2024年高考数学第一轮复习讲义第十二章12.2　古典概型与几何概型(学生版+解析)

§12.2古典概型与几何概型考试要求1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件的个数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.4.了解几何概型的意义．知识梳理1．古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有________个；②等可能性：每个基本事件出现的__________相等．(2)古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是____________，设出所求的事件为A；②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件的个数m；③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率．(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同名称不同点相同点频率计算公式频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值都计算了一个比值eq\f(m,n)古典概型的概率计算公式eq\f(m,n)是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化2.几何概型(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________________________成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．(3)计算公式：P(A)＝______________________________________________________________.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．()(2)在一个正方形区域内任取一点的概率为0.()(3)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(4)两个互斥事件的概率和为1.()教材改编题1．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)2．在数轴的[0,3]上任投一点，则此点表示的数小于1的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．13．现有7名成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从数学、物理、化学成绩优秀的人中各选1人，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1中有且仅有1人被选中的概率为________．题型一古典概型例1(1)(2023·银川模拟)在2,3,5,7这四个数中任取三个数，将其组成无重复数字的三位数，则这个数是奇数的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(5,6)听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,10)听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华利用公式法求解古典概型问题的步骤跟踪训练1(1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)(2)(2022·成都质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目．组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京赛场的概率为________.题型二古典概型与统计的综合问题例2北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．(1)完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为讲座活动是否满意与性别有关？满意不满意总计男生女生总计120(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样的方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．参考数据：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华求解古典概型的综合问题的步骤(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；(2)判断事件是否为古典概型；(3)选用合适的方法确定基本事件个数；(4)代入古典概型的概率公式求解．跟踪训练2从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题．(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三几何概型例3(1)勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．如图，在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为()A.eq\f(\r(3),2π－\r(3)) B.eq\f(3\r(3),2π)C.eq\f(\r(3),2π－\r(3)) D.eq\f(\r(3),2π)听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)求解几何概型概率的步骤(2)与体积有关的几何概型的解题策略对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．跟踪训练3(1)(2021·全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取一个数，则两数之和大于eq\f(7,4)的概率为()A.eq\f(7,9)B.eq\f(23,32)C.eq\f(9,32)D.eq\f(2,9)(2)阳马是中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，且两个三角形侧面与底面垂直的四棱锥．在阳马P－ABCD中，PC为阳马P－ABCD中最长的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在阳马P－ABCD的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为()A.eq\f(1,27π)B.eq\f(4,27π)C.eq\f(8,27π)D.eq\f(4,9π)§12.2古典概型与几何概型考试要求1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件的个数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.4.了解几何概型的意义．知识梳理1．古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．(2)古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件的个数m；③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率．(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同名称不同点相同点频率计算公式频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值都计算了一个比值eq\f(m,n)古典概型的概率计算公式eq\f(m,n)是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化2.几何概型(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．(3)计算公式：P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(√)(2)在一个正方形区域内任取一点的概率为0.(√)(3)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(×)(4)两个互斥事件的概率和为1.(×)教材改编题1．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)答案B2．在数轴的[0,3]上任投一点，则此点表示的数小于1的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1答案B解析区间[0,3]的长度为3，而对应的数小于1的区间为[0,1)，长度为1，故所求概率为eq\f(1,3).3．现有7名成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从数学、物理、化学成绩优秀的人中各选1人，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1中有且仅有1人被选中的概率为________．答案eq\f(1,2)解析基本事件共有3×2×2＝12(个)，其中符合条件的基本事件有2＋2×2＝6(个)，故A1和B1中有且仅有1人被选中的概率为eq\f(1,2).题型一古典概型例1(1)(2023·银川模拟)在2,3,5,7这四个数中任取三个数，将其组成无重复数字的三位数，则这个数是奇数的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(5,6)答案C解析由题意，这个数可能为235,237,253,257,273,275,325,327,352,357,372,375,523,527,532,537,572,573,723,725,732,735,752,753，共24种情况，其中奇数共有18个，故所求概率P＝eq\f(18,24)＝eq\f(3,4).(2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,10)答案D解析由题意得，基本事件总数n＝Aeq\o\al(5,5)＝120，“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的基本事件个数m＝Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝36，所以“乙、丙都不与甲相邻出场”的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(36,120)＝eq\f(3,10).思维升华利用公式法求解古典概型问题的步骤跟踪训练1(1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(2,3)答案C解析从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种取法，所以所求概率是P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)(2022·成都质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目．组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京赛场的概率为________.答案eq\f(1,3)解析依题意3个赛场分配的志愿者人数只有1,1,2这种情况，则共有n＝Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(种)安排方法，志愿者甲被分配到北京赛场有m＝Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝12(种)安排方法，所以志愿者甲正好分到北京赛场的概率P＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).题型二古典概型与统计的综合问题例2北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．(1)完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为讲座活动是否满意与性别有关？满意不满意总计男生女生总计120(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样的方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．参考数据：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828解(1)2×2列联表如表所示.满意不满意总计男生402060女生303060总计7050120根据列联表中数据，经计算得K2＝eq\f(120×40×30－20×302,60×60×70×50)≈3.429>2.706，所以有90%的把握认为讲座活动是否满意与性别有关．(2)由(1)知，在样本中对讲座活动满意的学生有70名，从中抽取7名，其中“男生满意”的有40×eq\f(7,70)＝4(名)，“女生满意”的有30×eq\f(7,70)＝3(名)，记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，所以恰好抽中2名男生与1名女生的概率为eq\f(18,35).思维升华求解古典概型的综合问题的步骤(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；(2)判断事件是否为古典概型；(3)选用合适的方法确定基本事件个数；(4)代入古典概型的概率公式求解．跟踪训练2从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题．(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．解(1)根据题意，成绩在[50,60)这一组的频率为0.015×10＝0.15，在[60,70)这一组的频率为0.025×10＝0.25，在[70,80)这一组的频率为0.035×10＝0.35，在[90,100]这一组的频率为0.005×10＝0.05，则成绩在[80,90)这一组的频率为eq\f(1,2)×[1－(0.15＋0.25＋0.35＋0.05)]＝0.1，其频数为40×0.1＝4.(2)这次竞赛成绩的平均数约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；成绩在[70,80)这一组的频率最大，人数最多，则众数约为75；70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数约为70.(3)记“选出的2人在同一分数段”为事件E，成绩在[80,90)内的有40×0.1＝4(人)，设为a，b，c，d；成绩在[90,100]内的有40×0.05＝2(人)，设为A，B.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15种选法，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7种选法，则P(E)＝eq\f(7,15).题型三几何概型例3(1)勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．如图，在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为()A.eq\f(\r(3),2π－\r(3)) B.eq\f(3\r(3),2π)C.eq\f(\r(3),2π－\r(3)) D.eq\f(\r(3),2π)答案A解析由题意可得，设△ABC的边长为2，则△ABC的面积S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，曲边三角形的面积S曲＝S扇形CAB＋2S拱＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S扇形CAB－S△ABC))＝eq\f(2,3)π×3－2×eq\f(\r(3),4)×22＝2π－2eq\r(3)，所以所求概率为eq\f(S△ABC,S曲)＝eq\f(\r(3),2π－2\r(3))＝eq\f(\r(3),2π－\r(3)).(2)在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)答案C解析因为圆心(0,0)，半径r＝1，直线与圆相交，所以圆心到直线的距离d＝eq\f(|3k|,\r(1＋k2))<1，解得－eq\f(\r(2),4)<k<eq\f(\r(2),4)，所以相交的概率P＝eq\f(\f(\r(2),2),2)＝eq\f(\r(2),4).思维升华(1)求解几何概型概率的步骤(2)与体积有关的几何概型的解题策略对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．跟踪训练3(1)(2021·全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取一个数，则两数之和大于eq\f(7,4)的概率为()A.eq\f(7,9)B.eq\f(23,32)C.eq\f(9,32)D.eq\f(2,9)答案B解析在区间(0,1)中随机取一个数，记为x，在区间(1,2)中随机取一个数，记为y，两数之和大于eq\f(7,4)，即x＋y>eq\f(7,4)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,1<y<2，,x＋y>\f(7,4).))在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界)，事件A“两数之和大于eq\f(7,4)”即x＋y>eq\f(7,4)中，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)，由几何概型计算公式得P(A)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2×\f(1,2),1×1)＝eq\f(23,32).(2)阳马是中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，且两个三角形侧面与底面垂直的四棱锥．在阳马P－ABCD中，PC为阳马P－ABCD中最长的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在阳马P－ABCD的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为()A.eq\f(1,27π) B.eq\f(4,27π)C.eq\f(8,27π) D.eq\f(4,9π)答案C解析根据题意，得PA⊥平面ABCD，PC的长等于阳马P－ABCD外接球的直径．∵PC＝eq\r(PA2＋AB2＋AD2)，∴PA＝2.∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)×1×2×2＝eq\f(4,3).又V球＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2)，∴该点位于阳马内的概率P＝eq\f(\f(4,3),\f(9π,2))＝eq\f(8,27π).课时精练1．在区间(0,6)内任取一个实数m，不等式m2－4m＋3<0的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,3)答案A解析由m2－4m＋3<0可得1<m<3，由几何概型可得，所求概率为eq\f(3－1,6－0)＝eq\f(1,3).2.《易经》是中国传统文化中的精髓．如图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，现从八卦图中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为()A.eq\f(1,14)B.eq\f(1,7)C.eq\f(3,14)D.eq\f(3,28)答案C解析从八卦中任取两卦，基本事件总数为n＝Ceq\o\al(2,8)＝28，这两卦的阳线数目相同的基本事件有6种，分别为(兑，巽)，(兑，离)，(巽，离)，(坎，艮)，(艮，震)，(坎，震)，∴这两卦的阳线数目相同的概率为P＝eq\f(6,28)＝eq\f(3,14).3．香港特别行政区区徽，呈圆形，位于徽面内圆中央的动态紫荆花图案为白色，由五片花瓣组成，每片花瓣中均有一颗红色五角星及一条红色花蕊镶在其间，香港特别行政区区徽代表祖国，白色紫荆花代表香港，紫荆花红旗寓意香港是祖国不可分离的一部分，并将在祖国怀抱中兴旺发达．花蕊上的五星象征香港同胞热爱祖国，采用红、白不同颜色，象征“一国两制”．其中紫荆花外辅助圆直径为区徽直径的eq\f(3,5)，现从区徽内任取一点，则该点取自紫荆花外辅助圆内的概率为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(9,25) D.eq\f(16,25)答案C解析设区徽直径为d，则紫荆花外辅助圆直径为eq\f(3,5)d，所以区徽的面积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))2＝eq\f(πd2,4)，紫荆花外辅助圆的面积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3d,10)))2＝eq\f(9πd2,100)，根据几何概型的公式得该点取自紫荆花外辅助圆内的概率为eq\f(\f(9πd2,100),\f(πd2,4))＝eq\f(9,25).4．将3个1和4个0随机排成一行，则3个1中任意2个1都不相邻的概率为()A.eq\f(1,14) B.eq\f(2,21)C.eq\f(2,7) D.eq\f(4,35)答案C解析先考虑总情况，7个位置选3个放1，有Ceq\o\al(3,7)种情况，再考虑任意2个1都不相邻的情况，将3个1插入4个0形成的5个空中，有Ceq\o\al(3,5)种情况，则概率为P＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(2,7).5．在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京冬奥会开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．墩墩同学要从24个节气中随机选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为()A.eq\f(3,22)B.eq\f(1,6)C.eq\f(3,23)D.eq\f(1,8)答案B解析从24个节气中选择4个节气，共有Ceq\o\al(4,24)种情况，这4个节气中含有“立春”的情况有Ceq\o\al(3,23)种情况，故这4个节气中含有“立春”的概率为eq\f(C\o\al(3,23),C\o\al(4,24))＝eq\f(1,6).6．某校对高一新生进行体能测试(满分100分)，高一(1)班有40名同学成绩恰在[60,90]内，绘成频率分布直方图(如图所示)，从[60,70)中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在[60,65)内的概率是()A.eq\f(7,15) B.eq\f(8,15)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,3)答案B解析由频率分布直方图知[60,65)内有2人，不妨记为a，b；[65,70)内有4人，不妨记为1,2,3,4.从6人中任抽2人的基本事件为{a，b}，{a,1}，{a,2}，{a,3}，{a,4}，{b,1}，{b,2}，{b,3}，{b,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共15个，事件“恰有一人的成绩在[60,65)内”的基本事件有8个，所以所求的概率为eq\f(8,15).7．一个路口的红绿灯，红灯的时间为40秒，黄灯的时间为10秒，绿灯的时间为50秒，当到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为________．答案eq\f(1,2)解析由题意知试验发生包含的事件是总的时间长度，为40＋10＋50＝100(秒)，绿灯的时间为50秒，所以当到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率P＝eq\f(50,100)＝eq\f(1,2).8.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从所有的小正方体中任取一个，恰好抽到中心方块的概率为________．答案eq\f(2,9)解析沿三等分线把正方体切开，得到27个同样大小的小正方体，1面有色的小正方体有6个，所以恰好抽到的是中心方块的概率是eq\f(6,27)＝eq\f(2,9).9．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．解(1)由题意，参加集训的男生、女生各有6名．参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(1,100)，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－eq\f(1,100)＝eq\f(99,100).(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.则P(B)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(3,5)，P(C)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(1,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,5).由互斥事件的概率加法公式，得P(A)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)＝eq\f(4,5)，故所求事件的概率为eq\f(4,5).10．某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表如图．B餐厅分数的频数分布表分数区间频数[0,10)2[10,20)3[20,30)5[30,40)15[40,50)40[50,60]35(1)在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由；(2)从对B餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率；(3)如果A餐厅把打分最低的10%和打分最高的10%人群称之为“口味独特”人群，反之为“正常口味”人群，请计算“正常口味”人群的打分范围．(近似到0.01)解(1)在抽样的100人中，对A餐厅评分低于30的人数为(0.003＋0.005＋0.012)×10×100＝20；由B餐厅分数频数分布表知，对B餐厅评分低于30的人数为10，所以如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，我会选择B家．(2)从对B餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人有Ceq\o\al(2,5)种选法，2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的选法有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,2)种，所以2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)×C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).(3)设打分最低的10%的范围为[0，x)，由题意得(0.003＋0.005)×10＋(x－20)×0.012＝0.1，解得x≈21.67，设打分最高的10%范围为[y,60)，由题意得(60－y)×0.04＝0.1，解得y＝57.5，所以“正常口味”人群的打分范围为[21.67,57.50)．11．某校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动．现有A，B，C，D四名同学拟参加足球、篮球、排球、羽毛球、乒乓球等五项活动，由于受个人精力和时间限制，每个人只能等可能的参加其中一项，则恰有两人参加同一项活动的概率为()A.eq\f(96,125) B.eq\f(72,125)C.eq\f(48,125) D.eq\f(24,125)答案B解析∵每人只能等可能的选择参加五