备战2024年高考数学一轮复习2.2基本不等式(精练)(原卷版+解析)

2.2基本不等式（精练）（提升版）题组一基本不等式常考形式1．（2022·全国·高三专题练习）设，，且恒成立，则的最大值是（

）题组一基本不等式常考形式A． B． C． D．2．（2022·山东·济南市历城第二中学）已知，则的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2022··一模）（多选）已知，且，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为4．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）（多选）已知，，且，则（

）A．xy的取值范围是 B．的取值范围是C．的最小值是3 D．的最小值是5．（2022·山东德州·高三期末）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为 B．的最小值为16C．的最大值为 D．的最小值为6．（2022·上海交大附中高三开学考试）设，，则的最小值是（

）A．4 B． C．2 D．17．（2022·全国·高三专题练习）（多选）当，，时，恒成立，则的取值可能是（

）A． B． C．1 D．28．（2022·重庆·高三阶段练习）已知，且，则的最小值为__________.9．（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．题组二题组二基本不等式与其他知识点的综合运用1．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数的一个极值点为1，若，则的最小值为（

）A．10 B．9 C．8 D．2．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知、，直线，，且，则的最小值为（

）A． B．C． D．4．（2022·江西·模拟预测（理））若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．85．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若，，，则的最小值等于（

）A．2 B． C．3 D．6．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）若两圆（）和（）恰有三条公切线，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．27．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）已知a、b、c、d均为正实数，且，则的最小值为（

）A．3 B．C． D．8．（2022·安徽·池州市第一中学）中，为边上的点（不包括端点、），且，满足则（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值9．（2022·安徽安庆·二模（文））如图，在中，点在边上，且.过点的直线分别交射线、于不同的两点、.若，，则（

）A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值10．（2022·甘肃张掖·高三期末（理））在等差数列中，且，则的最大值等于（

）A．4 B．6 C．8 D．911．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）若函数的最大值为2，则下列结论不一定成立的是（

）A． B．C． D．12．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（

）A． B． C．2 D．413．（2022·全国·高三专题练习（理））已知随机变量，若，则的最小值为___________.14．（2022·河南濮阳·高三阶段练习（理））已知，，直线与曲线相切，则的最小值是______．题组三题组三连用两次基本不等式1.已知a＞b＞0，那么a2＋eq\f(1,ba－b)的最小值为________．2.若x，y是正数，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))2的最小值是________．2.2基本不等式（精练）（提升版）题组一基本不等式常考形式1．（2022·全国·高三专题练习）设，，且恒成立，则的最大值是（

）题组一基本不等式常考形式A． B． C． D．【答案】C【解析】等价于，故得到则的最大值是4.故选：C.2．（2022·山东·济南市历城第二中学）已知，则的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】，因为，又，所以，则，当且仅当，即时，取等号，即的最小值是7.故选：C3．（2022··一模）（多选）已知，且，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为【答案】BC【解析】，且，，对于A，利用基本不等式得，化简得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；对于B，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；对于D，利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，，，故D错误；故选：BC4．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）（多选）已知，，且，则（

）A．xy的取值范围是 B．的取值范围是C．的最小值是3 D．的最小值是【答案】BD【解析】因为，，所以，所以，解得，即，则A错误.因为，，所以，所以，即，解得，则B正确.因为，所以，则，当且仅当即时等号成立.因为.所以，则C错误.，当且仅当即时等号成立，则D正确.故选：BD5．（2022·山东德州·高三期末）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为 B．的最小值为16C．的最大值为 D．的最小值为【答案】ACD【解析】由可得，，（当且仅当时，取等号），故A正确；（当且仅当时，取等号），即，故D正确；（当且仅当时，取等号），（当且仅当时，取等号），即，故B错误；，即（当且仅当时，取等号），故C正确；故选：ACD6．（2022·上海交大附中高三开学考试）设，，则的最小值是（

）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【解析】因为，，，设，，所以，当且仅当，即时等号成立．故选：C．7．（2022·全国·高三专题练习）（多选）当，，时，恒成立，则的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2【答案】AB【解析】因为，，所以，当且仅当时，等号成立．因为．若恒成立，则，解得．故选：AB.8．（2022·重庆·高三阶段练习）已知，且，则的最小值为__________.【答案】2【解析】因为，所以=2，当且仅当，即，即时，等号成立.故答案为：29．（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．【答案】【解析】由题意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）＝4＋5＋＋≥9＋2＝，当且仅当＝，时取等号，此时，故的最小值为．故答案为：题组二题组二1．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数的一个极值点为1，若，则的最小值为（

）A．10 B．9 C．8 D．【答案】B【解析】对求导得，因为函数的一个极值点为1，所以，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9.故选：B.2．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数且的图象恒过定点，所以，即，所以，又，所以所以，当且仅当，即时取等号.故选：C.3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知、，直线，，且，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为、，直线，，且，所以，即，所以，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为，故选：D4．（2022·江西·模拟预测（理））若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．8【答案】B【解析】由题可知圆的圆心为，若圆上存在两点关于对称，则说明直线过圆心，即，即，变形可得故当且仅当，即时取得等号，故最小值为4.故选：B5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若，，，则的最小值等于（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【解析】由，且，所以，又由，可得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以最小值等于.故选：D.6．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）若两圆（）和（）恰有三条公切线，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】圆化为，则圆心为，半径，圆化为，则圆心为，半径，因为两圆（）和（）恰有三条公切线，所以两圆外切，则圆心距，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：C.7．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）已知a、b、c、d均为正实数，且，则的最小值为（

）A．3 B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为的最小值，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：D8．（2022·安徽·池州市第一中学）中，为边上的点（不包括端点、），且，满足则（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值【答案】D【解析】因为在边上，设，其中，即，则，因为，则且，，，当且仅当时，即当时，等号成立.所以，有最小值.故选：D.9．（2022·安徽安庆·二模（文））如图，在中，点在边上，且.过点的直线分别交射线、于不同的两点、.若，，则（

）A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值【答案】B【解析】先证明结论：设为与、、不在同一直线外的一点，三点、、共线且.若三点、、共线，可设，其中，则，所以，，设，则，所以，三点、、共线且.若且，则，所以，，可得，故三点、、共线，即三点、、共线且.所以，三点、、共线且.本题中，连接，则，因为、、三点共线，所以，由题意可知且，于是，当且仅当时，取到最小值.故选：B.10．（2022·甘肃张掖·高三期末（理））在等差数列中，且，则的最大值等于（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】A【解析】因为在等差数列中，所以，即，又，所以，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为4.故选：A.11．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）若函数的最大值为2，则下列结论不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，且最大值为，所以，即，故A一定成立；又，所以，当且仅当a=b时等号成立，故B一定成立；又，所以，当且仅当a=b时等号成立，故C一定成立；，当同号时，，当异号时，，故D不一定成立.故选：D12．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】因为，所以，因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，所以，即，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：B13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知随机变量，若，则的最小值为___________.【答案】9【解析】依题意，由正态分布知识可得，，当且仅当且即时等号成立.所以的最小值为9.故答案为：9.14．（2022·河南濮阳·高三阶段练习（理））已知，，直线与曲线相切，则的最小值是______．【答案】【解析】设直线与曲线的切点为，对求导得，所以，即，所以，所以切点为，由切点在切线上，可得，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值是．故答案为：．题组三题组三连用两次基本不等式1.已知a＞b＞0，那么a2＋eq\f(1,ba－b)的最小值为________．【答案】4【解析】题意a＞b＞0，则a－b＞0，所以b(a－b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋a－b,2)))2＝eq\f(a2,4)，所以a2＋eq\f(1,ba－b)≥a2＋eq\f(4,a2)≥2eq\r(a2·\f(4,a2))＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝eq\f(4,a2)，即a＝eq\r(2)，b＝eq\f(\r(2),2)时取等号，所以a2＋eq\f(1,ba－b)的最小值为4.2.若x，y是正数，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))2的最小值是________．【答案】4【解析】∵x＞0，y＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))2≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x))).又2eq\b\lc\