高中数学习题1：高中数学人教A版2019必修 第二册 平面向量数乘运算的坐标表示

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示同步练习

一.单选题

1.已知向量&=(加一3,〃)，5=(2,-1)(其中相>o,〃>o),若―与5共线,则&+-!-

m2n

的最小值为()

A.-B.3C.—D.9

415

2.已知向量万=(6f+3,9),b=(4f+2,8),(-a+h)//(a--b),贝卜=()

32

A.-1B.--C.-D.1

22

3.已知向量a=(cosa,3),b=(sina,-4),a!lb,则3sina+cos"的值是()

2cosa-3sina

A.--B.-2C.--D.-

232

4.已知A(T,0),8(0,3),O为坐标原点，点C在第二象限内，|OC|=3夜，且

ZAOC=45°,设无+0政/leR),则2的值为()

A.--B.-C.-D.1

424

5.设向量1=(1,-3),6=(-2,4),若表示向量4。，3h-2d,C的有向线段首尾相

接能构成三角形，则向量己为()

A.(1,-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6)

6.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(2,-l),8(-1,3),若点C满足

OC=aOA+13OB,其中0,,a,&1,月.々+夕=1,则点C的轨迹方程为()

A.2x+3y-4=0B.(x-i)2+(y-l)2=25

C.4x+3y—5=0（-啜/2）D.3x—y+8=0（-啜Jc2）

7.已知A(-3,0)、3(0,2),O为坐标原点，点C在ZAOB内，且ZAOC=45°,设

OC=AOA+(l-A)OB,QeR)则4的值为()

A.-B.-C.-D.-

5353

8.在AABC中，AB=2,AC=3,BC=4,若点M为边BC所在直线上的一个动

点，则14就+3丽+2而|的最小值为()

A.3瓜B.676C.叵D.亚

82

二.多选题

9.已知O为坐标原点，A(2,-1),3(1,2),则()

A.与通同方向的单位向量为(一噜，嘤)

B.若丽=2万，则点P的坐标为(H0)

3

C.若―,则2//通

D.若C(l,-3),则四边形Oft4c为平行四边形

10.已知向量函=(1,-3),05=(-2,1),OC=(t+3,t-8),若点A,B,C能构成三

角形，则实数f可以为()

A.-2B.-C.1D.-1

2

11.若向量1=(4-1)与5=(3,1)共线，则()

A.A=—3B.\a-h\=41C.之二3D.\a-b\=2V10

12.已知向量1=(1,-2),6=(-1,2),则下列结论正确的是()

A.al1bB.万与坂可以作为基底

C.a+b=6D.与1方向相反

三.填空题

13.如图，在同一个平面内.向量。4,OB,0。的模分别为1,晒,百，OA

与尻的夹角为a,且cosa=当,而与沅的夹角为45。.若

OC=mOA+nOB{m,n£R),则加一〃=

14.已知向量1=(1,3),6=(2,-》，若单位向量？与&-2b平行，贝1帖=.

15.已知4(~4,6),8(2,4),点P在线段45的延长线上，且|而|」|而|,则点P的

3

坐标为.

16.已知向量d=(sinO-I,_0)，b=(cos0,1),0e(--,0),且@//6,则cos0=.

2

四.解答题

17.已知向量「=(1,1),B=(-1,3)忑=(5,-3).

(1)求65+6-20;

(2)若d=+碇,求实数m,〃的值;

(3)若3+小)//仁-2d),求实数k的值.

18.向量丽=(Z,12),de=(4,5),反=(10的，当我为何值时，A、B、C三点共

线.

19.已知四点A(x,O),B(2x,l),C(2,x),£>(6,2x).

(1)求实数x,使向量而与8共线；

(2)当向量而与C/5共线时，A,B,C,O四点是否存在同一直线上？

20.平面内给定三个向量d=(3,2),6=(-1,2),c=(4,l).

(1)求满足不=,成+历的实数"?，n;

(2)设d=(x,y),满足设--)//(斤+5),且|2-d|=l,求向量(7.

参考答案：

1.解：因为向量1=同-3.),^=(2,-1),且一与5共线,

1听以一(小一3)—2〃=0,m+2n=3;

又因为〃7>0,九>0,

mi”4141、1/c、1i8〃1<c/8nm.1...

)I以—I---=(z—I)—(m+2/2)=—(4+1H----1---)..l(5+2J------)=-x(z5+4)=3o，

tnInm2n33mIn3\m2n3

当且仅当女=2,即m=4〃=2时取等号，

m2n

所以W+_L的最小值为3.

tnIn

故选：B.

2.解:向量M=(6f+3⑼，B=(4]+2,8),

所以％+B=(6E+3,U),

3

1-

a一一b=(4f+2,5).

2

,1-1-

又(一(5+力)//®——b),

32

所以5⑹+3)-11(41+2)=0,

解得

2

故选：B.

3.解：•.•向量M=(cosa,3),Z?=(sina,-4),allb,

/.-4cosa=3sin(2,

4

/.tana=——，

3

.3sina+cosa_3tana+l_-4+1_1

2cosa-3sina2-3tana2+42

故选：A.

4.解：•.•点C在第二象限内，|OC|=30,且ZAOC=45。，

，直线0C的倾斜角为135。，斜率k=-l,则直线方程为y=-x,

设C坐标为(a,-a),a<0,

则|0C|=>^=伪a|=-&a=36,

得a=-3,

即C(-3,3),

^OC=AOA+OB(AGR),得(-3,3)=〃-4,0)+(0,3)=(-42,3),

则—3=-4彳，

得又二，

4

故选：C.

5.解：467=(4,-12),3〃-2。=(一818),

设向量c=(x,y),

依题意，得4a+(3h-2d)+c=0,

所以4-8+%=0，-12+184-y=0,

解得x=4,y=-6,

故选：D.

6.解:设C(x,y),可得配=(x,y)

♦.•点A(2,-l)、B(-l,3),

a=1(3x+y)

x=2a-』,解得

iOC=aOA+pOB,得

y=-a+3〃£=；(x+2y)

又•.•a+/7=l,.,.两式联解,消去a、/?得4x+3y-5=0.

•.•噫卜1且喷好1,

.•.嘴(3x+y)1,嘿(x+2y)1,解得掇ik2.

由此可得点C的轨迹方程为4x+3y-5=0（-啜/2）.

故选：C.

7.解：根据已知条件得：A,C,8三点共线，fiZAOC=ZBOC=45°;

BC2

在ABOCW，由正弦定理得:

sin45°-sinZ.BCO

BC=^cd

3.

同理求得：°=岳

542

BA=——Z——

sinNBC。

BC_2

~BA~5

____________2______2__.__»2__.3__.

・•.OC=OB+BC=OB+-M=OB^--(dA-OB)=-dA+-OB;

5555

:.A=-

5

故选：c.

8.解：以点8为原点，3c所在的直线为x轴，建立直角坐标系,

如图所示：

由于45=2,AC=3,3c=4,

所以8(0,0),C(4,0),

AB1+BC1-AC14+16—911

cosZABC=

2.AB.BC2x2x4-16

所以点A的横坐标为A8cosZA8C=2xU=U

168

sinZABC=Vl-cos2ZABC=

16

点A的纵坐标为⑻n.C=2x呼L学

所以4（上述）,

88

设点M的坐标为（苍0）,

所以砺=47,,A/B=(-x,O),MC=(4-x,0),

4M4+3MB+2MC的横坐标为4(--x)+3(-x)+2(4-x)=--9x-

82

4MA+3MB+2MC的纵坐标为4x^l+3x0+2x0=^^

82

._______27

故4加+3MB+2比的坐标为(——9x,

2

14加+3MB+2MC\=-9x)2+(2

由于耳―

所以当旧时，14加+3而+2凶的最小值为季.

故选：D.

9.解：AAB=(-1,3),|AB|=Vi0,

・••与丽同方向的单位向量为：（一壶‘扁）=（一噜'*）’该选项正确;

B.设P(x,y),则：(x-2,y+l)=2(l-x,2-y),

4

x-2=2(l-x)解得厂5,

y+l=2(2—y)

）=i

，畤D，该选项错误;

C.a=(l-3)=-AB,a//AB,该选项正确;

D.OB=(1,2),CA=(1,2),..OB=CA,

，O8〃C4g.O8=C4,

.•・四边形OBAC为平行四边形，该选项正确.

故选：ACD.

10.解：•.•向量丽=。,-3),丽=(一2,1),元=(f+3,f-8),

AB=(-2,1)-(1,-3)=(-3,4),

AC=(f+3>z—8)—(1i-3)=(t+2,f-5),

•・•点A,B,C能构成三角形，

AB^2,AC,

/.(-3,4)w(2(r+2),A(z-5)),

解得t^\.

・•・实数f可以为-2,-1.

2

故选：ABD.

11.解：•.•向量d=®T)与方=(3,1)共线,

.­.2-(-l)x3=0,解得4=-3.

G=(_3,T)与5=(31)，

\a-b\=7(-3-3)2+(-1-1)2=2>/10.

故选：AD.

12.解：由向量1=(1,-2),E=(-L2),

知1>2-(—2)x(—D=0,所以a//B,A正确，8错误;

又d+5=(l-l,-2+2)=(0,0),所以C正确；

又b-d=(-2,4),所以6-打=一2",5-万与1方向相反，O正确；

故选：ACD.

13.解：以。为坐标原点.向量砺方向为x轴，与向量垂直的方向为y轴,

建立平面直角坐标系.

点A的坐标为(1,0),sina=—，tana=-»

52

1+-

可得点C的坐标为(2,1),tan(a+45°)=—2-=3,

，-2

31

所以sin(tz+45°)=,cos(a+45°)=—f=，

Mvio

又点3的坐标为(1,3),OC=(2,1).mOA+nOB=^(1,0)+n(l,3)=(m+3H),

^OC=tnOA+nOB,则m+n=2且3〃=1,

5

m=-

所以13,所以瓶.

13

n=—

3

故答案为：

3

yB

o

14.解：♦.■向量G=(l,3),b=

a-2b=(1,3)-(4,-1)=(-3,4),

...单位向量5与平行，

c=i,-(—3,4)=+—(—3,4).

V9+165

故答案为：(』，，)或(上，3).

5555

15.解：•••A(~4,6),8(2,4),点P在线段AB的延长线上，且|丽|」|而|,

3

AP=--PB,

3

设P(x,y),则(x+4,y-6)=-g(2-x,4-y),

解得x=-7,y=6.

・•・点尸的坐标为(-7,7).

故答案为：(—7,7).

16.解：向量M=(sin6—l,—\/J),h=(cos0,1),<9G(-—,0),且5/区，

2

cos0_1

sin0-1-x/3

l-sin6>

...sin20+cos20=siirO+—~为电=1,

3

整理得4sin?8-2sin6+2=0，

解得sin。=」或sing=1，

2

711

——，0),「.sin〃=——，

22

,COS。=J_(_g)2=与.

故答案为：B.

2

17.解：(1)•・・向量a==(-1,3)①=(5,-3).

6a+6—2c—6(191)+(―1,3)—2(59—3)

=(6,6)+(-1,3)—。0,-6)=(—5,15).

(2)mb+nc=m(-l,3)+n(5,-3)=(5n-m,3m-3n)

又M=(1,1)且M=mb+nc,

'_2

5"-〃'=l,解得

3m-3n=[1

n=—

3

(3)反+kB=(l—k,l+3k),c-2J=(5