人教版七年级数学上册　全册教学讲义

目录

第一讲有理数的概念和数轴..............................................................................1

第二讲有理数的计算....................................................................................6

第三讲数轴与绝对值...................................................................................12

第四讲整式的概念及加减...............................................................................17

第五讲简单的整式化简求值.............................................................................22

第六讲整体代入与化简求值.............................................................................25

第七讲期中检测.......................................................................................27

第八讲定义新运算与找规律（二）.......................................................................27

第九讲一元一次方程...................................................................................32

第十讲一元一次方程...................................................................................39

第十一讲一元一次方程的应用...........................................................................45

第十二讲立体图形.....................................................................................51

第十三讲线段计算.....................................................................................56

第十四讲角度计算.....................................................................................66

第十五讲期末检测.....................................................................................73

1

第一讲有理数的概念和数轴

【知识点一】相反意义的量，正分数，有理数概念与分类

笔记：我们将0作为正负数的分界线.

正数:大于0的数.

负数:正数前面加上负号的数.

练习：下列数哪些是正数，哪些是负数？

①140()②-12()③+36%()@0()

注意：①正数前的“+”号可省略不写.②负数前的“一”号不可省略.③0既不是负数也不是正数.

有理数的分类：(1)按符号分：(2)按定义分

■［正整数

1正有叫正整屋数

整数0

有理数0有理数负整数

々右屈就/负整数

f正分数

负有理麴々八皿分数1

负分数

11负分数

练习：以下个数是否为有理数.

①罡()②0.6()③0.3()

3

注意：(1)有限小数和无限循环小数均可写成分数形式，所以它们也为有理数.

(2),史是整数，不是分数.

379

四非：①非负数：正数和0②非正数：分数和0

③非负整数：正整数和0④非正整数：负整数和0

35

练习：在下列数-士，+10,3,8,-11,0,—,-6,-:中’属于非负整数的个数有个・

423

例1.请将下列各数填入相应的集合内:

7355•

一一,1.01001000L0,加,—,-2626626662..(每2个2之间依次多一个6),-012

4113

正数集合：{);

负数集合：｛);

正分数集合：｛);

负分数集合：｛);

有理数集合：｛};

2

（2）下列说法正确的是（）

A.有最小的负整数，有最大的正整数B.有最小的负数，没有最大的正数

C.有最大的负数，没有最小的正数D.没有最大的有理数和最小的有理数

练习1-1.（1）3.1415926是（）

A.整数B.分数

C.无限循环小数D.非正数

（2）下列说法正确的是（）

A.整数分为正整数和负整数B.分数分为正分数和负分数

C.一个有理数不是正数就是负数D.0是整数，但不是最小的非负数

练习1-2.下列说法正确的是（）

A.一个数前面加上”-“号，这个数就是负数B.非负数就是正数

C.正数和负数统称为有理数D.0既不是正数也不是负数

【知识点二】数轴的概念与性质

数轴：规定了,和的直线.

注意：①原点：用0表示②正方形：通常向右为正③单位长度：0和1之间的长度

原点、正方向、单位长度统称为数轴的三要素.

III1IIIII

-4-3-2-101234

性质：（1）所有的有理数都可以用数轴上的点表示.

（2）原点左侧是负数,右侧是正数，从左到右数字依次增大.

练习：（1）把下列各数在数轴上表示出来，再比较大小.

—5，2・7,—,-7C........

3IIIIIIIII

-4-3-2-101234

（2）如果数轴上的点A到原点的距离为4,点B到原点的距离为5,那么两点的距离为.

（3）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数共

例2.有理数a,b在数轴上的位置如图所示，则。+匕的值（）

-1—•----A

a01h

A.大于0B.小于0C.小于“D.大于b

3

(2)有理数小〃在数轴上的位置如图，则下面的关系式中正确的个数为()

@a-b>0；②Q+5>0；③他>0；④同一网>0；(§)—>—；⑥一@>0；

abh

______I।।_____

b_0___a

A.2个B.3个C.4个D.5个

练习2-1.在数轴上A、B两点表示的数分别为mb,且点A在点B的左边，下列结论一定正确的是()

A.a+h<0B.a+Z?>0C.a—b<0D.a-b>0

练习2-2.数a、b在数轴上位置如图，下列结论正确的有(填序号).

①。+/?>0；②a<-Z?；@a2b>0；④----/<。；⑤一<:；

a-bab

______ii[

-h0a-

例3.(1)数轴上一对应的数是3的点A,沿着数轴某一方向移动了5个单位，则此时点A所对应的

数为.

(2)一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单

位，则小虫的起始位置所表示的数是()

A.6B.-2C.2或6D.-2或4

(3)一个跳蚤在一条直线上，从0点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位,

第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律跳下去，当它跳第2015次落下时，则落

点处离0点的距离为.(用单位表示).

练习3-1.(1)数轴上点A表示的数是T,点B到点A的距离为2个单位，则B点表示的数是.

(2)点A1,A2，A3，...,A“(〃为正整数)都在数轴上，点A在原点0的左边且AQ=1；点A?在点4的

右边且A2Al=2；点A3在点A2的左边且AC?=3；点A4在点A3的右边且A4A$=4,…，依照上述

规律，点所表示的数为.

练3-2.(1)如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B,再向右移动5个单位长度到达

点C.若点C表示的数为1,则点A表示的数为()

_______5：

_____।I。r

B.4。

A.7B.3C.-3D.-2

(2)在数轴上点A表示1,现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点A,,

第二次将点A向右移动6个单位长度到达点第三次将点为向左移动9个单位长度到达点按

照这种移动规律移动下去，则线段3A的长度是.

4

【知识点三】相反数的概念与性质

相反数代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数.特别的，0的相反数是0.

相反数几何定义:分布在原点两侧,且到原点距离相等.

常见考点：

(1)a的相反数为-a.

(2)若a,b互为相反数.则a+b=0

(3)多重符号化简：奇负偶正

练习：①正数和负数互为相反数()②相反数等于其本身的只有0()

③a的相反数是负数()④若两个数互为相反数，则他们异号()

练习：若3x+l是8的相反数，则犬=—分析：3x+l是8的相反数一3x+l=-8-x=-3

练习:b在数轴上的位置如图，请比较a,b,~a,的大小关系.

例4.(1)小明竟然不知道(|-1|-1)的相反数是什么，他在学校一定没有好好学习.你认为(|-2017|

-2017)的相反数是()

A.4030B.-4030C.0D.2015

(2)若a+Z?=O,b—c=O,c+d=0,d+e=O,e+/=O,则a,〃这六个字母中，与。为相反数的一

定有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

练习4-1.(1)下面说法正确的是()

A.正数和负数互为相反数B.相反数等于它本身的数只有0

C.。的相反数是负数D.若两个数互为相反数，则它们异号

(2)若2x+l是-9的相反数，则无=.

练习4-2.(1)如果。互为相反数，且bWO,则式子。+人在，时一忖的值分别为()

A.0,1,2B.1,0,1C.1,-1,0D.0,-1,0

(2)已知，与g互为相反数，且P#0,那么下列关系式正确的是()

A.p-q=lB.—=-1C.p+q=lD.p-q=Q

P

5

【知识点四】绝对值的概念及性质

绝对值：数轴上表示数。的点与度点的距离叫做a的绝对值，记作

a,a>0

绝对值的性质：记a,b为有理数则有：①非负性：|«|>0②时=<0,a=0

-a,a<0

③若a,b互为相反数，|4=用注意：若时=网，则a=b或a=-b

练习：(1)绝对值越大、这个数就越大(x)

(2)-同一定是负数(x)

(3)若|a|+a=0,则«<0(7)

(4)若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数(4)

练习：若卜一:+>+；=0，则k+y卜.

练习：已知有理数a,0,c满足回+超+0=-1,求四的值.

abcabc

分析：只有当a,"c满足两负一正时，才能使@+@+艮=-1成立，故。儿>0,畋1=-1.

abcabc

注意：多个绝对值相加，可以按正数个数分类讨论.

例5.(1)1不是T的()

A.绝对值B.相反数C.倒数D.平方数

(2)一个数的相反数和它的绝对值相等，那么这个数是()

A.正数B.负数C.非正数D.非负数

(3)已知a、b,都是有理数，且同=。加"则"=()

A.负数B.正数C.负数或零D.非负数

练习5T.(1)若|。+2|与|"5|互为相反数，求a,力各是多少.

6

（2）@+@+画的所有可能取值有哪些？

abab

练5-2.若a,人都是不为零的有理数，那么©—%的值为_________.

ab

附加题：

1.（1）a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，d是绝对值等于2的数,

贝lja+（—〃）+c+d=.

m

（2）已知a与b互为倒数，且必+—=0,贝1」加+〃二.

n

2•已知百+4+沪，求图）［嬴+而+制的值•

课堂练习

7

1.-2.5,+—,-3,2,0,4,5,T在中，负分数有（）

10

A:1个B:2个C:3个D:0个

2.下列说法：（1）有理数可分为分数和整数两大类；（2）有理数除了正数就是负数；（3）既不存在最小的

负整数,也不存在最大的正整数；（4）所有的整数除了正数就是0;（5）正整数的集合、负整数的集合、

正分数的集合、负分数的集合合并在一起就是有理数集合；（6）几个有理数相乘,当负因数有奇数个时,

积为负；（7）几个有理数相乘，当积为负数时,则负因数有奇数个;其中正确的个数有（）

A：3个B：4个C：5个D：6个

7

3.有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则下列各式正确的是（）

___________I•1______________1.r

-1a01b

A:a+h<0B:a—b<0C:ah>0D:-->0

b

4.如图，数轴上A、B两点分别对应有理数小乩则下列结论:①必>0;②0>0;③〃+0>0;④

同—网>0中正确的有（）

AB

a-10b1

A:1个B:2个C:3个D:4个

5.一个点从数轴上的原点开始,先向右移动2个单位长度,再向左移动3个单位长度,经过两次移动后

到达的终点表示的是什么数？（）

A:+5B：+1C：-1D：-5

6.下列说法中正确的是（）

A：正数和负数互为相反数B：数轴上,原点两旁的两个点所表示的数互为相反数

C：除0以外的数都有相反数D：任何一个数都有相反数

7.下列说法错误的是（）

A:一个正数的绝对值一定是正数B：一个负数的绝对值一定是正数

C：任何数的绝对值都不是负数D：任何数的绝对值一定是正数

8.已知时>a,网>〃，且向，则（）

a>bB:a<bC:a=bD:不能确定

9.已知卜一2|+归一3|+k一4|=0,则〃+2。+34的值为（）

A：12B：16C：18D：20

10.下列说法中，正确的是（）

A：有理数就是正数和负数的统称B：零不是自然数，但是正数

C：一个有理数不是整数就是分数D:正分数、零、负分数统称分数

11.有理数a,b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（）

________।II,

b0a

①Z?<a<0;②网<同,®ab>0,®a-h>ar\-h.

A:①②B:①④

C:②③D:④

8

12.一只蚂蚁从数轴上A点出发爬了4个单位长度到了表示T的点B,则点A所表示的数是（）

A：-3或5B：-5或3C:-5D:3

13.下列说法中正确的是（）

A:两个有理数不相等,那么这两个数的绝对值也一定不相等

B:任何一个数的相反数与这个数一定不相等

C：两个有理数的绝对值相等,那么这两个有理数不相等

D：两个数的绝对值相等,且符号相反,那么这两个数互为相反数

14.若|x-3|与|y+7|互为相反数，求3x+y的值.

15.已知a,b,c都是有理数，且a<Z?<O<c,求的值.

--a-----1----b----1-------

\a\\b\|4|

9

第二讲有理数的计算

【知识点一】有理数的加法

加法法则：

①同号两个数相加，取相同符号，并把绝对值相加.

②异号两个数相加，取绝对值较大加数符号，并用较大绝对值减较小绝对值.

③一个数与0相加，仍得这个数.

④互为相反的两个数相加和为0.

练习：计算

①(-6)+(-9)=.②18+0=.

③13+(-17)=.④4+(-4)=.

有理数的加法运算律：①互为相反数的两数相加得0(先算)②符号相同的数先加

③分母相同的数先加④相加得整数的数先加

练习：0.5-2+5.7+!-5+2.3=.分析：

2

原式=(0.5+-)+(5.7+2.3)-(2+5)=1+8-7=2

2

有理数减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数.

练习：①14-(-16)=14+()=.②-8-3=-8+()=.

③(-2)-(-4)=(-2)+(+4)=.

注意：①减号一加号②减数-它的相反数

例1.计算：

①7+(-13)十2|(2)(-0.6)+1.7+(+0.6)+(-1.7)+(-9)(3)[1.4-(-3.6+5.2)-4.3]-(-1.5)

练习1-1.0-32-(-17)-|-2^+(-15)(2)0.35+(-0.6)+0.25-(-5.4)

练12计算：①(一1.8)—[(+0.7)+(—0.9)+1.3+(—0.2)]

10

【知识点二】有理数乘法：(1)两数相乘，同号得正，异号得负.

(2)多个非零有理数相乘，“奇负偶正”

(3)QXO=O

练习：①—4x(—5)x(—2)=.

③-3x(-4)x(-1)x(-5)=.

有理数除法：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数.

练习：①0.5的倒数为=.②-0.6的倒数为=.

③-士的倒数为=.④的倒数为=

3-------7-------

有理数的混合运算：①先乘除后加减②同级运算，从左到右

③先确定符号，再计算绝对值.有括号的先算括号里的数.

注意：①有理数加减法中：减去一个数.等于加上这个数的相反数.

②除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.

练习：①[-]+(-：卜(-24)

ooJ

7|

解：原式=1-3x(-24)+-x(-24)-x(-24)

=32-21+4=15

例2.计算:

3

①xl3xl-x

3

352|28《0.25”：

练习2-1.计算:①0.6xxX②

11

练习2-2.①

【知识点三】有理数的乘方

。心…身

形式：如图，相读作。的〃次暴(。的〃次方)M

n个a嬲希

练习：化成指数形式

性质：(1)正数的任意次幕均为正(2)0的任意正整数次基均为0

(3)负数的指数幕“奇负偶正”

练习：计算®23=.(-2)3=.(-3)-=.

②-32=.(-1)20,8=.-120,8=.

思考：(-J"与_产18分别表示什么意义？

①(-1)20'8表示.②-I20,8表示.

(答案：①2018个T相乘；②2018个1相乘的相反数)

例3.(1)下列各组中的两个数，运算后结果相等的是()

及《与情

A.—S,00与(―3，°°B.59与炉C.—7265与(一7片5

(2)对于任意有理数。，下列各式一定成立的是()

A.a1—(―a)?B.a，=(―a)3C.—a1D./

练习3-1.下列各对数中，数值相等的是()

A.—42与—33B.-3,与(―3)3c-42与(―4)2D(—4x3)2与—4x3?

练3-2.已知有理数mb,若/=〃，则一定有()

A.a=bB.a——bC.a=±bD.以上都不对

12

【知识点四】有理数五则混合运算

五则混合运算:

①先乘方，再乘除，最后加减②同级运算，从左到右，依次进行③括号：小f中f大

练习：(D(-2)5-2X(-5)+|4-5|-(-1)100②一[—5+(1—0.5X4)X2]

解：原式=(-32)+10+1-1=_32解：原式=T-[-5+(1-2)x2]=1-[-5+(1)x2]=6

例4.计算：①(-2)5+1-16xg)一(一;x(-34)②产一X2'3

练习4-1.计算:

练4-2.计算:①0.25x(-2)2-②㈠产+24』(—2)1—33

【知识点五】有理数的巧算-凑整法

凑整：①构造整式②把好算的数放一起先算

练习：33.6+22-82+66.44解：原式=(33.66+66.44)+(-82+22)=100+(-60)=40

练习：(1)1+92+993+9994+99995

解：原式=(10-9)+(100-8)+(1000-7)+(10000-6)+(100000-5)

=(10+100+1000+10000+100000)-O+8+7+6+5)=111110-35=111075

135

(2)1.73+(--)+(+-)+(-0.23)+(--)

656

153311

解：原式二(1.73-0.23)++-=1.5+(-1)+-=—

665510

13

例5.计算:

①[+131H+55扑（+7|卜卜4汨一叫C1

②力-日《一2—F

4

练5-1.①9+91+195+1996+19997+199998+1999993

+(+1.05)

练习5-2.计算：

①n+192+1993+19994+199995

②—2.39+(―1.57)+(+3彳)+(—5—+(―2%)+(—7.61)+(—32—+(+1.57)

【知识点六】有理数的巧算-裂项

一些特殊构造的数能够拆成几项，进而互相抵消，使运算简化.

常用拆顷公式：

小11141rli11e11C11111nl

n(n+l)nn+11x212n[n+k)kn+k)1x32113

…।5791113151719

例6.1——+---------+----------+----------+—

612203042567290

14

任」…1111

练习6-1.-----+------+------++

1x22x33x42014x2015

练6-2•3211

H----------1-…H----------------

5x799x101

附加题:

1.为了求1+2+22+23+...+22°08的值，可令5=1+2+22+23+...+22°08,

则2s=2+2?+23+24+…+22009,0^25-5=22009-1.则1+2+22+2、…+？?*??00—.仿照以上

推理计算.7+7+72+73+...+7236+22°"的值.

2.计算：:+(•+*•+...

课堂练习

1.计算：(+6.2)+(V.6)—(―3.6)—(―2.8)=()

A:5B:6C:8D：-8

i43

2.i+W：3.8+4--(+6-)-(-8-)=()

454

A:7B:10C:20D:22

15

3.下列说法正确的是（）

A：两个有理数相加,和一定大于每一个加数

B：异号两数相加,取较大数的符号

C:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加

D:异号两数相加,用绝对值较大的数减去绝对值较小的数

]4

4.计算：-45x——45x—+45x0.4=（）

93

A:47B:83C：-42D：-47

7377

5.计算：（--）^（1-----）=（）

o4o12

A:1B:2C:-1D:-3

6.如果而=0,那么a,。的值为（）

A：都为0B：不都为0C：至少有一个为0D：都不为0

7.下列说法中错误的是（）

A:一个数同0相乘，仍得0B:一个数同1相乘,仍得原数

C:一个数同T相乘得原数的相反数D:互为相反数的两数之积是1

8.下列各组数中，相等的是（）

5115

A:（-2）2与-2zB：-399与（_3产c：43与3，D:——与-（芋

77

9.对于任意有理数a,下列各式一定成立的是（）

A：a2=-a2B：（-a）3=-a3C:-a4=\a^D:-|a3|=-a3

10.计算25.7+（—7.3）+（-13.7）-（一5.3）的结果为（）

A:8B:10C:12D:-0.6

11.已知a>b且a+》=0,则（）

A：a<0B：a>0C：b<0D：b>0

12.若a+h<0,而<0,则（）

A:a>0,b>0

B:a<0,b<0

C:a,。两数一正一负,且正数的绝对值大于负数的绝对值

D：a,。两数一正一负,且负数的绝对值大于正数的绝对值

13.下列各组数中，数值相等的是（）

23

A:—『与(一I)?B：—C：-(-2)9与—2—9D：(—3)5与—3$

3

16

.1421

14.计算：(l)72x(l--+l--)(2)-1一(一55)乂仃+(-2),+|-3一+1|

23412

15.计算:

(1)(-1严7-(-3冈；-g|十；Q77

(2)(-3)2-(-)2X-+6^|--|3

17

第三讲数轴与绝对值

【知识点一】数轴距离公式

-2-10123

DF=思考2与3,1的关系2=.

BF=思考4与3,T的关系4=.

AC=思考2与0,-2的关系2=.

距离公式：在数轴上，点A点B所对应的数分别a,"且。＞力，则A,B两点的距离为.（大减小）

注意：若不知道。、〃的大小，则。、〃两点之间的距离可表示为.（作差取绝对值！）

练习：①数轴上表示-2和5的两点之间距离为.

②数轴上有A,B两点，点A表示1,点A与B的距离为5,则B表示.

③数轴上表示x和-2的两点之间距离为.

④数轴上表示加与n两点之间的距离为.

答案：①7②-4或6③|x+2|@|m-n|

例1.（1）数轴上表示2和4两点之间的距离是；表示-3和1两点之间的距离是；

（2）数轴上与原点的距离为5的数是；如果表示数。和-1的两点之间的距离是3,那么〃=

练习1-1.（1）如果数轴上表示2和-4的两点分别是点A和点B,那么点A和点B之间的距离是（）

A.-2B.2C.-6D.6

（2）数轴上点A、B表示的数分别是a,b,则点A,B之间的距离为（）

A.a+bB.a-hC.4D.\a-t\

练1-2.（1）在数轴上，与表示数-2的点的距离是5的点表示的数是（）

A.3B.-7C.±7D.3或者-7

（2）在数轴上把数2对应的点移动3个单位后所得的对应点表示的数是（）

A.5B.-1C.5或TD.不确定

18

【知识点二】数轴中点公式

ABCDEF

111111-

-2-10123

CE的中点：思考0与T,1的关系0=.

DF的中点：思考1与0,2的关系1=.

AE的中点：思考T与-3,1的关系-1=.

中点公式：数轴上，点A,B,C所对应的数分别为a,b,c且点C为AB的中点，则C=*.

2

注意：求中点取平均

练习：

①若数轴上点A表示-5,点B表示10,则AB中点表示的数为.

②数轴上点A,B分别表示2,5,已知点B是A,C的中点，则点C表示的数为.

③在纸上画一个数轴，将纸对折后，若表示5的点与表示T的点怡好重合，则此时数轴上折痕经过

的点表示的点是.

例2.(1)已知数轴上点A对应的数为-3,点B对应的数为5,则A、B两点的中点对应的数为；

(2)已知数轴上点A对应的数为-4,点B对应的数为b,线段AB的中点对应的数为2.5,则b=.

(3)如图，数轴的单位长度为1,点A、B、C、D对应整数a、b、c、d,且b-2a=9,那么数轴

的原点对应点是A、B、C、D中的点,线段AC的中点对应的数为.

_______IIIII1IIII______►

ARCD

练习2-1.(1)若数轴上点A表示5,点B表示-7,则AB中点表示的数是.

(2)数轴上，表示数2、1的点分别为B,A,已知点B是A、C的中点，则点C对应的数是.

练2-2.已知在纸面上有一数轴，折叠纸面：

(1)若3表示的点与-3表示的点重合，则-4表示的点与数表示的点重合；

(2)若T表示的点与5表示的点重合，则6表示的点与数表示的点重合.

(3)在(1)的条件下，重合的两点之间的距离为2016,则这两点表示的数分别为.

【知识点三】数轴动点问题

①点A对应的数为2.向右运动5个单位对应的数为.

②点A对应的数为-2.以1个单位每秒向右运动t秒后对应的数为.

③点A对应的数为a,以2个单位每秒的速度向左运动t秒后对应的数为.

总结：数轴上动点对应的数可以用起始点加减距离表示：向右加，向左减.

练习：如图，已知A,B两点在数轴上，点A表示的数为-10,[[][[][[]][[

19|-4-3-2-101234s6

0B=30A,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动.

点N以每秒2个单位长度的速度从点0向右运动(点M、点N同时出发).A0

11

---------------

经过几秒，点M,点N分别到原点0的距离相等？-100

解：设经过X秒，点M、点N分别到原点0的距离相等，此时点M对应的数为3x-10,点N对应的数

为2x.

①点M、点N在点0两侧，则10-3x=2x,x=2.②点M、点N重合，则3x-10=2x,x=10.

例3.如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为-20,B点对应的数为100.

AB

~=20rfe*

(1)求AB中点M对应的数；

(2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好

从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的

数；

(3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从

A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的

数.

练习3-1.已知在数轴上有A,B两点，点A表示的数为8,点B在A点的左边，且AB=12.若有一

动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以

每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒.解决问题：

BA

|Ir

(1)当1=1秒时，写出数轴上点B,P所表示的数；

(2)若点P,Q分别从A,B两点同时出发，问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？

练3-2.动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后,

20

两点相距15个单位长度.已知动点A,B的速度比是1：4.(速度单位：单位长度/秒)

1IIIIIII1II.

-8-6-4-2024681012

(1)求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A,B两点从原点出发运动3秒时的位置；

(2)若A,B两点从(1)中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；

(3)在(2)中A,B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A运动，

当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，知道B追上A时，

C立即停止运动.若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动

的路程是多少单位长度.

【知识点四】限定条件的绝对值化简

绝对值化简步骤：

①判断绝对值符号或式子的正负②去掉绝对值符号并注意是否需添符号

③合并同类项，化简求值

练习：化简5](x<0)易知X—5<0=>|x—5|=—(X—5)=5—x

注意：①去绝对值符号时，将绝对值符号内的数(或式子)看作一个整体并注意去括号时符号的变化.

②间接给出范围时，条件一字母范围n绝对值内符号

例4.(1)化简下列各式：

①|2元+5|②(«+/?<5)

(2)已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|.化简

M一|c_4+-1-2Z?|,

Ct6a*

练习4-1.化简下列各式：

21

①卜2x+8|(x>4)②|2a-3)-8|(2«-3/?<9)

练4-2.已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示.化简：HTa+.Tc—d+Za—q

IIIIJ

c0Clh

【知识点五】绝对值几何意义求最值

卜-4的几何意义：数轴上x与。之间的距离.

思考：如何利用绝对值的几何意义？

例：卜―1|+k+2的最小值为.

分析：卜-1|表示x到1的距离；|x+2|表示x到-2的距离

笔记：求上一⑷+上一局+上一局+…+卜一。”|(414生号…最小值.

①若”为奇数,当尤="“+］取中心点处，值最小.

②若〃为偶数，当明4x4。四取中心区域处，代数式取最小值.

2~1~

练习：求k+3|+,一1|+k一2|最小值为.

分析：〃为奇数，当x取第2项即x=l时取最小值为5.

例5.求|x-2|+|x-7|的最小值.

练习5-1.求代数式3+卜-6|的最小值是.

练5-2.若代数式卜-3|+卜-6|取最小值，则x的取值范围是.

附加题：

1.满足卜+5|+卜_2|的x的整数值有.2.卜+2|+,_2|+卜_1|的最小值是

课堂练习

22

1.在数轴上,表示-7与表示数2的点的距离是（）

A:5B：-5C:9D:-9

2.数轴上一点A,一只蚂蚁从A出发爬了4个单位长度到了原点,则点A所表示的数是（）

A:4B：-4C:±8D：±4

3.数轴上点A、B表示的数分别是5、-3,则A的中点对应的数为（）

A：-lB:0C:1D:4

4.如图,数轴上有A、B$B.c,D0$整数点（即各点均表示整数），且3AB=BC=2CD.若A、D两点所表示的数

分别是-6和5,则线段AC的中点所表示的数是（）

ABCD

____I______|_________।_____।______L.

-6___________0____________3

A：-3B:-2C：-lD：1

5.一只蜗牛从数轴上表示T2的点出发，以个3单位分钟的速度向右爬,则出发（）分钟后才能到达

数轴上表示6的点.

A:2B:3C:4D:6

6.点A、B在数轴上表示的数分别为T2和8,两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行.M

的速度为2个单位长度/秒,N的速度为3个单位长度/秒.则当两只蚂蚁相遇时所用的时间和相遇点在

数轴上表示的数分别是（）