数值计算复习纲要

南方学院数值计算复习纲要一、卷面满分100分，答题时间120分钟。二、考试题型1、填空题（15分）；2、单选题（15分）；3、简答题（2小题，共10分）；4、证明题（本大题7分）5、其余是计算题。三、复习纲要第一章误差和范数1、效数字的定义（教材P7）和计算。2、矩阵的范数定义（教材P26）和计算3、阶方阵的条件数cond的定义（教材P28）和计算4、绝对误差和相对误差的定义（教材P6）和计算。5、向量的范数的定义（教材P24）和计算。（教材P8例1.2.1，例1.2.4，P12习题1.2D4，P25例1.5.1，P26例1.5.2，P30习题1.5D3，D4）第二章求方程的根1、（教材P86）迭代序列是阶收敛的定义。2、求方程的根的迭代法中的牛顿切线法（教材P84－）和割线法的迭代公式及其收敛的阶数（教材P87）。3、用牛顿切线法和割线法求方程在x0附近的一个近似根，使。（教材P118习题2.6D3，D8）第三章解线性方程组的直接方法1、（教材P156）掌握线性方程组的高斯（Gauss）消元法和列主元消元法。2、会用高斯（Gauss）消元法和列主元消元法解线性方程组。（教材P158例1.3.1，P163习题3.3D1（1））第四章解线性方程组的迭代法1、掌握线性方程组的雅可比迭代（教材P204）和高斯赛德尔迭代法（教材P214）。2、会写出线性方程组的高斯－赛德尔（Gauss-Seidel）和雅可比迭代的具体格式。3、会用高斯（Gauss）消元法和列主元消元法解线性方程组。4、会判别矩阵是否是严格对角占优矩阵。（教材P205例4.2.1，P214例4.3.2，，P212习题4.2D1（3）（4），D4，P222习题4.3D3（1））第六章函数的插值方法1、掌握拉格朗日插值及其误差估计（教材P367－）。2、会用线性插值（教材P362）和抛物插值（教材P364）计算具体问题和估计截断误差。（教材P362－例6.2.1，例6.2.2，P365例6.2.3，P373习题6.2D1，D6）第七章拟合1、了解曲线拟合的最小二乘法（教材P484－）。2、会用曲线拟合的最小二乘法解决具体问题。（教材P497－例7.4.2）第八章数值微分1、了解数值微分的前插、后插公式、中心插商公式（教材P538－）。2、掌握三点公式及其误差估计（教材P542）。2、会用三点公式计算具体问题和估计误差。（教材P543－例8.2.2，例8.2.3，P564习题8.2D12（3））第九章数值积分1、了解龙贝格算法和8阶牛顿—科茨公式及其误差公式。2、掌握基本梯形公式、复合梯形公式（教材P594和596）、基本辛普森公式、复合辛普森公式（教材P602和603）和高斯公式（教材P645－649）及其误差。3、掌握代数精度的定义（教材P645）。2、会用基本梯形公式、复合梯形公式、复合辛普森公式及其误差公式和代数精度的定义解决具体问题。（教材P595－例9.3.1，例9.3.3，教材P645－例9.6.1，例9.6.2，P673－习题9.6D17）第十章常微分方程（组）求解1、掌握掌握欧拉方法（教材P746）、改进的欧拉方法（教材P773－）和龙格—库塔方法及其精度。2、会列出初值问题的向前欧拉公式、改进的欧拉公式和常用的四阶龙格-库塔方法的具体形式。2、会用向前欧拉公式和改进的欧拉公式解决具体问题。（教材P774－例10.4.3，P767－习题10.3D2，P779－习题10.4D6，D5，P790－例10.5.3）期末复习典型题：一、单选题：1.方阵的范数等于【B】(A)、1；(B)、3；(C)、；(D)、以上都不对。2.下列矩阵是严格对角占优矩阵的是【A】(A)、；(B)、；(C)、；(D)、以上都不是。3.下面是阶方阵的条件数cond的有【B】(A)、；(B)；(C)、；(D)、以上都不对。4.设为经过四舍五入得出的近似值，则的绝对误差约为【B】(A)、；(B)、；(C)、；(D)、以上都不对。5.求方程的根的迭代法中的割线法的迭代公式为【B】(A)、，；(B)、(C)、，；(D)、以上都不对。6.牛顿法（）在的单根附近为【C】(A)阶收敛；(B)、线性收敛；(C)、平方收敛；(D)、以上都不对。7.记，若，则称序列是【B】(A)、阶收敛；(B)、3阶收敛；(C)、5阶收敛；(D)、以上都不对。填空题：1.将区间划分为等分，步长，分点为，则计算定积分的复合辛普森公式为:2.向量的范数73.求方程的根的迭代法中的牛顿切线法的迭代公式为:,4.求常微分方程初值问题的向前欧拉公式为5.求常微分方程初值问题的改进的欧拉公式为:6.已知函数满足条件.则的线性插值多项式三、简答题：1.写出下列线性方程组的高斯－赛德尔（Gauss-Seidel）迭代的具体格式。答案：线性方程组的高斯－赛德尔（Gauss-Seidel）迭代的具体格式2.试列出求解下列方程组的雅可比迭代的具体格式。答案：。3.列出初值问题，（取）的向前欧拉公式的具体格式。答案：…四、计算题：1.试用基本梯形公式计算积分的近似值，并估计截断误差（其中）。解用基本梯形公式计算，其中，得由基本梯形公式的余项，得2.用高斯（Gauss）消元法解该方程组解用高斯（Gauss）消元法解该方程组将方程（1）乘以-2加到方程（2），再将方程（1）乘以-3加到方程（3），得将方程（2）乘以5加到方程（3），得将方程（3）除以-24，得将代入方程（2），得，在将，代入方程（2），得。3.用雅可比迭代求解方程组（取迭代初值，）解：将方程组改写为据此可建立迭代公式，设取迭代初值，迭代结果见下表k01200.720.97100.831.0700.841.154.已知函数表100121144101112试抛物插值计算的近似值，并估计截断误差（其中）。解故=10.72285.试用改进欧拉公式求初值问题（，步长的数值解,取四位小数计算。解也就是当时，，，6.已给出的数据0.2500，0.18