高中数学解答题教学建议

高中数学解答题教学建议

把数学的解答严谨地叙述出来是一件不容易做到的事,这有着较

高的能力要求。总的说来，叙述要正确、合理、严密、简捷和清楚。

把运算、推理、作图与所得的结果无误地加以叙述，是解题的一项基

本要求。叙述要合理，对列式、计算、推理、作图都要有充分的理由，

遵循严格的思维规律，做到言必有据，理由充足，合乎逻辑性。严密

就是要周密地考虑问题中的全部内容，不能遗漏，也不能重复。任何

数学题的解答都有一定的规格要求，无论哪种格式，叙述都应层次分

明，条理清楚，表述规范。这里包含书写时要力求字迹清楚，作图正

确，疏密适度，行款得体。所有这些能力的培养有一个渐进的过程,

非蹴而就。

如，用数学归纳法证明数学问题，学生往往只完成〃=%和〃=左

到〃=k+1的证明之后就结束了。实际上完成这两步之后，还要有一

个结论性的表述：由(1)(2)可知，命题对从〃=%开始的所有自

然数都成立。

再如，求函数/(%)=—1—的单调区间，对于这样的简单问题不会

x-1

求的学生很少，但求出来错了的学生也不少。他们往往把单调区间写

成(-oo,l)U(l,+oo),这显然是错误的，若是填空题或选择题，会得0

分。

如，等差数列｛为｝的前加项的和为30,前2切项的和为100,求

它的前3小项的和。

对于本题，至少可以有以下两种方法：

法1：设出首项q及公差d,然后代入公式-l)d,

解关于q、d的方程组即可得邑“二210。

法2：利用性质”等差数列中，黑、Szm-Sm、83.—S27n成等差

数列。”

反思以上两种方法，法1虽常规、易想但计算量大，实在不能算是

一种好方法；法2能抓住问题的本质，是一种很好的思路，但利用此

法的前提是知道上述性质并能随时提取信息。

又如，已知点M与点/(4,0)的距离比它到直线/：%+5=0的距

离少1,求点M的轨迹方程。

解法1：设M点的坐标为(%,y),

根据已知条件：点M属于集合｛M||用/|+1=|%+51,

即J(X-4)2+/+1=|%+5|。

因此，当x》-5时，-4)2+=x+5-l,即y2=i6x；

当xV—5时，7(^-4)2+/=-^-5-1,即：/=20(X+1),

(说明：有部分学生在这里忘记讨论)

因为当龙V-5时，20(%+1)<0,所以V。20。+1),即点M不

存在，故所求M点的轨迹方程为9=16%。

解法2：因为“点M到/(4,0)的距离比它到直线/：%+5=0的

距离少1”等价于“点M到/(4,0)的距离等于它到直线/：%+4=0

的距离”。由此可知点用的轨迹是以尸为焦点，直线/：%+4=0为

准线的抛物线。易知〃=8,所以所求方程为丁=16%。

解法1用了求轨迹方程的一般方法，这种方法常见、易想，解题

过程繁琐，须分类讨论，易漏易错。解法2通过分析题目的条件，抓

住问题本质，对已知条件进行知识迁移，发现点的轨迹满足抛物线的

定义，从而应用待定系数法求解，避免了繁杂的计算，优势显而易见。

例(2008年高考江苏卷)设函数/(%)=以3—3%+1(%eR),若

对于任意工4-1,1],都有/(%)及成立，则实数〃的值

为.

本题以不等式恒成立的问题为载体,反映了对抽象概括能力的考

查.本题考虑用分离变量来解决.当x=0时，无论“取何值，

/(尤)=1>0成立；当时，a>——^—恒成立.令g(x)=——r—,

XX'

则转化为研究g(x)的最大值与。的关系.令

g'(%)=W+S=0,求得尤=[.当时,g'(x)>0；当

1<j<Mg(x)<0,可知x时，g(%)取最大值4,所以

.当-1<%<0时，〃<书1恒成立.令g(%)="l,则转化为

XX

研究g(%)的最小值与。的关系.由g(•¥)=—+下>0得8(%)在[-1,

XX

0)是增函数，所以g(%)min=g(—D=4,所以.综上，1=4.

本题考查了一些常见的解题规律或模式，如：4/(%)恒成立

问题”一般转化为研究/(%)的最小值与a的关系问题.

从现实问题中概括出具体的数学模型，需要抽象概括能力，最典

型的是解应用题.我们知道，应用题一般都有模型，如“指数型函数”

是重要的数学模型，在细胞分裂、生物繁殖、人口增长、劳动生产率、

银行利息等问题上经常用到.解决应用题的关键是建立数学模型，即

把生产或生活中遇到的实际问题，抽象为一个数学问题来解决.从杂

乱无章的现实世界中，由表及里，去伪存真，将生活问题提炼、抽象

为一个数学问题来解决，体现了我们常说的“分析问题和解决问题的

能力”，体现了抽象概括能力.

如，已知一个函数的解析式为y=V,它的值域是［1,4］,这样的

函数有多少个？试写出其中的两个。

变题1：已知函数y=%2,它的值域是{1,4},这样的函数有多少

个？

变题2：已知函数y=V,它的值域是{1,4,9},这样的函数有多

少个？

变题3：已知函数y=V,它的值域是{1,4,9,L,/},这样的函

数有多少个？

变题4：已知函数y=V,它的定义域是［-1,0,值域是［0,4］,

求实数”的取值范围。

变题5：已知函数y=它的定义域是［-2,0,值域是［0,4］,

求实数a的取值范围。

变题6：已知函数y=V,它的定义域是［-1,0,求函数的最大

值和最小值。

变题7：已知函数=它的定义域是［a-La］,求函数的最大

值和最小值。

变题8：请写出几个不同的函数的解析式y=/(%),使/⑴=1,

/⑵=4。

引导学生对问题的变式进行对比、分析，从而使学生解决的不是

一道题，而是一串题，更重要的是，在对问题的变式中使学生对问题

的本质及内在联系、规律的认识更加深刻。

例(2009年高考海南与宁夏卷理科)用min表示三

个数中的最小值.设/(%)=min{2v,%+2,10-%}(%N0),贝!的

最大值为

数形结合思想除了在解选择题、填空题中能显其优越，对一些解

答题，通过画图，往往能激发解题灵感.如函数的解答题，在解答书

写的过程中，一般不必画出函数图象，但解题思路又必须依赖于函数

图象，这是在解答题中考查数形结合思想的一种形式.

例(2006年高考福建卷理科)已知函数/。)=-尤2+8工，

g(x)=61nx+m。

(I)求/(%)在区间"什1］上的最大值/2⑺；

(II)是否存在实数相，使得y=/(%)的图象与y=g(%)的图象

有且只有三个不同的交点？若存在，求出根的取值范围；若不存在,

说明理由。

本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查了有

限与无限思想.第(I)问利用二次函数的图象和性质，可以写出函

数/(%)在区间">1］上的最大值K)，

—1~+6t+7,f<3,

〃⑺=<16,3<Z<4,第(H)问，研究函数》=/(%)的图象

—/+87,，〉4,

与y=g(%)的图象的交点个数，即研究函数1?(%)-/(%)的图象与％轴

的正半轴的交点个数.构造函数°(x)=d—8%+61n%+根，由

(p'(x)=2心133)(%〉0),可知：若函数y=/(%)的图象与

X

y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数°(%)=g(X)-/(X)

的图象与光轴的正半轴有且只有三个不同的交点.当X£(0,1)时，

(p'{x}>0,0(x)是增函数；当％£(1,3)时，(p\x)>0,d%)是减函

数；当了£(3,+8)时，(p\x)>0,次％)是增函数；当了=1,或％=3

时,夕'(％)=0；所以0(%)极大值=°⑴=m-7,e(x)极小值

=d3)=根+61n3—15.因为当％充分接近0时，以工)<0；当人充分大

时，以％)>0,所以要使e(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,

[0(x)极王值二m—7>0

必须且只须极人值9即7<机<15—6山3,所

〔。(％)极小值=m+61n3-15<0,

以存在实数相，使得函数y=/(%)与y=g(%)的图象有且只有三个不

同的交点，机的取值范围为(7,15-61n3).

本题是从求函数的导数，判断函数的单调性，确定函数在某一区

间的根的个数考查有限与无限的思想.尤其是研究函数的极值，在极

值的定义中对极值的描述从另一个角度体现了有限与无限的关系：

“一般地，设函数/(x)在点％。附近有定义，如果对工。附近除毛外的

所有的点工,都有/(%)</(%),我们就说A%。)是函数/(%)的一个

极大值”，在以上文字描述中的“附近”和“所有”都含有有限与无

限的辩正关系.首先“附近”就是个模糊的概念，多近才叫附近？用

“要多近有多近”来理解也是形象的生活语言.实际上，这里所言的

“附近”只有用极限的思想，用由有限到无限的观点去领悟才能理解

其真谛.同样，由“所有的点”组成的集合是个无限集，不可能将它

们一一取出进行研究.因此，这里的“所有”也体现出有限与无限的

关系.由此可以看出，极值概念的本身就充满有限与无限的辩正关系.

例10过抛物线V=2px(p〉0)的焦点的一条直线和这条抛物线

相交于《、6两点，两个交点的纵坐标分别是%、%，求证：

在完成上例后，可引导学生作如下变式:

(1)条件不变，提出新问题：

①求证：X]X=—；②求焦点弦6A的长；③求SV”p；④求焦

IN2412

点弦《写的中点的轨迹方程。

(2)改成逆命题：一条直线与抛物线V=2px(p>0)相交于点

片(再,*)、鸟(%2，%)两点，如果满足必必=一〃2(或不％2=£)，

那么这条直线过抛物线的焦点。

n

(3)增加条件“过《、鸟分别作X轴的垂线，垂足为M2,

提出新问题“求证：|OMJ、|。片|、IOM2I成等比数列”。

例如,在教学“平均值不等式”时，学生常忽略应用公式的条件,

为了引起学生的重视，我们可依次设计如下三道练习。

练习1：已知％eR,求函数y=的值域。

X

练习2：已知0<x<l,求函数y=x(l—尤丁的最大值。

rr2

练习3：已知％G(0,—],求函数y=sin%d-----的最小值。

2sinx

在学生解题过程中，练习1普遍忽略了应用平均值不等式的条

件，误认为x>0,得到的值域是[2,+00),经更正后进入第2小题，

结果不少学生这样解：

I--.2

因为x(l—%)2K尸，一立,所以当x=(l—x)2时，即

3-石叶工+(1-％)一3-6为生梏而|函物7-3>/5

%=-y—时，---------=—^—为定值，则函数>min=---。

这显然也是错误的。因为定值不是在“相等”的条件下，而是先有

“定值”后有“相等”，本题应先想办法把工・(1