电路分析 第七章-二阶电路分析

1§7-1LC电路中的正弦振荡§7-2RLC串联电路的零输入响应§7-3RLC串联电路的全响应§7-4GCL并联电路的分析第七章二阶电路分析

含有两个独立的动态元件的线性电路，其电路方程为线性、常系数二阶微分方程，故称为二阶电路。2第7章二阶电路学习目的:学会分析二阶电路。学习重点:1.会列写二阶电路方程及其特征方程；2.理解二阶电路方程解的形式和意义。学习难点:求解二阶电路方程。3§7-1LC电路的正弦振荡C+uCiL+uL––设:L

=

1HC

=

1F一.LC电路零输入响应的数学分析uC(0)

=

1V

i

(0)

=

0i

=

–

C

——

=

–——duCdtduCdt列出描述电路的两个方程：解微分方程，得i

=

sintuC

=

costuC

=

uL=L——

=

——dididtdt两个联立的一阶微分方程表明：电流的存在要求有电压的变化；电压的存在要求有电流的变化。4i

=

sintuC=cost一.LC电路零输入响应的数学分析C+uCiL+uL––LC电路的零输入响应是按正弦规律变化的等幅振荡，称为自由振荡。§7-1LC电路的正弦振荡it0i

=

sintuC

=

cost0tuC5C+uCiL+uL––it0i

=

sintuC

=

cost0tuC电流开始上升i↑,电容开始放电uC↓§7-1

LC电路的正弦振荡∵

uL=uC

=

U0

≠0

uC

=

U0

iL

=

0didt

—

≠0∴①.初始时刻二.LC电路零输入响应的振荡过程U0①6电流最大

i=Im②.当uC

=

0

，uL

=

0时，didt——=

0电容储存的电场能量全部转化为电感储存的磁场能量。因为电感电流不能跃变,电感开始输出能量i↓，电容开始反向充电|uC

|↑duCdt——最大∴Im=–C——duCdtC+uCiL+uL––it0i

=

sintuC

=

cost0tuC③.当

uC

=–

U0时，i

=

0+

+二.LC电路零输入响应的振荡过程②7磁场能量全部转成电场能量因为uC不能跃变，电容放电|uC

|↓，|

i

|↑。C+uCiL––+uLit0i

=

sintuC

=

cost0tuC④.当i

=

–

Im时，uC

=

0电场能量全部转成磁场能量

|

i

|↓,

uC

↑⑤.当uC

=

U0

时

,i

=

0

磁场能量全部转为电场能量，电路回到初始时刻的状态。+

+二.LC电路零输入响应的振荡过程③.当

uC

=–

U0时，i

=

0③④⑤8LC电路的振荡过程是电能和磁能在电容和电感两种不同的储能元件中转移的过程，随着电能和磁能的转移，电路中的电流和电压不断地改变大小和极性，形成周而复始的等幅振荡。二.LC电路零输入响应的振荡过程三.LC电路的储能分析

RLC电路CLRi

=

sintuC=cost振荡能否发生?条件是什么？9§7-2

RLC串联电路的零输入响应求零输入响应时

uS

=0,

根据KVL:uL

+

uR+uC

=

uSdidt

L+Ri

+

uC

=

uS

+

RCd2uCdt2

LCduCdt+

uC

=

uS+

RCd2uCdt2

LCduCdt+

uC

=

0（1）uC(0)两个初始条件：i

=CduCdtuL

=

LdidtduCdtt=0

=i(t)Ct=0

=i(0)C

一.列方程（2）LiR+uS–C+uC–+–uLR、L、C

取值不同，根号里的值有四种不同情况。设解为

uC(t)=Kest

代入微分方程LCs2Kest

+

RCsKest

+

Kest

=0(LCs2

+RCs

+

1

)Kest

=0特征方程的根（固有频率）2L

R=

−

±2L

R()2LC1−s1,2=RC

±(RC)2

−

4LC2LC−+

RCd2uCdt

2

LCduCdt+

uC

=

0LCs2

+

RCs

+1

=

0特征方程

二.解方程LiR+uS-C+uC-11特征根的形式

零输入响应的一般表达式

阻尼性质及自由响应形式，两个不相等的负实根s1，s2.过阻尼非振荡衰减，两个相等的负实根s1=s2.临界阻尼非振荡衰减

，两个共轭复根欠阻尼衰减振荡

，两个共轭虚根无阻尼无衰减振荡R=0uC

=

e-at[K1coswdt

+

K2sinwdt]uC

=

K1cosw0t

+

K2sinw0t—称为阻尼电阻2L

R()2LC1−令=

0特征根的形式

零输入响应的一般表达式

阻尼性质及自由响应形式，两个不相等的负实根s1,s2.过阻尼非振荡衰减，两个相等的负实根s1=s2.临界阻尼非振荡衰减

两个共轭复根欠阻尼衰减振荡

，两个共轭虚根无阻尼无衰减振荡R=0uC

=

e-at[K1coswdt

+

K2sinwdt]uC

=

K1cosw0t

+

K2sinw0t13

例：RLC电路中，t=0时开关闭合，设uC(0－)=10V，i

(0－)=0，L=1H，C=0.25F，分别求（1）R=5

；（2）R=4

；（3）R=1

；（4）R=0

时电路中的响应uC(t)。解：（1）R=5

s1=1s2=4两个不相等的负实根,LiRC+uC–+–uLS三.四种情况分析R>Rd过阻尼14得：uC(0)=K1+K2

=10V——t=0

=s1K1es1t+

s2K2e

s2tduCdtduCdtt=0

=i(0)C三.四种情况分析电容电压：t≥0根据uC(0－)=uC(0＋)＝10Vi(0－)=i(0＋)=0得：－K1－4

K2

＝0K1=13.33，K2=－3.33解：（1）R=5

s1=1s2=4过阻尼非振荡衰减由15解：（2）R=4

s1=s2=

2两个相等的负实根,电容电压：LiRC+uC–+–uLS三.四种情况分析t≥0临界阻尼16K1=10duCdtt=0

=i(0)C三.四种情况分析根据uC(0－)=uC(0＋)＝10Vi(0－)=i(0＋)=0－2K1+

K2

＝0解：（2）R=4

K2=20临界阻尼非振荡衰减由17（2）R=4

（1）R=5

18（3）R=1

两个共轭复根解：欠阻尼19（3）R=1

根据uC(0－)=uC(0＋)＝10Vi(0－)=i(0＋)=0duCdtt=0

=i(0)C解：衰减因子a

=0.5衰减振荡角频率wd=1.9420t1t2t3uCiL电量t1时间段t2时间段t3时间段减小减小增大增大减小减小电容储能减少减少增加电感储能增加减少减少欠阻尼衰减振荡21（4）R=0无阻尼无衰减振荡根据uC(0－)=uC(0＋)=10Vi(0－)=i(0＋)=0duCdtt=0

=i(0)C两个共轭虚根解：振荡角频率

0=2无阻尼22例2RLC串联电路的零输入响应为uC(t)=5e–2tcos

3tV，已知R=4

，求L和C。–解：由零输入响应的形式可知，此响应应为欠阻尼情况。零输入响应的一般形式为uC(t)

=

e-at[K1coswdt

+

K2sinwdt]s1、2

=–—±j

——–(—)2=–

±jd2L

RLC12L

R

=——=22LR

d=

——–(—)2=

3LC12L

R–解得：L=1H，C=—F71固有频率23[例3]电路如图，(1)求固有频率s

及uC(t)的响应形式；(2)若并联C1=3/4F，求uC(t)的响应形式。解：s1、2

=–—±(—)2––—

=–2±j22L

RLC12L

R(1)固有频率s为欠阻尼情况零输入响应的形式为uC(t)

=

e-at[K1coswdt

+

K2sinwdt]

=

e-2t[K1cos2

t

+

K2sin2t]C+uCL–1/2H1/4FR2

C1或响应为欠阻尼衰减振荡情况24[例3]电路如图，(1)求固有频率s及uC(t)的响应形式；(2)若并联C1=3/4F，求uC(t)的响应形式。解：C+uCL–1/2H1/4FR2

C1(2)等效电容C0为过阻尼情况响应形式响应是过阻尼非振荡衰减

此时的固有频率s为C0=C

+C1

=1Fs1、2

=–—±(—)2––—=–2±22L

RLC012L

R–

uC(t)=K1es1t+

K2es2t=K1e–0.568t+

K2e–3.414ts1

=–0.568s2

=–3.41425作业：P-262习题72（LC正弦振荡）

74（RLC零输入响应）

75（RLC零输入响应）26§7-3

RLC串联电路的全响应+

RCd2uCdt2

LCduCdt+

uC

=

US已知uC(0)

=U0解的形式：uC(t)

=

uch

+

ucp+

RCd2uchdt2

LCduchdt+

uch

=

0s1

=

–a1

，s2

=

–a2设电路为过阻尼uch(t)

=

K1e-a1t+

K2e-a2tuC(t)

=

K1e-a1t+

K2e-a2t+

US设ucp(t)=Q

与激励形式一样若为直流激励，则Q

=

USK1，K2由初始条件确定根据特征根的四种不同情况，写出齐次方程解的形式。LiR+US–C+uC–duCdt27例4．求图示电路中t≥0的uC(t)已知uC(0)

=

0i

(0)

=

0+

RCd2uCdt2

LCduCdt+

uC

=

US+d2uCdt2duCdt+

uC

=

2s2

+

s

+

1

=

0s1,2

=–1±1–42=

–12±

j2

3uch(t)

=

e[K1cos-12t2

3t

+

K2sint

]2

3解：为欠阻尼衰减振荡情况LiR+–C+uC–US

=

2Vt≥01

1H1F28Ci

(0)duCdt|t=0

=

–12K1

+2

3K2

=23K1

=

–2K2

=

–

3uC(t)

=

e[–2cos-12t2

3t

–t

]

+

22

323

3

sin=

–2.3ecos(-12t2

3t

–

30°)

+

2Vt≥0ucp(t)

=

Q=2uC(0)

=

K1

+

2

=

0uc(t)

=

e[K1cos-12t2

3t

+

K2sint

]2

3+2解：LiR+–C+uC–US

=

2Vt≥01

1H1F29§7-4

GCL并联电路的分析iC+iL+iG=iSCduCdt+

GuC

+

iL

=

iS+

GLd2iLdt2LCdiLdt+

iL

=

iSLCs2

+

GLs

+

1

=

0s1,2

=–GL±(GL)2

–

4LC2LC2C

G=

–±2C

G()2LC1–uCCGLiGiCiL+–iS分析过程：解的形式：iL(t)

=

ich

+

icpiC

=CduCdtuC

=

uL

=

LdiLdt特征方程的根特征方程30§7-4

GCL并联电路的分析已知：iL(0)

，根据特征方程根的四种情况可写出通解的四种形式。阻尼电导Gd

=2

—LC–—uCCGLiGiCiL+–iS分析过程：i

=CduCdtuL

=

Ldidt根据Gd可对响应作定性判断：（3）G

<

Gd为欠阻尼，是衰减振荡；（1）G>Gd为过阻尼，为非振荡衰减；（2）Gd＝G为临界阻尼，为非振荡衰减；（4）G＝0为无阻尼，无衰减振荡。31特征根的形式

零输入响应的一般表达式

阻尼性质及自由响应形式两个不相等的负实根s1,s2.过阻尼非振荡衰减两个相等的负实根s1=s2.临界阻尼非振荡衰减

两个共轭复根欠阻尼衰减振荡

两个共轭虚根无阻尼无衰减振荡G=0iL=

e-at[K1coswdt

+

K2sinwdt]iL

=

K1cosw0t

+

K2sinw0t2C

Gs1,2

=

–±2C

G()2LC1–32+

GLd2iLdt2LCdiLdt+

iL

=

ISGCL并联2C

Gs1,2

=

–±2C

G()2LC1–RLC串联s1,2

=

–2L

R±2L

R()2LC1–+

RCd2uCdt2

LCduCdt+

uC

=

US阻尼电导Gd

=2

—LC–—阻尼电阻Rd=2

—CL–—GCL并联和RLC串联的对比：33例1.图示电路中，欲使电路产生临界阻尼响应，则C

应为何值？解：Gd

=2

—LC–—阻尼电导欲使电路产生临界阻尼响应，应满足G=Gd

因：G=1S2

—=1LC–—故：得：C=0.5FCiS1

2H34解：例2.RLC并联电路的零输入响应为uC(t)