，解得λ＝34，故C正确，D错误；当P为线段OC中点时，则OP＝12OC＝12μOA＋12×3μOB，则1－λ＝12μ，λ＝12×3μ，解得μ＝1210.已知向量a＝（1，3），b＝（－2，k），且（a＋2b）∥（3a－b），则实数k＝.

解析：a＋2b＝（－3，3＋2k），3a－b＝（5，9－k），由题意可得，－3（9－k）＝5（3＋2k），解得k＝－6.答案：－611.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若DE＝λAB＋μAD（λ，μ为实数），则λ2＋μ2＝.

解析：DE＝12DA＋12DO＝12DA＋14DB＝12DA＋14（DA＋AB）＝14AB－34AD，所以λ＝答案：512.如图①，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口.六边形开口可记为图②中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设AB＝a，AF＝b，若BM＝MC，EF＝3EN，则MN＝.（用a，b表示）

解析：因为BM＝MC，EF＝3EN，由正六边形的性质可知AB＝FO＝OC，AF＝OE＝BO，所以OM＝12（OB＋OC），ON＝OF＋FN＝OF＋23FE＝OF＋23（OE－OF）＝23OE＋13OF，所以MN＝MO＋ON＝－12（OB＋OC）＋23OE＋13OF＝－12（－AF＋AB）＋23AF＋13（－AB）＝1答案：－56a＋713.（多选）如图，B是AC的中点，BE＝2OB，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且OP＝xOA＋yOB（x，y∈R），则下列结论中正确的是 （）A.当x＝0时，y∈[2，3]B.当P是线段CE的中点时，x＝－12，y＝C.若x＋y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段D.当P在C点时，x＝1，y＝2解析：BC当OP＝yOB时，点P在线段BE上，故1≤y≤3，故A错误；当P是线段CE的中点时，OP＝OE＋EP＝3OB＋12（EB＋BC）＝3OB＋12（－2OB＋AB）＝3OB＋12（－2OB＋OB－OA）＝－12OA＋52OB，故B正确；当x＋y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是一条线段，故C正确；因为OB＝12（OC＋OA），所以OC＝2OB－OA，则OP＝－OA＋2OB，所以x＝－1，y＝2，14.菱形ABCD的边长为23，中心为O，∠ABC＝π3，M为菱形ABCD的内切圆上任意一点，且BM＝xBA＋yBO，则2x＋y的最大值为.解析：如图，以O为坐标原点，OD，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设内切圆与边AD的切点为E，连接OE.由AB＝23，∠ABC＝π3，易得BO＝OD＝3，AO＝OC＝3，所以内切圆半径r＝OE＝OA×ODAD＝3×323＝32，O（0，0），A（0，3），B（－3，0）.设M32cosθ,32sinθ，θ∈[0，2π），故BA＝（3，3），BO＝（3，0），BM＝32cosθ+3,32sinθ.因为BM＝xBA＋yBO，所以32cosθ+3=3x+3y,32sinθ=3x,答案：215.已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4）.设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.（1）求3a＋b－3c；（2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n；（3）求M，N的坐标及向量MN的坐标.解：由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1，8）.（1）3a＋b－3c＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1，8）＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）.（2）法一：∵mb＋nc＝（－6m＋n，－3m＋8n），∴-6m法二：∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，又∵a＝mb＋nc，∴mb＋nc＝－b－c，∴m（3）设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，∴OM＝3c＋OC＝（3，24）＋（－3，－4）＝（0，20）.∴M（0，20）.又∵CN＝ON－OC＝－2b，∴ON＝－2b＋OC＝（12，6）＋（－3，－4）＝（9，2），∴N（9，2），∴MN＝（9，－18）.16.如图，在△ABC中，AM＝34AB（1）求△ABM与△ABC的面积之比；（2）若N为AB中点，AM与CN交于点P，且AP＝xAB＋yAC（x，y∈R），求x＋y的值.解：（1）在△ABC中，由AM＝34AB＋得4AM－3AB－AC＝0，即3（AM－AB）＝AC－AM，即3BM＝MC，即点M是线段BC上的靠近B的四等分点，∴△ABM与△ABC的面积之比为14（2）∵AM＝34AB＋14AC，AP＝xAB＋yAC（x，y∈R），AP∥AM，∴设AP＝λAM＝3λ4AB＋λ4∵N，P，C三点共线，∴3λ2＋λ4解得λ＝47，x＝3λ4＝37，y＝14λ＝17，故第四节平面向量的数量积及应用1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角.5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.1.向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a，b，如图所示，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角，记作<a，b>；（2）范围：夹角θ的范围是[0，π].当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；当θ＝π2时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；当θ＝π时，两向量a，b共线但反向提醒只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角.2.平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量｜a｜｜b｜cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cosθ.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影向量：如图，在平面内任取一点O，作OM＝a，ON＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量，记为OM1＝（3）运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c.提醒（1）乘法结合律，（a·b）c≠a（b·c）（这是由于（a·b）·c表示一个与c共线的向量，a·（b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线）；（2）乘法消去律，a·b＝a·c⇒/b＝c（如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥（b－c））.3.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.#几何表示#坐标表示数量积a·b＝｜a｜｜b｜cosθa·b＝x1x2＋y1y2模｜a｜＝a｜a｜＝x夹角cosθ＝acosθ＝xa⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0a∥b的充要条件a＝λb（λ∈R）x1y2－x2y1＝0｜a·b｜与｜a｜｜b｜的关系｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立）｜x1x2＋y1y2｜≤(提醒（1）向量平行与垂直的坐标公式不要记混；（2）a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量. （）（2）向量a在向量b上的投影向量是一个向量，而向量a在向量b上的投影是一个数量. （）（3）由a·b＝0可得a＝0或b＝0. （）（4）两个向量夹角的取值范围是0,π2. 答案：（1）√（2）√（3）×（4）×2.（2022·全国乙卷）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝3，｜a－2b｜＝3，则a·b＝ （）A.－2B.－1C.1 D.2解析：C由｜a－2b｜＝3，可得｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又｜a｜＝1，｜b｜＝3，所以a·b＝1，故选C.3.（多选）已知向量a＋b＝（1，1），a－b＝（－3，1），c＝（1，1），设a，b的夹角为θ，则 （）A.｜a｜＝｜b｜ B.a⊥cC.b∥c D.θ＝135°解析：BD由a＋b＝（1，1），a－b＝（－3，1），得a＝（－1，1），b＝（2，0），则｜a｜＝2，｜b｜＝2，故A不正确；a·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正确；不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正确；cosθ＝a·b|a|·|b|＝-22×2＝－22，所以θ＝4.已知向量a，b满足3｜a｜＝2｜b｜＝6，且（a－2b）⊥（2a＋b），则a，b夹角的余弦值为.

解析：设a，b的夹角为θ，依题意，（a－2b）·（2a＋b）＝0，则2a2－3a·b－2b2＝0，故2×4－3×2×3cosθ－2×32＝0，则cosθ＝－59答案：－55.已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a上的投影向量的模为.

解析：由数量积的定义知，向量b在向量a上的投影向量的模为｜｜b｜cosθ｜＝｜4×cos120°｜＝2.答案：21.平面向量数量积运算的常用公式（1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；（2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.2.有关向量夹角的两个结论（1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立（因为夹角为0时不成立）；（2）两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立（因为夹角为π时不成立）.1.已知a，b为非零向量，则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的 （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：B由结论2可得选B.2.若非零向量a，b满足｜a｜＝2｜b｜＝｜a＋2b｜，则a，b的夹角为.

解析：因为｜a＋2b｜2＝（a＋2b）2，由结论1得｜a＋2b｜2＝a2＋4a·b＋4b2＝｜a｜2＋4｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＋4｜b｜2＝8｜b｜2＋8｜b｜2cos＜a，b＞＝4｜b｜2，解得cos＜a，b＞＝－12，所以a，b的夹角为2π答案：2π第一课时平面向量的数量积平面向量数量积的基本运算1.已知AB＝（2，3），AC＝（3，t），｜BC｜＝1，则AB·BC＝（）A.－3B.－2C.2 D.3解析：C因为BC＝AC－AB＝（1，t－3），所以｜BC｜＝12+(t-3)2＝1，解得t＝3，所以BC＝（1，0），所以AB·BC＝2×2.（2022·全国甲卷）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，则（2a＋b）·b＝.解析：（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜·｜b｜·cos＜a，b＞＋｜b｜2＝2×1×3×13＋32＝11答案：113.在△ABC中，C＝π2，AC＝BC＝2，M为边AC的中点，若点P在边AB上运动（点P可与A，B重合），则MP·CP的最小值为.解析：法一：如图，以C为坐标原点，建立平面直角坐标系，则C（0，0），A（0，2），B（2，0），M（0，1），依题意可设P（x，2－x），0≤x≤2，则MP＝（x，1－x），CP＝（x，2－x），所以MP·CP＝（x，1－x）·（x，2－x）＝2x2－3x＋2＝2x-342＋78≥78.故法二：取MC的中点为Q，连接PQ，则｜QC｜＝12，所以MP·CP＝PM·PC＝PQ2－QC2＝PQ2－14≥3222－14＝答案：74.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD＝.

解析：取{AB，AD}为平面向量的一组基底.在平行四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，∵CP＝3PD，∴DP＝14AB，CP＝34CD＝－34AB，∴AP＝AD＋DP＝AD＋14AB，BP＝BC＋CP＝AD－34AB，∵AP·BP＝2，∴AD+14AB·AD-34AB＝2，∴｜AD｜2－12AD·AB－316答案：22｜练后悟通｜求非零向量a，b的数量积的3种方法（1）定义法：已知或可求两个向量的模和夹角；（2）基底法：直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解；（3）坐标法：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积.平面向量数量积的性质考向1平面向量的模【例1】（1）已知向量a，b满足｜a｜＝6，｜b｜＝4，且a与b的夹角为60°，则｜a＋b｜＝，｜a－3b｜＝；

（2）在平面直角坐标系xOy中，若A（1，0），B（3，4），OC＝xOA＋yOB，x＋y＝6，则｜AC｜的最小值为.

解析（1）因为｜a｜＝6，｜b｜＝4，a与b的夹角为60°，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝6×4×12＝12，（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，（a－3b）2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144＝108，所以｜a＋b｜＝219，｜a－3b｜＝63（2）由题意得OA＝（1，0），OB＝（3，4），由OC＝xOA＋yOB，得OC＝（x＋3y，4y），所以AC＝OC－OA＝（x＋3y－1，4y），又x＋y＝6，所以AC＝（5＋2y，4y），则｜AC｜＝(5+2y)2+(4y)2＝20y2+20y+25＝25y+答案（1）21963（2）25｜解题技法｜求平面向量的模的两种方法考向2平面向量的夹角【例2】（1）（2022·新高考Ⅱ卷）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝ （）A.－6 B.－5C.5 D.6（2）（2020·全国Ⅲ卷）已知向量a，b满足｜a｜＝5，｜b｜＝6，a·b＝－6，则cos＜a，a＋b＞＝ （）A.－3135 B.－C.1735 D.解析（1）由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos<a，c>＝cos<b，c>，即a·c|a||c|＝b·c|b||c|，即（2）由题意，得a·（a＋b）＝a2＋a·b＝25－6＝19，｜a＋b｜＝a2+2a·b+b2＝25-12+36＝7，所以cos＜a，a＋b答案（1）C（2）D｜解题技法｜求平面向量的夹角的方法考向3平面向量的垂直【例3】（1）（2020·全国Ⅱ卷）已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是 （）A.a＋2b B.2a＋bC.a－2b D.2a－b（2）已知向量AB与AC的夹角为120°，且｜AB｜＝3，｜AC｜＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ＝.

解析（1）法一：由题意，得a·b＝｜a｜·｜b｜cos60°＝12.对于A，（a＋2b）·b＝a·b＋2b2＝12＋2＝52≠0，故A不符合题意；对于B，（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，（a－2b）·b＝a·b－2b2＝12－2＝－32≠0，故C不符合题意；对于D，（2a－b）·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以（2a－b）⊥法二：不妨设a＝12,32，b＝（1，0），则a＋2b＝52,32，2a＋b＝（2，3），a－2b＝-32,32，2a－b＝（0，3），易知，只有（2a－b）·b＝0，（2）因为AP⊥BC，所以AP·BC＝0.又AP＝λAB＋AC，BC＝AC－AB，所以（λAB＋AC）·（AC－AB）＝0，即（λ－1）AC·AB－λAB2＋AC2＝0，所以（λ－1）｜AC｜｜AB｜cos120°－9λ＋4＝0.所以（λ－1）×3×2×-12－9λ＋4＝0.解得答案（1）D（2）7｜解题技法｜有关平面向量垂直的两类题型1.已知非零向量a，b满足｜a｜＝2｜b｜，且（a－b）⊥b，则a与b的夹角为 （）A.π6 B.C.2π3 D.解析：B设a与b的夹角为α，∵（a－b）⊥b，∴（a－b）·b＝0，∴a·b＝b2，∴｜a｜·｜b｜cosα＝｜b｜2，又｜a｜＝2｜b｜，∴cosα＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π2.已知｜AB｜＝3，｜BC｜＝2，｜AB－3BC｜＝6，则｜AB＋CB｜＝ （）A.4 B.10C.10 D.16解析：B因为｜AB－3BC｜＝6，所以｜AB－3BC｜2＝36，则｜AB｜2－6AB·BC＋9｜BC｜2＝36，又｜AB｜＝3，｜BC｜＝2，所以9－6AB·BC＋36＝36，即AB·BC＝32.因为｜AB＋CB｜＝｜AB－BC｜，所以｜AB＋CB｜2＝｜AB－BC｜2＝AB2－2AB·BC＋BC2＝9－2×32＋4＝10，所以｜AB＋CB｜＝103.已知平面向量a，b，c均为单位向量，且｜a－b｜＝1，则（a－b