2024年初升高数学衔接讲义专题03一元二次方程练习(学生版+解析)

专题03一元二次方程专题专题综述课程要求1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础.2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率较高，高考也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分.4.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.课程要求课程要求《初中课程要求》能熟练利用一元二次方程根的判别式去判断根的个数，简单地介绍了韦达定理《高中课程要求》熟练掌握求根公式求根和对含参数判别式的处理能力，会灵活使用韦达定理解决各种问题知识精讲知识精讲高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，用配方法可以将其变形为．①因为a≠0，所以，4a2＞0．于是(1)当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2＝；(2)当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－；(3)当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；(3)当Δ＜0时，方程没有实数根．高中必备知识点2：根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，，则有；．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．典例剖析典例剖析高中必备知识点1：根的判别式【典型例题】关于x的一元二次方程x2−(m−1)x+2m−1=0，其根的判别式为16，求【变式训练】已知关于x的一元二次方程m(1)若方程的一个根为3，求m的值及另一个根；(2)若该方程根的判别式的值等于1，求m的值．【能力提升】方程(x﹣5)(2x﹣1)=3的根的判别式b2﹣4ac=．高中必备知识点2：根与系数的关系(韦达定理)【典型例题】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．(1)请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．(2)若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．【变式训练】求方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2(x1＞x2)，并求x12+2x2的值．【能力提升】已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2＝0有两根α，β(1)求m的取值范围；(2)若α+β+αβ＝0．求m的值．对点精练对点精练

1．若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为()A．﹣1 B．2 C．25 D．42．若实数a(a≠0)满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是()A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．有两个实数根3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于(x1，0)、(x2，0)两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于点(0，﹣2)．下列结论：①2a+b＞1；②3a+b＞0；③a﹣b＜2；④a＜﹣1．其中正确结论的个数为()A．4 B．3 C．2 D．14．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果()A．741 B．600 C．465 D．3005．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．对于函数，我们定义(，为常数)．例如：，则．已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为()A．0 B． C． D．17．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是()A． B．C．且 D．且8．已知、是关于的一元二次方程的两个根，且满足，，则的取值范围是()A． B． C． D．9．若关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有两个不相等的实数根，且m为正整数，则符合条件的m有()A．5个 B．6个 C．7个 D．8个10．已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是()A．或 B． C． D．11．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点O，动点P由点A出发，沿运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为________．12．在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上，点N在AD边上，点M为BC中点，连接DE、MN、BN，若DE＝MN，cos∠AED＝，则BN的长为_____．13．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①BE+DF＝EF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④四边形面积＝2+，其中正确的序号是_____．14．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则下列说法在确的有：_____．(填序号)①该二次函数的图象一定过定点；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：；③当且时，y的最小值为；④当，且该函数图象与x轴两交点的横坐标满足时，m的取值范围为：．15．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则______，______．16．关于的方程有两个相等的实数根，其中是锐角的一个内角；关于的方程的两个根恰好是的两边长，则的周长是______．17．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值_____．18．已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____．19．若，且，，则(1)的值为______；(2)的值为_____．20．关于x的一元二次方程x2+(k﹣3)x+1﹣k＝0的根的情况是_____．21．已知抛物线．(1)求抛物线的对称轴；(2)过点作y轴的垂线，与抛物线交于不同的两点M，N(不妨设点M在点N的左侧)．①当时，求线段的长；②当时，若，求a的值；③当时，若，直接写出a的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，2)，动点P在y＝x的图象上运动(不与O重合)，连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．(1)求线段AP长度的取值范围；(2)试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．(3)当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．23．在二次函数的复习课中，关于x的二次函数()，师生共同探讨得到以下4条结论：(1)这个二次函数与x轴必有2个交点；(2)二次函数的图象向左平移2个单位后经过点，则；(3)当时，y随x的增大而减小；(4)当时，，则，；请判断上述结论是否正确，并说明理由．24．已知关于x的一元二次方程．(1)求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；(2)若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求的值．25．阅读如下材料，完成下列问题：材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．材料二：对于实数a，b，若，则．完成问题：(1)求的最小值；(2)求的最大值；(3)若实数m，n满足．求的最大值．26．已知关于的方程有两个实数根、．(1)求的取值范围(2)若、满足等式，求的值．27．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根(1)求a的取值范围；(2)请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．28．已知关于x的方程有两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)当k取最大整数时，求此时方程的根．29．解方程(1)(2)(3)解方程：30．已知x1，x2是一元二次方程(a﹣6)x2+2ax+a＝0的两个实数根．(1)求a的取值范围；(2)求使代数式(x1+1)(x2+1)值为负整数的实数a的整数值；(3)如果实数a，b满足b＝+50，试求代数式x13+10x22+5x2﹣b的值．专题03一元二次方程专题专题综述课程要求1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础.2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率较高，高考也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分.4.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.课程要求课程要求《初中课程要求》能熟练利用一元二次方程根的判别式去判断根的个数，简单地介绍了韦达定理《高中课程要求》熟练掌握求根公式求根和对含参数判别式的处理能力，会灵活使用韦达定理解决各种问题知识精讲知识精讲高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，用配方法可以将其变形为．①因为a≠0，所以，4a2＞0．于是(1)当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2＝；(2)当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－；(3)当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；(3)当Δ＜0时，方程没有实数根．高中必备知识点2：根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，，则有；．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．典例剖析典例剖析高中必备知识点1：根的判别式【典型例题】关于x的一元二次方程x2−(m−1)x+2m−1=0，其根的判别式为16，求答案:m1解析：由题意得，△=[−(m−1)]整理得，m2解得：m1=11【变式训练】已知关于x的一元二次方程m(1)若方程的一个根为3，求m的值及另一个根；(2)若该方程根的判别式的值等于1，求m的值．答案:(1)m=23；即原方程的另一根是解析：(1)设方程的另一根是x2．∵一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0的一个根为3，∴x=3是原方程的解，∴9m﹣(m+2)×3+2=0，解得m=；又由韦达定理，得3×x2=，∴x2=1，即原方程的另一根是1；(2)∵△=(m+2)2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3．【能力提升】方程(x﹣5)(2x﹣1)=3的根的判别式b2﹣4ac=．答案:105解析：先把方程(x﹣5)(2x﹣1)=3化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可．方程(x﹣5)(2x﹣1)=3化为一元二次方程的一般形式为：2x2﹣11x+2=0，故△=b2﹣4ac=(﹣11)2﹣4×2×2=105．

高中必备知识点2：根与系数的关系(韦达定理)【典型例题】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．(1)请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．(2)若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．答案:(1)该方程是倍根方程，理由见解析；(2)当方程根为1，2时，b＝﹣3，c＝2；当方程根为2，4时b＝﹣6，c＝8．解析：(1)该方程是倍根方程，理由如下：x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∴x2＝2x1，∴一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；(2)∵方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，∴方程的另一个根是1或4，当方程根为1，2时，﹣b＝1+2，解得b＝﹣3，c＝1×2＝2；当方程根为2，4时﹣b＝2+4，解得b＝﹣6，c＝2×4＝8．

【变式训练】求方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2(x1＞x2)，并求x12+2x2的值．答案:6解析：方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2，，∴

【能力提升】已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2＝0有两根α，β(1)求m的取值范围；(2)若α+β+αβ＝0．求m的值．答案:(1)m≥﹣34；(2)m解析：(1)由题意知，(2m+3)2﹣4×1×m2≥0，解得：m≥﹣34(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+3)，αβ＝m2，∵α+β+αβ＝0，∴﹣(2m+3)+m2＝0，解得：m1＝﹣1，m1＝3，由(1)知m≥﹣34所以m1＝﹣1应舍去，m的值为3．对点精练对点精练

1．若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为()A．﹣1 B．2 C．25 D．4答案:D解：∵抛物线与x轴只有一个交点，∴b2﹣4c＝0，设A、B的交点的横坐标为x1、x2，∴x1、x2是方程x2+bx+c＝n的两个根，∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，∵AB＝4，∴|x1﹣x2|＝4，∴(x1﹣x2)2＝(x1+x2)2﹣4x1x2＝16，∴(﹣b)2﹣4(c﹣n)＝16，即b2﹣4c+4n＝16，∴4n＝16，∴n＝4，故选：D．

2．若实数a(a≠0)满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是()A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．有两个实数根答案:B解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，∵a﹣b＝3，∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，b＜﹣2，b2﹣4(3+b)=b2﹣4b﹣12=(b+2)(b﹣6)∵b+2＜0，b-6＜0，∴(b+2)(b-6)＞0，所以，原方程有有两个不相等的实数根；故选：B．

3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于(x1，0)、(x2，0)两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于点(0，﹣2)．下列结论：①2a+b＞1；②3a+b＞0；③a﹣b＜2；④a＜﹣1．其中正确结论的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案:C解：如图：0＜x1＜1，1＜x2＜2，并且图象与y轴相交于点(0，﹣2)，可知该抛物线开口向下即a＜0，c＝﹣2，①当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，即4a+2b＜﹣c；∵c＝﹣2，∴4a+2b＜2，∴2a+b＜1，故结论①错误；②∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴1＜x1+x2＜3，又∵x1+x2＝，∴1＜＜3，∴3a+b＜0，故结论②错误；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∵c＝﹣2，∴a﹣b＜﹣c，即a﹣b＜2，故结论③正确；④∵0＜x1x2＜2，x1x2＝＜2，又∵c＝﹣2，∴a＜﹣1．故结论④正确．故选：C．

4．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果()A．741 B．600 C．465 D．300答案:B解：通过观察图形可知：第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，则前5行共有(1＋2＋3＋4＋5)个点，前10行共有(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10)个点，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n(n＋1)个点，其中n为正整数，∴当n(n＋1)=741时，解得：(舍)，，当n(n＋1)=600时，解得：(舍)，当n(n＋1)=465时，解得：(舍)，，当n(n＋1)=300时，解得：(舍)，，故选：B．

5．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案:C解：①观察图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在y轴负半轴∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，所以①正确；②当x＝1时，y＝a+b+c，不能说明y的值是否大于还是小于0，所以②错误；③设A(x1，0)(x1＜0)，B(x2，0)(x2＞0)，∵OC＝2OB，∴﹣2x2＝c，∴，∴B(，0)将点B坐标代入y＝ax2+bx+c中，，∵∴所以③正确；④当y＝0时，ax2+bx+c＝0，方程的两个根为x1，x2，根据根与系数的关系，得，即所以④正确．故选：C．

6．对于函数，我们定义(，为常数)．例如：，则．已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为()A．0 B． C． D．1答案:D解：由题意得：，即，方程有两个相等的实数根，此方程根的判别式，解得，故选：D．

7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是()A． B．C．且 D．且答案:D解：根据题意得k≠0且△=(-2)2-4k×(-1)＞0，解得k＞-1且k≠0．故选：D．

8．已知、是关于的一元二次方程的两个根，且满足，，则的取值范围是()A． B． C． D．答案:D一元二次方程的两个根，所以△=，∴或，令y=，∵，抛物线开口向上，且满足，，∴，∴，解得，∴，∴，解得，∴的取值范围是．故选择D．

9．若关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有两个不相等的实数根，且m为正整数，则符合条件的m有()A．5个 B．6个 C．7个 D．8个答案:B解：∵关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有两个不相等实数根，∴△＝52﹣4×1×m＞0，解得：m＜，∵m为正整数，∴m＝1，2，3，4，5，6，∴符合条件的m有6个，故选：B.

10．已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是()A．或 B． C． D．答案:C解：根据题意得△＝＞0，解得m＞−，根据根与系数的关系的，，∵，∴，∴，整理得，解得，，∵m＞−，∴m的值为．故选：C．

11．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点O，动点P由点A出发，沿运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为________．答案:6如图，过点O作OM⊥AB，垂足为M，∵四边形ABCD是矩形，∴OD=OB，DA⊥AB，AD=BC，∵OM⊥AB，∴OM∥AB，AM=BM，∴OM=，结合图像知，当运动到点B是三角形的面积最大，∴即AD×AB=24，当点P运动到点C时，面积为0即AB+BC=10，∴AD+AB=10，∴AB，AD是方程的两个根，解得x=4或x=6，∵，∴AB=6，故答案为：6．

12．在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上，点N在AD边上，点M为BC中点，连接DE、MN、BN，若DE＝MN，cos∠AED＝，则BN的长为_____．答案:5或解：根据题意可分两种情况画图：①如图1，取AD的中点G，连接MG，∴AG＝DG＝AD＝2，∵点M为正方形ABCD的边BC中点，∴MG⊥AD，MG＝AB＝AD，∴∠MGN＝∠A＝90°，在Rt△ADE和Rt△GMN中，，∴Rt△ADE≌Rt△GMN(HL)，∴∠GNM＝∠AED，∴cos∠GMN＝cos∠AED＝，∴设GN＝x，MN＝17x，∵，∴，∴x＝，x＝－(舍去)，∴GN＝1，∴AN＝1，∴BN＝＝；②如图2，取AD的中点G，同理可得Rt△ADE≌Rt△GMN(HL)，∴∠GNM＝∠AED，∴cos∠GMN＝cos∠AED＝＝，∴设GN＝x，MN＝17x，∵，∴，∴x＝，x＝－(舍去)，∴GN＝1，∴AN＝3，∴BN＝＝5，故答案为：5或．

13．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①BE+DF＝EF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④四边形面积＝2+，其中正确的序号是_____．答案:②③④∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∵△AEF为等边三角形，∴AE＝AF＝EF＝2，∠EAF＝60°，∴∴△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝15°，∴∠AEB＝90°-∠BAE＝75°，即③正确∵CB＝CD，∴CB﹣BE＝CD-DF，∴CE＝CF，即②正确；∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF＝EF＝设正方形的边长为：x，则BE＝x-，Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，∴解得：x1＝，x2＝(舍去)，∴BE+DF＝2(x-)＝2(-)＝-≠2，即①错误；四边形面积＝x2＝＝，即④正确．故答案为：②③④．

14．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则下列说法在确的有：_____．(填序号)①该二次函数的图象一定过定点；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：；③当且时，y的最小值为；④当，且该函数图象与x轴两交点的横坐标满足时，m的取值范围为：．答案:②③④解：①y=(m-2)x2+2mx+m-3=m(x+1)2-2x2-3，当x=-1时，y=-5，故该函数图象一定过定点(-1，-5)，故①错误；②若该函数图象开口向下，则m-2＜0，且△＞0，△=b2-4ac=20m-24＞0，解得：m＞，且m＜2，故m的取值范围为：＜m＜2，故②正确；③当m＞2，函数的对称轴在y轴左侧，当0≤x≤2时，y的最小值在x=0处取得，故y的最小值为：(m-2)×0+2m×0+m-3=m-3，故③正确；④当m＞2，x=-4时，y=9m-35，x=-3时，y=4m-21，x=0时，y=m-3，当x=-1时，y=-5，当-4＜x1＜-3时，则(9m-35)(4m-21)＜0，解得：；同理-1＜x2＜0时，m＞3，故m的取值范围为：，故④正确；故答案为：②③④．

15．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则______，______．答案:；；解：∵∴∴∴∴∴∵，为有理数，∴，也为有理数，故当时候，只有，，∴，，故答案是：，；

16．关于的方程有两个相等的实数根，其中是锐角的一个内角；关于的方程的两个根恰好是的两边长，则的周长是______．答案:16或∵方程有两个相等的实数根，∴，∴sinA=，sinA=-(舍去)，∵方程有两个根，∴，∴，∵，∴m-2=0，∴方程有两个相等的实数根，∴，当∠A为等腰三角形的顶角时，过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1:∵AB=AC=5，sinA=，∴BD=ABsinA==4，AD==3，∴DC=2，∴BC==，∴的周长是10+；当∠A为等腰三角形的底角时，过点B作BE⊥AC，垂足为E，如图2:∵AB=BC=5，sinA=，∴BE=ABsinA==4，AE==3，∴AE=CE=3，∴AC=6，∴的周长是10+6=16；故答案为：16或10+．

17．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值_____．答案:8或解：当a＝b时，由a2﹣8a+5＝0解得a＝4±，∴a+b＝8±2；当a≠b时，a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8．故答案为8或8±2．

18．已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____．答案:5解：由题意可得：∴∴∵α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根∴∴∴α2＋2β=5故答案是：5

19．若，且，，则(1)的值为______；(2)的值为_____．答案:41(1)∵，且，，∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，∴a+b=4,故答案为：4；利用根与系数关系定理求解即可；(2)∵，，∴，，∴=，∵，且，，∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，∴a+b=4,ab=1，∴==1，故答案为：1．

20．关于x的一元二次方程x2+(k﹣3)x+1﹣k＝0的根的情况是_____．答案:有两个不相等的实数根解：△＝(k﹣3)2﹣4(1﹣k)＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝(k﹣1)2+4，∴(k﹣1)2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．

21．已知抛物线．(1)求抛物线的对称轴；(2)过点作y轴的垂线，与抛物线交于不同的两点M，N(不妨设点M在点N的左侧)．①当时，求线段的长；②当时，若，求a的值；③当时，若，直接写出a的取值范围．答案:(1)；(2)①2；②；③或解：(1)抛物线的对称轴为；(2)过点作y轴的垂线，与抛物线交于不同的两点M，N，设，①当时，则、是的两个根，∵a≠0，∴，∴；==2；②当时，、是的两个根，∵a≠0，∴，∵，∴，即，∴，∴解得，经检验是原方程的根，当时，方程的判别式，符合题意，∴；③当时，、是的两个根，∵a≠0，∴，，∴，即，解得或，∵，∴，若(M、N都不在y轴左侧)，则总成立，∴，∴或，∴或，∵或，∴或；若(M在y轴左侧，N不在y轴左侧)，，解得，∴，∴变形为，∴在y轴上，故舍去；若(M、N都在y轴左侧)，∵，∴，这与、是的两个根，矛盾，这种情况不存在；综上所述，，则或．

22．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，2)，动点P在y＝x的图象上运动(不与O重合)，连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．(1)求线段AP长度的取值范围；(2)试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．(3)当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．答案:(1)；(2)是，30°；(3)点Q的坐标为(2+4，0)或(2﹣4，0)或(﹣2，0)或(，0)解：(1)如图1，作AH⊥OP，则AP≥AH，∵点P在y＝x的图象上，∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°∵A(0，2)∴AH＝AO•sin60°＝∴AP≥(2)①当点P在第三象限时，如图2，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆，∴∠PAQ＝∠POQ＝30°②当点P在第一象限的线段OH上时，如图3由∠QPA＝∠QOA＝90°可得Q、P、O、A四点共圆∴∠PAQ+∠POQ＝180°，又此时∠POQ＝150°∴∠PAQ＝180°﹣∠POQ＝30°③当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，由∠QPA＝∠QOA＝90°可得∠APQ+∠AOQ＝180°∴Q、P、O、A四点共圆∴∠PAQ＝∠POQ＝30°(3)当△OPQ为等腰三角形时，若点Q在x轴的正半轴上，设OQ＝m(m＞0)，则AQ2＝m2+22＝(2PQ)2，∴PQ2＝，过点Q作QN⊥OP于点N，如图：∵∠POQ＝30°，∴NQ＝OQ＝m，，在Rt△PQN中，，∴∴①OP＝OQ时，则m2解得m＝2±4(负值不符合题意，舍去)∴m＝2+4②当PO＝PQ时，则解得：m＝0或m＝﹣2，都不符合题意；③当QO＝QP时，则解得：m＝(负值不符合题意，舍去)∴m＝若点Q在x轴的负半轴上，则OQ＝﹣m，同理可得：m＝2﹣4或m＝∴综上所述：点Q的坐标为(2+4，0)或(2﹣4，0)或(﹣2，0)或(，0)．

23．在二次函数的复习课中，关于x的二次函数()，师生共同探讨得到以下4条结论：(1)这个二次函数与x轴必有2个交点；(2)二次函数的图象向左平移2个单位后经过点，则；(3)当时，y随x的增大而减小；(4)当时，，则，；请判断上述结论是否正确，并说明理由．答案:(1)错误；(2)正确；(3)正确；(4)错误．解：(1)∵∴△=故时，△=0，方程只有一个根即此时抛物线与x轴只有一个交点，故(1)说法错误；(2)抛物线的解析式为：向左平移2个单位后的解析式为，即把(-1，0)代入上式中得即，解得，由于，故此说法正确；(3)∵∴，∴二次函数的对称轴：又∵∴二次函数的对称轴且二次函数开口向上∴二次函数在对称轴左边递减，∴当，y随x的增大而减小，此说法正确；(4)∵∴∴即当，∵时，若，即时函数有最小值即又∵∴故当时，，则，这种说法不正确；综上所述：(1)错误；(2)正确；(3)正确；(4)错误．

24．已知关于x的一元二次方程．(1)求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；(2)若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求的值．答案:(1)见解析；(2)解：(1)证明