2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)单元质检卷12　概率

单元质检卷十二概率(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为()①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X1②一个沿直线y=2x进行随机运动的质点离坐标原点的距离X2③某同学射击3次,命中的次数X3④某电子元件的寿命X4A.①② B.③④ C.①③ D.②④2.在区间[-1,4]内取一个数x,则2x-xA.12 B.13 C.25 3.已知60个产品中,有35个产品长度合格,45个产品质量合格,20个产品长度和质量都合格,现任取一个产品,若它的质量合格,则它的长度也合格的概率为()A.25 B.C.49 D.4.为庆祝建党100周年,某校组织了一场以“不忘初心、牢记使命”为主题的演讲比赛,该校高一年级某班准备从7名男生,5名女生中任选2人参加该校组织的演讲比赛,则参赛的2人中至少有1名女生的概率是()A.722 B.9C.1522 D.5.将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为()A.13 B.2C.12 D.6.市场调查发现,大约35的人喜欢在网上购买儿童玩具,其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具.经工商局抽样调查发现,网上购买的儿童玩具合格率为45,而实体店里的儿童玩具的合格率为910.A.12 B.C.45 D.7.从甲袋中摸出一个红球的概率是14,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋各摸出一个球,下列结论错误的是(A.2个球都是红球的概率为1B.2个球中恰有一个红球的概率为1C.至少有1个红球的概率为3D.2个球不都是红球的概率为78.排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),在某次排球比赛中,甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,均为23,在前2局中乙队以2∶0领先,则最后乙队获胜的概率是(A.49 B.1927 C.1127 9.假设某射手每次射击命中率相同,且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是1625,则该射手每次射击的命中率为(A.925 B.25 C.35 10.圆x2+y2=4上任意一点M到直线3x+4y-15=0的距离大于2的概率为()A.16 B.13 C.23 11.“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱好者的推崇.现有4名高三学生准备高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为()A.716 B.9C.2764 D.12.已知随机变量ξ~N(1,σ2),且P(ξ≤0)=P(ξ≥a),则1x+4a-A.9 B.92 C.4 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为14.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛,现采用抽签法决定演讲顺序,在“学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场”的前提下,学生丙第一个出场的概率为.

15.袋子中有5个大小、质地完全相同的小球,其中有3个红球,2个黄球,从袋中一次性随机取出3个小球后,再将小球放回,则“取出的3个小球中有2个红球,1个黄球”的概率为,记“取出的3个小球中有2个红球,1个黄球”发生的次数为X,若重复5次这样的实验,则X的数学期望为.

16.在一次新兵射击能力检测中,每人都可打5枪,只要击中靶标就停止射击,合格通过;5次全不中,则不合格.新兵A参加射击能力检测,假设他每次射击相互独立,且击中靶标的概率均为p(0<p<1),若当p=p0时,他至少射击4次合格通过的概率最大,则p0=.

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下,生产的零件尺寸z(单位:mm)服从正态分布N(200,σ2),且P(z≤210)=0.9.(1)求z<190的概率;(2)若从该条生产线上随机选取2个零件,设X表示零件尺寸小于190mm的零件个数,求X的分布列与数学期望.18.(12分)为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒.(1)①若采用“10合1检测法”,且两名患者在同一组,求总检测次数;②已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为111,定义随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X(2)若采用“5合1检测法”,检测次数Y的数学期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果).19.(12分)如今快寄成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一调查机构针对该市市场占有率最高的甲、乙两家快寄企业(以下简称快寄甲、快寄乙)的经营情况进行了调查,调查结果如下表:日期12345快寄甲日接单量x(单位:百单)529811快寄乙日接单量y(单位:百单)2.22.310515据统计表明y与x之间具有线性相关关系,并经计算求得y与x之间的回归方程为y^=1.382x+a(1)求a^(2)假定快寄企业平均每单能获纯利润3元,试预测当快寄乙日接单量不低于2500单时,快寄甲日接单量的最小值(结果精确到单)及所获取的日纯利润的最小值;(3)以样本中5天的频率作为概率,记快寄乙在未来3天中日接单量不低于10百单的天数为X,求X的分布列和数学期望(概率用分数表示).20.(12分)张先生到一家公司参加面试,面试的规则是:面试官最多向他提出五个问题,只要正确回答出三个问题即终止提问.通过以往面试经验,张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为23,假设回答各个问题正确与否互不干扰(1)求张先生通过面试的概率;(2)记本次面试张先生回答问题的个数为X,求X的分布列及数学期望.21.(12分)面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇,某企业对现有机床进行更新换代,购进一批新机床.设机床生产的零件的直径为X(单位:mm).(1)现有旧机床生产的零件10个,其中直径大于124mm的有3个.若从中随机抽取4个,记ξ表示取出的零件中直径大于124mm的零件的个数,求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ);(2)若新机床生产的零件直径X~N(120,4),从生产的零件中随机取出10个,求至少有一个零件直径大于124mm的概率.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973,0.9772510≈0.7944,0.954510≈0.6277.22.(12分)树木根部半径与树木的高度呈正相关,即树木根部越粗,树木的高度也就越高.某块山地上种植了A树木,某农科所为了研究A树木的根部半径与树木的高度之间的关系,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵A树木,调查得到A树木根部半径x(单位:米)与A树木高度y(单位:米)的相关数据如表所示:x0.10.20.30.40.50.6y1.11.31.61.52.02.1(1)求y关于x的回归方程;(2)对(1)中得到的回归方程进行残差分析,若某A树木的残差为零,则认为该树木“长势标准”,以此频率来估计概率,则在此片树木中随机抽取80棵,记这80棵树木中“长势标准”的树木数量为X,求随机变量X的数学期望与方差.参考公式:回归直线方程为y^=b^x+答案：单元质检卷十二概率1.C对于①,半小时内经过的车辆数可以一一列举出来,故①是离散型随机变量;对于②,沿直线y=2x进行随机运动的质点,质点在直线上的位置不能一一列举出来,故②不是离散型随机变量;对于③,某同学射击3次,命中的次数可以一一列举出来,故③是离散型随机变量;对于④,某电子元件的寿命可为任意值,不能一一列举出来,故④不是离散型随机变量.故选C.2.D因为2x-x2≥14,所以x2-x-2≤0,解得x∈[-3.C设事件A表示“产品长度合格”,事件B表示“产品质量合格”,则事件AB表示“产品质量、长度都合格”,则P(B)=4560=34,P(AB)=2060=13,所以P(4.C由题意可知从12名学生中任选2人的情况有C122=66(种),故所求概率P=15.B基本事件总数n=C62C42C22=90,每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m=C36.B儿童玩具不合格的投诉为网上购买的可能性为P=3故选B.7.C对于选项A,P=14×12=18,正确;对于选项B,P=14×12+34×12=12,正确;对于选项8.B最后乙队获胜事件含3种情况:第三局乙胜,其概率为13;第三局甲胜,第四局乙胜,其概率为23×13=29;第三局和第四局都是甲胜9.C设该射手每次射击的命中率为p,∵在两次射击中至多命中一次的概率是1625∴1-p2=1625,解得p=∴该射手每次射击的命中率为3故选C.10.C圆x2+y2=4的圆心O(0,0)到直线3x+4y-15=0的距离为d=|OC|=|0+0-如图所示,AB上的点到直线3x+4y-15=0的距离小于或等于2,所以OD=3-2=1,OA=2,所以∠AOD=π3,∠AOB=2所以圆上任意一点M到直线3x+4y-15=0的距离大于2的概率为P=1-2π3×11.B由题意,基本事件总数n=44=256,恰有一个地方未被选中即有两个同学选择了一个地方有C42种方法,把这两个同学看作一个元素,另两个同学各是一个元素,将这三个元素填空到四个城市有A43种方法,所求事件个数m=C42A412.Bξ~N(1,σ2),可得正态分布曲线的对称轴为x=1,又P(ξ≤0)=P(ξ≥a),∴a=2.令f(x)=1x+4则f'(x)=-1x当x∈0,23时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈23,2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,则f(x)的最小值为f23=32+3=92.故选13.1623甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13=16,设事件A=“甲、乙两球至少一个落入盒子”,则对立事件A则P(A)=1-P(A)=214.313设事件A为“学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场”,事件B为“学生丙第一个出场”,则P(A)=A44+C31C31A33A15.353设事件A为“取出3个球中有2个红球,1个黄球”,则P(A)由题意可得,重复5次这样的实验,事件A发生的次数X服从二项分布,即X~B5,35,则E(X)=5×35=16.1-155至少射击4次合格通过的概率为f(p)=(1-p)3p+(1-p)4p=(1-p)3(2p-p2所以f'(p)=(1-p)2(5p2-10p+2)=(1-p)2p-5-155p-5+155故f(p)在0,1-155上单调递增,在1-155,1上单调递减,当p=1-155时,f(p)取得最大值,故p0=1-17.解(1)因为零件尺寸服从正态分布N(200,σ2),所以P(z>210)=1-P(z≤210)=0.1.因为210+1902=所以P(z<190)=P(z>210)=0.1.(2)依题意可得X~B(2,0.1),所以P(X=0)=(1-0.1)2=0.81,P(X=1)=C21×0.1×(1-0.1)=0.18,P(X=2)=0.12=0.01,X012P0.810.180.01所以E(X)=1×0.18+2×0.01=0.2(或E(X)=2×0.1=0.2).18.解(1)①对每组进行检测,需要10次;再对结果为阳性组的每个人进行检测,需要10次;所以总检测次数为20次.②由题意,X可以取20,30,P(X=20)=111,P(X=30)=1-则X的分布列为X2030P110所以E(X)=20×111+(2)由题意,Y可以取25,30,两名感染者在同一组的概率为P1=20C22C983C则E(Y)=25×499+30×9599=19.解(1)因为x=5+2+9+8+11y=2.2+2所以a^=y−b(2)由题意y与x之间的回归方程为y^=1.382x-2.由y^=1.382x-2.774≥解得x≥13887所以快寄乙日接单量的最小值为2010单,所以快寄乙日纯利润最小值为2010×3=6030(元).(3)由题可得快寄乙日接单不低于10百单的概率p=25随机变量X~B3,25,X可以取值0,1,2,3,P(X=0)=C30353=27125P(X=2)=C32252351=36125,所以X的分布列为X0123P2754368所以E(X)=3×20.解(1)记张先生第i次答对面试官提出的问题为事件Ai(i=1,2,3,4,5),则P(Ai)=23,张先生前三个问题均回答正确为事件B,前三个问题回答正确两个且第四个又回答正确为事件C,前四个问题回答正确两个且第五个又回答正确为事件D,张先生通过面试为事件M.则M=B∪C∪D根据题意,得P(B)=233=827,P(C)=C32因为事件B,C,D两两互斥,所以P(M)=P(B)+P(C)+P(D)=827+8(2)根据题意,X=3,4,5.X=3表示前面三个问题均回答错误(淘汰)或均回答正确(通过),所以P(X=3)=1X=4表示前面三个问题中有两个回答错误且第四个问题又回答错误(淘汰),或者前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确(通过),所以P(X=4)=CX=5表示前面四个问题中有两个回答错误、两个回答正确,所以P(X=5)=C所以X的分布列为X345P1108故E(X)=3×13+4×1021.解(1)由题知,ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=C30C74C104=16,P(ξ=1)=C31C73C所以ξ的概率分布列为ξ0123P1131所以ξ的数学期望E(ξ)=0×16+1×12+2×310+3(2)记“至少有一个零件直径大于124mm”为事件A,因为X~N(120,4),所以μ=120,σ=2,所以P(X