苏教版初升高一初数学预习专题02乘法公式-初升高数学无忧衔接(学生版+解析)

专题02乘法公式专题专题综述课程要求初中对于乘法公式的讲解，主要集中在基础的多项式乘多项式以及两个特殊公式（完全平方、平方差）。相较于初中的乘法公式学习，高中的要求相对上升不少，在原来的基础上增加了一部分公式，主要有三项式和的平方、立方和公式、立方差公式、两数和的立方、两数差的立方等。课程要求课程要求《初中课程要求》1、能够熟练掌握并运用多项式乘法；2、能够根据多项式乘法，推导出完全平方公式和平方差公式；3、能从广义上理解两个特殊公式中字母的含义。《高中课程要求》1、在掌握多项式乘法的基础上进一步巩固提升；2、能够掌握三项和的平方、立方和、立方差、两数和（差）的平方公式等；3、合理运用公式理解公式意义。知识精讲知识精讲初中知识储备：乘法公式初中知识储备：乘法公式备：绝对值我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式（a+b（2）完全平方公式（a±b高中增加知识：乘法公式高中增加知识：乘法公式备：绝对值我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式（a+b（2）立方差公式（a−b（3）三数和平方公式（a+b+c（4）两数和立方公式（a+b（5）两数差立方公式（a−b典例剖析典例剖析例题1．对于实数a，b，c定义一种新运算，规定例如：（1）求；（2）如图，在矩形ABFG和矩形BCDE中，，，，，若，．连接AF和AD，求图中阴影部分的面积；（3）若，求的值．

变式训练变式训练1.甲、乙两人各持一张分别写有整式、的卡片．已知整式，下面是甲、乙二人的对话：甲：我的卡片上写着整式，加上整式后得到最简整式；乙：我用最简整式加上整式后得到整式．根据以上信息，解决下列问题：（1）求整式和；（2）请判断整式和整式的大小，并说明理由．能力提升能力提升1.数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现：由；；；；；猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．猜想证明：∵∴①当且仅当，即时，，∴；②当，即时，，∴．综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？

对点精练对点精练1．利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（）A． B．C． D．2．如图，有10个形状大小一样的小长方形①，将其中的3个小长方形①放入正方形②中，剩余的7个小长方形①放入长方形③中，其中正方形②中的阴影部分面积为22，长方形③中的阴影部分面积为96，那么一个小长方形①的面积为（）A．5 B．6 C．9 D．103．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．4．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（）A．22 B．24 C．42 D．445．如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．把面积为，的小正方形和面积为的两个长方形拼成如图所示的大正方形．那么，大正方形的边长为_____．（，）7．如图，长方形的面积为5，且长比宽多3，以该长方形中相邻的两边为边长向外作两个正方形（如图所示），则这两个正方形（阴影部分）的面积之和为________．8．计算：（1）若x满足则的值为____；（2）如上图，，长方形的面积是50，四边形和以及都是正方形四边形是长方形，则图中正方形的面积为_______．9．如图，长方形的边，E是边上的一点，且，F，G分别是线段，上的动点，且，现以，为边作长方形，以为边作正方形，点H，I均在长方形内部．记图中的阴影部分面积分别为，长方形和正方形的重叠部分是四边形，当四边形的邻边比为3∶4，的值为________．10．如图，把三个大小相同的正方形放在边长为7的大正方形中，重叠部分的正方形面积分别记为a和c，延长线构成的正方形面积记为b，若，且，则图中阴影部分面积的值为_________．11．用幂的性质计算：．12．已知，化简并求值：．13．某公园对一个边长为a（a＞1）的正方形花坛进行改造，由于占地需要，正方形花坛南北方向需要缩短1米，使其形状成为长方形．为了使花坛中的绿植面积不变，公园决定将花坛向东侧扩展，使得到的长方形面积和原来正方形的面积相等．（1）小明说：这太简单了，把正方形南北方向减少1米，在花坛东侧增加1米就行了．这样得到的长方形的周长和面积与原来正方形的周长和面积都相等．你认为小明说的对吗？请你说明理由．（2）如果原来正方形的花坛边长是5米，在只保证面积不变的情况下，请你计算出改造后，向东扩展了多少米？（3）如果正方形的花坛边长是a米，在只保证面积不变的情况下，请你用代数式表示出改造后长方形的长．14．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：对于两个数a，b，称为a，b这两个数的算术平均数，称为a，b这两个数的几何平均数，称为a，b这两个数的平方平均数．小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：（1）若a=-1，b=-2，则M=，N=，P=；（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：（把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．15．现定义运算，对于任意有理数a，b，都有如：，．（1）若，求x的取值范围；（2）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，计算：．专题02乘法公式专题专题综述课程要求初中对于乘法公式的讲解，主要集中在基础的多项式乘多项式以及两个特殊公式（完全平方、平方差）。相较于初中的乘法公式学习，高中的要求相对上升不少，在原来的基础上增加了一部分公式，主要有三项式和的平方、立方和公式、立方差公式、两数和的立方、两数差的立方等。课程要求课程要求《初中课程要求》1、能够熟练掌握并运用多项式乘法；2、能够根据多项式乘法，推导出完全平方公式和平方差公式；3、能从广义上理解两个特殊公式中字母的含义。《高中课程要求》1、在掌握多项式乘法的基础上进一步巩固提升；2、能够掌握三项和的平方、立方和、立方差、两数和（差）的平方公式等；3、合理运用公式理解公式意义。知识精讲知识精讲初中知识储备：乘法公式初中知识储备：乘法公式备：绝对值我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式（a+b（2）完全平方公式（a±b高中增加知识：乘法公式高中增加知识：乘法公式备：绝对值我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式（a+b（2）立方差公式（a−b（3）三数和平方公式（a+b+c（4）两数和立方公式（a+b（5）两数差立方公式（a−b典例剖析典例剖析例题1．对于实数a，b，c定义一种新运算，规定例如：（1）求；（2）如图，在矩形ABFG和矩形BCDE中，，，，，若，．连接AF和AD，求图中阴影部分的面积；（3）若，求的值．

【答案】（1）15；（2）；（3）【分析】（1）根据新定义运算法则计算即可；（2）根据新定义运算法则列出方程，得到，运用完全平方公式可得，再把这两个条件代入阴影面积的代数式可得；（3）根据新定义运算法则列出方程，配方得，根据非负数性质可得．【详解】（1）=故答案为：15（2）又（3），【点睛】考核知识点：新定义运算、乘法公式．熟练掌握完全平方公式是关键．变式训练变式训练1.甲、乙两人各持一张分别写有整式、的卡片．已知整式，下面是甲、乙二人的对话：甲：我的卡片上写着整式，加上整式后得到最简整式；乙：我用最简整式加上整式后得到整式．根据以上信息，解决下列问题：（1）求整式和；（2）请判断整式和整式的大小，并说明理由．【答案】（1）；；（2）；答案见解析．【分析】（1）依题意可得，代入各式即可求解；（2）化简，根据配方法的应用即可求解．【详解】解：（1）．∵，∴．（2）．理由：．∵，∴．【点睛】此题主要考查整式的加减及配方法的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用．能力提升能力提升1.数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现：由；；；；；猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．猜想证明：∵∴①当且仅当，即时，，∴；②当，即时，，∴．综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？

【答案】（1），函数的最小值为2；（2），函数的最小值为5；（3）每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；变式探究：将原式转换为，再根据材料中方法计算即可；拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．【详解】猜想运用：∵，∴，∴，∴当时，，此时，只取，即时，函数的最小值为2．变式探究：∵，∴，，∴，∴当时，，此时，∴，（舍去），即时，函数的最小值为5.拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得：，即，∵，，∴，即，整理得：，即，∴当时，此时，，即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为．【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．对点精练对点精练1．利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式的特征进行判断，然后根据公式特点进行计算．【详解】解：A、不符合完全平方公式的特征且计算错误，完全平方公式的中间一项为，所以不符合题意；B、不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为，所以不符合题意；C、，所以符合题意；D、不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为，所以不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的特征，识记且熟练运用完全平方公式：是解答问题的关键．2．如图，有10个形状大小一样的小长方形①，将其中的3个小长方形①放入正方形②中，剩余的7个小长方形①放入长方形③中，其中正方形②中的阴影部分面积为22，长方形③中的阴影部分面积为96，那么一个小长方形①的面积为（）A．5 B．6 C．9 D．10【答案】A【分析】设①小长方形的长为，宽为b，根据正方形阴影面积=正方形面积-3个小长方形面积=22根根据大长方形阴影面积为长为，宽为的长方形面积-7个小长方形面积=96列方程求出即可．【详解】解：设①小长方形的长为，宽为b，根据②正方形边长为，阴影面积为，根据③大长方形的长为，宽为，阴影面积为，∴联立得，整理得，解得，一个小长方形①的面积为5．故选择A．【点睛】本题考查图形阴影面积应用问题，多项式乘法与图形面积，完全平方公式，仔细分析图形，从中找出等量关系，正方形阴影面积=正方形面积-3个小长方形面积=22，大长方形阴影面积为长为，宽为的长方形面积-7个小长方形面积=96，列方程组是解题关键．3．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D．【详解】解：A、∵两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积，∴ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积，∴4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积，∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、∵四个小图形面积和=大正方形面积，∴ab+b2+a2+ab=（a+b）2，∴a2+2ab+b2=（a+b）2，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公式是解题关键．4．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（）A．22 B．24 C．42 D．44【答案】C【分析】由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，进而得到ab＝10，由图3可知，阴影部分面积（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．【详解】解：设正方形A、B的边长分别为a、b，由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，所以ab＝10，由图3可知，阴影部分面积为（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．故选：C．【点睛】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．5．如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，可得m+n=22，再根据长方形面积公式可得mn=120，再根据完全平方公式即可求解．【详解】解：∵花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，∴2（m-3）+2（n-3）=32，∴m+n=22，∵mn=120，∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484，∴m2+n2=244，∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4，∵m＞n，∴m-n=2．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是灵活运用完全平方公式．6．把面积为，的小正方形和面积为的两个长方形拼成如图所示的大正方形．那么，大正方形的边长为_____．（，）【答案】【分析】先根据图形求出大正方形的面积，从而求出大正方形的边长即可．【详解】解：观察图形可知大正方形的面积为：则大正方形的边长为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了整式的加减法，完全平方公式的逆用，熟记公式并能灵活运用是解题的关键．7．如图，长方形的面积为5，且长比宽多3，以该长方形中相邻的两边为边长向外作两个正方形（如图所示），则这两个正方形（阴影部分）的面积之和为________．【答案】19【分析】由于AD-AB=3，AD•AB=5，利用完全平方公式求出AD2+AB2，结论可得．【详解】解：∵长AD比宽AB多3，∴AD-AB=3．∵长方形ABCD的面积为5，∴AD•AB=5．∵（AD-AB）2=AD2-2AD•AB+AB2，∴AD2+AB2=（AD-AB）2+2AD•AB=9+10=19．∴S阴影＝AD2+AB2=19．故答案为：19．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，对完全平方公式适当变形是解题的关键．8．计算：（1）若x满足则的值为____；（2）如上图，，长方形的面积是50，四边形和以及都是正方形四边形是长方形，则图中正方形的面积为_______．【答案】120204【分析】（1）设（30-x）=m，（x-20）=n，求出mn和m+n，利用完全平方公式计算即可；（2）根据正方形ABCD的边长为x，AE=2，CG=4，所以DE=x-2，DG=x-4，得到（x-2）（x-4）=50，设x-2=a，x-4=b，从而得到ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2，根据题意求出（a+b）2，即可求出正方形NFMP的面积．【详解】解：（1）设（30-x）=m，（x-20）=n，∴（30-x）（x-20）=mn=-10，∴m+n=（30-x）+（x-20）=10，∴（30-x）2+（x-20）2，=m2+n2，=（m+n）2-2mn，=102-2×（-10）=120；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE=2，CG=4，∴DE=x-2，DG=x-4，∴（x-2）（x-4）=50，设x-2=a，x-4=b，∴ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2，则（a+b）2=（a-b）2+4ab=22+4×50=204，∴正方形NFMP的面积为：204，故答案为：（1）120；（2）204．【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用．9．如图，长方形的边，E是边上的一点，且，F，G分别是线段，上的动点，且，现以，为边作长方形，以为边作正方形，点H，I均在长方形内部．记图中的阴影部分面积分别为，长方形和正方形的重叠部分是四边形，当四边形的邻边比为3∶4，的值为________．【答案】7或【分析】利用长方形及正方形的性质可求解KI=2DG-10，KH=DG-3，根据当长方形KILH的邻边的比为3：4可求解DG的长，再利用DG的长分别求解AF，CG，AJ的长，进而可求解，注意分类讨论．【详解】解：在长方形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=13．∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为长方形，BF=DG，∴四边形KILH为长方形，KI=HL=2DG-AB=2DG-10．∵BE=BA=10，∴LG=EC=3，∴KH=IL=DG-LG=DG-3．当长方形KILH的邻边的比为3：4时，（DG-3）：（2DG-10）=3：4，或（2DG-10）：（DG-3）=3：4，解得DG=9或，当DG=9时，AF=CG=1，AJ=4，∴S1+S2=AF•AJ+CE•CG=1×4+1×3=7；当DG=时，AF=CG=，AJ=，∴S1+S2=AF•AJ+CE•CG==故答案为7或．【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．10．如图，把三个大小相同的正方形放在边长为7的大正方形中，重叠部分的正方形面积分别记为a和c，延长线构成的正方形面积记为b，若，且，则图中阴影部分面积的值为_________．【答案】【分析】设小正方形的边长为x，求出x值，设的边长为，的边长为，根据图形列出关于m和n的方程，求出，再根据S阴影求出结果．【详解】解：设小正方形的边长为，则，则，设的边长为，的边长为，则，，又，，∴，又，∴，又①，∴②，由①知，∴③，由②知，∴④，∴③-④，得：，∴，∴S阴影，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是理解题意，读懂图形中各部分的关系，列出关系式．11．用幂的性质计算：．【答案】2【分析】根据平方差公式和分数指数幂运算法则进行运算即可.【详解】解：原式＝＝.【点睛】本题考查分数指数幂、平方差公式熟记公式，掌握分数指数幂的运算法则是解答的关键.12．已知，化简并求值：．【答案】16或80【分析】原式利用平方差公式及完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，再利用幂的乘方运算得到a，b的值，代入计算即可．【详解】解：===∵，∴a=±2，2b-2=6，∴b=4，当a=2时，原式==；当a=-2时，原式==．【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，幂的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．某公园对一个边长为a（a＞1）的正方形花坛进行改造，由于占地需要，正方形花坛南北方向需要缩短1米，使其形状成为长方形．为了使花坛中的绿植面积不变，公园决定将花坛向东侧扩展，使得到的长方形面积和原来正方形的面积相等．（1）小明说：这太简单了，把正方形南北方向减少1米，在花坛东侧增加1米就行了．这样得到的长方形的周长和面积与原来正方形的周长和面积都相等．你认为小明说的对吗？请你说明理由．（2）如果原来正方形的花坛边长是5米，在只保证面积不变的情况下，请你计算出改造后，向东扩展了多少米？（3）如果正方形的花坛边长是a米，在只保证面积不变的情况下，请你用代数式表示出改造后长方形的长．【答案】（1）小明的说法不对，理由见解析；（2）向东扩展米；（3）【分析】（1）理由平方差公式求出小明所得的图形面积，与原图形面积相比较即可得到答案；（2）设向东扩展x米，根据题意得方程，解方程即可；（3）利用长方形的面积公式计算即可【详解】解：（1）小明的说法不对，理由如下：由题意得：，∴小明的说法