高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)1.3交集、并集(原卷版+解析)

1.3交集、并集TOC\o"1-4"\h\z\u1.3交集、并集 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1交集 2知识点2并集 4知识点3区间的概念 6二、典型题型 7题型1交并补的综合应用 9题型2交集、并集性质的应用 12三、难点题型 14题型1集合的应用 15题型2集合的新定义 17四、活学活用培优训练 24一．基础知识点知识点1交集：1．交集的概念(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)Venn图①②③2．交集的性质(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B⊆A；(3)A∩B⊆B；(4)A∩A＝A；(5)A∩∅＝∅；(6)A∩(∁UA)＝∅；(7)A∩U＝A(其中U为全集)．例1已知集合，，则（

）A． B．C． D．或例2（多选题）已知集合，集合，若，则a的取值可能是（

）A．2 B． C．1 D．0例3已知集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围知识点2并集：并集(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)Venn图①②③(3)并集的性质①A∪B＝B∪A；②A⊆A∪B；③B⊆A∪B；④A∪A＝A；⑤A∪∅＝A；⑥A∪(∁UA)＝U；⑦A∪U＝U(其中U为全集)．例1已知集合A，B满足，若则（

）A． B． C． D．例2（多选题）已知集合，若，则的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5例3已知集合，集合，(1)求；(2)求．知识点3区间的概念：区间的概念(1)设a，b∈R，且a<b，规定：[a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a<x<b}，[a，b)＝{x|a≤x<b}，(a，b]＝{x|a<x≤b}，(a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x<b}，(－∞，＋∞)＝R.[a，b]，(a，b)分别叫作闭区间、开区间；[a，b)，(a，b]叫作半开半闭区间；a，b叫作相应区间的端点．(2)区间的数轴表示区间表示数轴表示[a，b](a，b)[a，b)(a，b][a，＋∞)(a，＋∞)二．典型题型题型1交并补的综合应用：解题技巧：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．例1已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．例2（多选题）集合，是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则以下说法正确的是（

）A． B．C． D．例3已知集合．(1)若，求；(2)若，求m的取值范围．题型2交集、并集性质的应用解题技巧：1．在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况．2．集合运算常用的性质①A∪B＝B⇔A⊆B；②A∩B＝A⇔A⊆B；③A∩B＝A∪B⇔A＝B.例1已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．例2（多选题）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似地，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，则C．若是高一（1）班全体同学的集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则D．若，则2一定是集合的元素例3已知集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数a的取值范围.三．难点题型题型1集合的应用：例1设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（

）A． B． C． D．例2（多选题）设非空集合S⊆R.若x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S是封闭集.下列结论正确的是（

）A．有理数集Q是封闭集B．若S是封闭集，则S一定是无限集C．一定是封闭集D．若是封闭集，则一定是封闭集例3在“①，②A恰有两个子集，③”这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.已知集合，（1）若，求实数m的值；（2）若集合A满足__________，求实数m的取值范围.题型2集合的新定义：例1在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④例2（多选题）设是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的，都有（除数），则称是一个数域.则关于数域的理解正确的是（

）A．有理数集是一个数域B．整数集是数域C．若有理数集，则数集必为数域D．数域必为无限集例3已知集合.(1)证明：若，则是偶数；(2)设，且，求实数的值；(3)若，试判断是否属于集合，并说明理由.四．活学活用培优训练一、单选题1．设I为全集，、、是I的三个非空子集且.则下面论断正确的是（

）A． B．C． D．2．已知集合，，若，则实数a满足（

）A． B． C． D．3．集合，，若，则（

）A． B． C． D．4．设全集且，，若，，则这样的集合共有（

）A．个 B．个C．个 D．个二、多选题5．已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（）A． B．C． D．6．对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”，记作，即，且；把集合M与N中所有不属于的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”，记作，即，且.下列四个选项中，正确的有（

）A．若，则 B．若，则C． D．三、填空题7．我们将称为集合的“长度”．若集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值为______．8．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.四、解答题9．设集合，.(1)若，试求；(2)若，求实数的取值范围．10．设全集为，，．(1)若，求，；(2)请在①，②，③三个条件中，任选其中一个作为条件，并求在该条件下实数的取值范围．（若多个选择，只对第一个选择给分．）11．已知集合，或，.(1)当时，求，；(2)若，求实数的取值范围.1.3交集、并集TOC\o"1-4"\h\z\u1.3交集、并集 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1交集 2知识点2并集 4知识点3区间的概念 6二、典型题型 7题型1交并补的综合应用 9题型2交集、并集性质的应用 12三、难点题型 14题型1集合的应用 15题型2集合的新定义 17四、活学活用培优训练 24一．基础知识点知识点1交集：1．交集的概念(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)Venn图①②③2．交集的性质(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B⊆A；(3)A∩B⊆B；(4)A∩A＝A；(5)A∩∅＝∅；(6)A∩(∁UA)＝∅；(7)A∩U＝A(其中U为全集)．例1已知集合，，则（

）A． B．C． D．或【答案】B【解析】【分析】由交集的定义可求得集合.【详解】因为，，故.故选：B.例2（多选题）已知集合，集合，若，则a的取值可能是（

）A．2 B． C．1 D．0【答案】BCD【解析】【分析】根据可知，然后对参数进行分类讨论求解.【详解】解：集合，集合，当时，，成立；当时，，故或，解得或综上a的取值可能是，，.故选：BCD例3已知集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由题意可得，利用交集的定义运算即得；（2）由题可得，即得．(1)当时，，；(2)由，则有：，解得：，即，实数的取值范围为．知识点2并集：并集(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)Venn图①②③(3)并集的性质①A∪B＝B∪A；②A⊆A∪B；③B⊆A∪B；④A∪A＝A；⑤A∪∅＝A；⑥A∪(∁UA)＝U；⑦A∪U＝U(其中U为全集)．例1已知集合A，B满足，若则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据并集的定义求解．【详解】由题意，所以．故选：D．例2（多选题）已知集合，若，则的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【解析】【分析】根据并集的结果可得，即可得到的取值；【详解】解：因为，所以，所以或；故选：AB例3已知集合，集合，(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由一元二次不等式的解法可求得集合，再由集合的并集定义，计算即可；（2）先根据全集和集合求出集合的补集，然后再求出集合的补集与的交集.(1)由题意得，，

．(2)，

∴．知识点3区间的概念：区间的概念(1)设a，b∈R，且a<b，规定：[a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a<x<b}，[a，b)＝{x|a≤x<b}，(a，b]＝{x|a<x≤b}，(a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x<b}，(－∞，＋∞)＝R.[a，b]，(a，b)分别叫作闭区间、开区间；[a，b)，(a，b]叫作半开半闭区间；a，b叫作相应区间的端点．(2)区间的数轴表示区间表示数轴表示[a，b](a，b)[a，b)(a，b][a，＋∞)(a，＋∞)二．典型题型题型1交并补的综合应用：解题技巧：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．例1已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先分析集合M、N，得到，再对四个选项一一判断.【详解】，.因为可以表示偶数，列举出为，而可以表示全部整数.所以对于A：.故A错误；对于B、C：.故B正确；C错误；对于D：.故D错误.故选：B例2（多选题）集合，是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则以下说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】计算，A错误，，B正确，，C正确，，D错误，得到答案.【详解】，A错误；，，B正确；，C正确；，D错误.故选：BC.例3已知集合．(1)若，求；(2)若，求m的取值范围．【答案】(1)，或(2)【解析】【分析】（1）根据交集、并集和补集的定义即可得解；（2），即，分和两种情况讨论，从而可得出答案.(1)解：若，则，所以，或，所以或；(2)解：因为，所以，当时，则，解得，此时，符合题意，当时，则，解得，综上所述，所以若，m的取值范围为.题型2交集、并集性质的应用解题技巧：1．在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况．2．集合运算常用的性质①A∪B＝B⇔A⊆B；②A∩B＝A⇔A⊆B；③A∩B＝A∪B⇔A＝B.例1已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】确定全集中的元素，根据可确定，再结合图中阴影部分的含义即可得答案.【详解】全集,又因为，所以,而所以阴影部分表示的集合是即为，故选：B.例2（多选题）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似地，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，则C．若是高一（1）班全体同学的集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则D．若，则2一定是集合的元素【答案】AC【解析】【分析】选项AC符合题意，正确；选项BD可以通过举反例来证明错误.【详解】选项A：，，则.判断正确；选项B：令，，则，但.判断错误；选项C：表示高一（1）班全体同学中去除全体女同学后剩下的全体同学的集合，即为高一（1）班全体男同学的集合，则必有.判断正确；选项D：令，，则，，此时.判断错误；故选：AC例3已知集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出集合A，进而求出A的补集，根据集合的交集运算求得答案；（2）根据，可得，由此列出相应的不等式组，解得答案.(1)，则或，当时，，；(2)若，则，，实数a的取值范围为，即.三．难点题型题型1集合的应用：例1设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】因为只有一个错误，故分类讨论，若①错，有两种情况，若②错则互相矛盾，若③错，有三种情况，若④错，有一种情况，分别求解即可得结果．【详解】若①错，则，，，有两种情况：，，，，或，，，，；若②错，则，，互相矛盾，故②对；若③错，则，，，有三种情况：，，，，；，，，，；，，，，；若④错，则，，，只有一种情况：，，，，所以故选：C例2（多选题）设非空集合S⊆R.若x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S是封闭集.下列结论正确的是（

）A．有理数集Q是封闭集B．若S是封闭集，则S一定是无限集C．一定是封闭集D．若是封闭集，则一定是封闭集【答案】AC【解析】【分析】直接利用定义性问题和集合的运算的应用判断、、、的结论．【详解】解：对于：有理数集，相加，相减，相乘还为有理数，故正确；对于：若，则，，此时，故为封闭集，故错误；对于，任取，，所以，，．，故正确；对于：若，是封闭集，设，，则，，但是，不一定属于，所以不一定是封闭集，故错误；故选：．例3在“①，②A恰有两个子集，③”这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.已知集合，（1）若，求实数m的值；（2）若集合A满足__________，求实数m的取值范围.【答案】（1）1；（2）选①，选②，或，选③.【解析】【分析】（1）若，代入即可得出结果.（2）选①，方程无实数根，利用判别式即可得出结果.选②，A为单元素集，方程只有一个实数根，分别讨论和时情况，即可求出结果.选③，方程在区间内有解，等价于，的值域问题，进而可得结果.【详解】（1）若，则，所以（2）选①，则，则方程无实数根所以，且选②，A恰有两个子集，则A为单元素集，则方程只有一个实数根当时，满足题意当时，所以或选③，，则方程在区间内有解等价于时，的值域，所以【点睛】关键点点睛：方程在区间内有解，转化为当时，求的值域问题是解题的关键.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想题型2集合的新定义：例1在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④【答案】D【解析】【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为，故，故①错误；而，故，故②正确；由“类”的定义可得，任意，设除以4的余数为，则，故，所以，故，故③正确若整数a，b属于同一“类”，设此类为，则，故即，若，故为的倍数，故a，b除以4的余数相同，故a，b属于同一“类”，故整数a，b属于同一“类”的充要条件为，故④正确；例2（多选题）设是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的，都有（除数），则称是一个数域.则关于数域的理解正确的是（

）A．有理数集是一个数域B．整数集是数域C．若有理数集，则数集必为数域D．数域必为无限集【答案】AD【解析】【分析】根据数域的定义逐项进行分析即可求解.【详解】对于A，若，则，所以有理数集是一个数域，故A正确；对于B，因为所以，所以整数集不是数域，故B不正确；对于C,令数集，则但，故C不正确；对于D，根据定义，如果在数域中，那么（为整数），都在数域中，故数域必为无限集，故D正确.故选：AD.例3已知集合.(1)证明：若，则是偶数；(2)设，且，求实数的值；(3)若，试判断是否属于集合，并说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)，理由见解析.【解析】【分析】（1）设出且，则可求出，从而可证明结论；（2）设出且，根据可求出；然后根据（1）的结论可得出，从而得到，从而可求出的值；（3）设出且，从而得到，只需验证，即可得出结论.(1)若，则且.所以.因为，所以原式，因为，所以为偶数，即若，则是偶数.(2)因为，且，则，所以设，.由（1）可知，即；所以或.当时，代入可得，此时，满足，所以成立；当时，代入解得，不满足，所以不成立；综上可知.(3)因为，所以可设且，则，因为，，所以成立.四．活学活用培优训练一、单选题1．设I为全集，、、是I的三个非空子集且.则下面论断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】画出关于且含7个不同区域的韦恩图，根据韦恩图结合集合的交并补运算确定各选项中对应集合所包含的区域，并判断包含关系.【详解】将分为7个部分(各部分可能为空或非空)，如下图示：所以、、，则，，，所以，故，A错误；，故，B错误；，C正确；，显然与没有包含关系，D错误.故选：C2．已知集合，，若，则实数a满足（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由并集结果得到，分和讨论，得到实数a的取值范围.【详解】因为，所以，当时，，即，满足题意；当时，若，则或4，当时，，满足题意；当时，，满足题意；若，则-2,2是方程的两根，显然，故不合题意，综上：实数a满足.故选：D3．集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由可得，从而可求出，然后解方程求出集合A，B，再求两集合的并集【详解】因为，所以，所以，解得，所以，，所以，故选：D4．设全集且，，若，，则这样的集合共有（

）A．个 B．个C．个 D．个【答案】D【解析】【分析】先求出全集，再求出集合的子集即为，再进行补集运算可得集合，进而可得正确选项.【详解】且，的子集有，，，，，，，，的子集有个，，所以有个，因为，所以存在一个即有一个相应的，所以，，，，，，，有个，故选：D.二、多选题5．已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项.【详解】当时，，即，此时，符合题意，当时，，即，由可得或，因为，所以或，可得或，因为，所以，所以实数的取值范围为或，所以选项ABC正确，选项D不正确；故选：ABC.6．对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”，记作，即，且；把集合M与N中所有不属于的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”，记作，即，且.下列四个选项中，正确的有（

）A．若，则 B．若，则C． D．【答案】ACD【解析】【分析】根据集合的新定义得到A正确，当时，，B错误，根据定义知C正确，画出集合图形知D正确，得到答案.【详解】若，则，A正确；当时，，B错误；，且，C正确；和均表示集合中阴影部分，D正确.故选：ACD.三、填空题7．我们将称为集合的“长度”．若集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值为______．【答案】2021【解析】【分析】对的取值进行分类讨论，结合“长度”的定义求得集合的“长度”的最小值.【详解】由题意得，的“长度”为2022，的“长度”为2023，要使的“长度”最小，则，分别在的两端．当，时，得，，则，此时集合的“长度”为；当，时，，，则，此时集合的“长度”为．故的“长度”的最小值为2021．故答案为：8．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.【答案】3【解析】【分析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，作出韦恩图，数形结合计算即得.【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》