重庆康德卷2024届数学高一下期末调研试题含解析

重庆康德卷2024届数学高一下期末调研试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知正三角形ABC边长为2，D是BC的中点，点E满足，则（）A． B． C． D．-12．已知直线与直线平行，则实数m的值为（）A．3 B．1 C．-3或1 D．-1或33．一个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是()A．12π B．18π C．36π D．6π4．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：）A．48 B．36 C．24 D．125．与直线平行，且到的距离为的直线方程为A． B． C． D．6．某产品的广告费用(单位：万元)与销售额(单位：万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售为()A．63.6万元 B．65.5万元C．67.7万元 D．72.0万元7．已知数列的前n项和为，且满足，则（）A．1 B． C． D．20168．下列条件：①；②；③；其中一定能推出成立的有（）A．0个 B．3个 C．2个 D．1个9．已知在中，为线段上一点，且，若，则（）A． B． C． D．10．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若是等差数列，首项，，，则使前项和最大的自然数是________.12．函数的值域是__________.13．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．14．在四面体A-BCD中，AB＝AC＝DB＝DC＝BC，且四面体A-BCD的最大体积为，则四面体A-BCD外接球的表面积为________．15．在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是_____．16．在各项均为正数的等比数列中，，，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设数列满足，，，.s（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项；（2）求数列的通项，并求数列的前项和；（3）若，且是单调递增数列，求实数的取值范围.18．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.（1）求图中x的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数3:2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.19．已知，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，，，求角A的大小．20．如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.21．如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成的角的正切值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

化简，分别计算，，代入得到答案.【题目详解】正三角形ABC边长为2，D是BC的中点，点E满足故答案选C【题目点拨】本题考查了向量的计算，将是解题的关键，也可以建立直角坐标系解得答案.2、B【解题分析】

两直线平行应该满足，利用系数关系及可解得m.【题目详解】两直线平行，可得（舍去）.选B.【题目点拨】两直线平行的一般式对应关系为：，若是已知斜率，则有，截距不相等.3、A【解题分析】

先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积.【题目详解】长方体的体对角线的长是，所以球的半径是：，所以该球的表面积是，故选A.【题目点拨】该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果.4、C【解题分析】

由开始，按照框图，依次求出s，进行判断。【题目详解】，故选C.【题目点拨】框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键。5、B【解题分析】试题分析：与直线平行的直线设为与的距离为考点：两直线间的距离点评：两平行直线间的距离6、B【解题分析】

试题分析：，回归直线必过点，即．将其代入可得解得，所以回归方程为．当时，所以预报广告费用为6万元时销售额为65.5万元考点：回归方程7、C【解题分析】

利用和关系得到数列通项公式，代入数据得到答案.【题目详解】已知数列的前n项和为，且满足，相减：取答案选C【题目点拨】本题考查了和关系，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力.8、D【解题分析】

利用特殊值证得①②不一定能推出，利用平方差公式证得③能推出.【题目详解】对于①，若，而，故①不一定能推出；对于②，若，而，故②不一定能推出；对于③，由于，所以，故，也即.故③一定能推出.故选：D.【题目点拨】本小题主要考查不等式的性质，考查实数大小比较，属于基础题.9、C【解题分析】

首先，由已知条件可知，再有，这样可用表示出．【题目详解】∵，∴，，∴，∴．故选C．【题目点拨】本题考查平面向量基本定理，解题时用向量加减法表示出，然后用基底表示即可．10、B【解题分析】由题可知每天织的布的多少构成等差数列,其中第一天为首项,一月按30天计可得,从第2天起每天比前一天多织的即为公差.又,解得.故本题选B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由已知条件推导出，，由此能求出使前项和成立的最大自然数的值．【题目详解】解：等差数列，首项，，，，．如若不然，，则，而，得，矛盾，故不可能．使前项和成立的最大自然数为．故答案为：．【题目点拨】本题考查等差数列的前项和取最大值时的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用．12、【解题分析】

根据反余弦函数的性质，可得函数在单调递减函数，代入即可求解．【题目详解】由题意，函数的性质，可得函数在单调递减函数，又由，所以函数在的值域为．故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了反余弦函数的单调性的应用，其中解答中熟记反余弦函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13、【解题分析】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：，解得：，则圆的方程为.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．14、【解题分析】

当面ABC面与BCD垂直时，四面体A-BCD的体积最大，根据最大体积为求出四面体的边长，又△ABC和△BCD是等腰直角三角形，所以四面体A-BCD外接球的球心位于的中点，从而得到半径，即可求解.【题目详解】如图所示：当面ABC面与BCD垂直时，四面体A-BCD的体积最大为，又AB＝AC＝DB＝DC＝BC，所以△ABC和△BCD是等腰直角三角形，所以四面体A-BCD外接球的球心为的中点，又，解得，，，所以四面体A-BCD外接球的半径故四面体A-BCD外接球的表面积为.【题目点拨】本题考查多面体的外接圆及相关计算，多面体外接圆问题关键在圆心和半径.15、.【解题分析】

设由，求出点轨迹方程，可判断其轨迹为圆，点又在直线，转化为直线与圆有公共点，只需圆心到直线的距离小于半径，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.【题目详解】设，，，，整理得，又点在直线，直线与圆共公共点，圆心到直线的距离，即.故答案为:.【题目点拨】本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.16、8【解题分析】

根据题中数列，结合等比数列的性质，得到，即可得出结果.【题目详解】因为数列为各项均为正数的等比数列，，，所以.故答案为【题目点拨】本题主要考查等比数列的性质的应用，熟记等比数列的性质即可，属于基础题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析，；（2），；（3）.【解题分析】

（1）利用等差数列的定义可证明出数列是等差数列，并确定该数列的首项和公差，即可得出数列的通项；（2）利用累加法求出数列的通项，然后利用裂项法求出数列的前项和；（3）求出，然后分为正奇数和正偶数两种情况分类讨论，结合可得出实数的取值范围.【题目详解】（1），等式两边同时减去得，，且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，因此，；（2），，，；（3）.当为正奇数时，，，由，得，可得，由于数列为单调递减数列，；当为正偶数时，，，由，得，可得，由于数列为单调递增数列，.因此，实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查利用等差数列的定义证明等差数列，同时也考查了累加法求通项、裂项求和法以及利用数列的单调性求参数，充分利用单调性的定义来求解，考查运算求解能力，属于中等题.18、（1）0.02（2）平均数77，中位数（3）.【解题分析】

（1）由频率分布直方图的性质列方程能求出x．（2）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数和中位数．（3）满意度评分值在[50，60）内有5人，其中男生3人，女生2人，记“满意度评分值为[50，60）的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A，利用古典概型能求出2人均为男生的概率．【题目详解】（1）由，解得.（2）这组数据的平均数为.中位数设为m，则，解得.（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A则总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，利用古典概型概率公式可知.【题目点拨】本题考查频率平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19、【解题分析】

由正弦定理得，即得，再利用余弦定理求解.【题目详解】因为在三角形ABC中，由正弦定理得．又因为，所以得，由余弦定理得．又三角形内角在．故角A为．【题目点拨】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20、（1）见解析（2）见解析【解题分析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得平面，则，再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．试题解析：证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.（2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，所以平面.因为平面，所以.又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．21、（1）见解析；（2）见解析；（3）【解题分析】

（1）只需证明PO∥BD1，即可得B