高中数学：平面与平面垂直

高中数学：平面与平面垂直

目录

1.要点一二面角..............................................................1

2.要点二平面与平面垂直.....................................................2

3.【基础自测】...............................................................3

4.题型I二面角及其平面角的概念..............................................3

5.题型2求二面角的大小.......................................................4

6.题型3平面与平面垂直的证明.................................................5

7.易错辨析判断面面位置关系时主观臆断......................................6

8.易错警示....................................................................6

9.【课堂十分钟】.............................................................6

10.答案.......................................................................7

10.1.要点一..................................................................7

10.2.要点二..................................................................7

10.3.［基础自测］..............................................................7

10.4.题型探究•课堂解透......................................................8

10.5.［课堂十分钟］...........................................................10

1.要点一二面角

半平面的定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面

二面角的定义从一条直线出发的_____所组成的图形叫做二面角

二面角的相关概念这条直线叫做二面角的_____,这两个半平面叫做二面角的______

a

二面角的画法

；立

平卧式式

二面角的记法二面角a-1邛或a-AB邛或P-1-Q或P-AB-Q

在二面角a-1-0的棱1上任取一点0,以点0为垂足，在半平

定义面a和0内分别作垂直于棱1的射线OA和OB,则射线OA和

OB构成的NAOB叫做二面角的平面角

二面角的平面角

图形

范围ZAOB的范围是_________

状元随笔作二面角的平面角的方法

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方法一（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直

于棱的射线.

如图①，/AOB为二面角a-a邛的平面角.

方法二（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平

面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.

如图②，ZAOB为二面角a-1-0的平面角.

方法三（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作

棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.

如图③，NAFE为二面角A-BC-D的平面角.

2.要点二平面与平面垂直

1.平面与平面垂直

（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是，就说这两

个平面互相垂直.

（2）画法:

记作：________

2.判定定理

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面过另一个平面符号表示：

的_____,那么这两个平面垂

Z

直./UaJ

状元随笔（1）两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况.例如正方体中任

意相邻两个面都是互相垂直的.

（2）两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角

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定义的.

（3）判定定理的关键词是“过另一面的垂线\"，所以应用的关键是在平面内

寻找另一个面的垂线.

3.【基础自测】

1.思考辨析（正确的打“J”，错误的打“x”）

（1）二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直.（）

（2）对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.（）

（3）已知一条直线垂直于某一个平面，则过该直线的任意一个平面与该平面

都垂直.（）

（4）平面a和夕分别过两条互相垂直的直线，则a_L..（）

2.空间四边形A8CO中，若AOLBC,BD1AD,那么有（）

A.平面A8CU平面AOCB.平面ABC_L平面

C.平面A3C,平面OBCD.平面平面。

3.在二面角a-/-夕的棱/上任选一点0,若NA0B是二面角a-/-4的平

面角，则必须具有的条件是（）

A.AO1BO,AOua,BOu8

B.AOll,BOA.I

C.ABLl,AOua,BOu0

D.AO_U,BO11,且AOua,BOuB

4.如图所示，已知%_L矩形ABC。所在的平面，则图中互相垂直的平面

有对.

4.题型1二面角及其平面角的概念

例1［多选题］下列命题正确的是（）

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A.两个相交平面组成的图形叫做二面角

B.异面直线a,匕分别和一个二面角的两个面垂直，则a,。所成的角与这

个二面角的平面角相等或互补

C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的

最小角

D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系

【方放归的】

1.要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致.

2.要注意二面前的平面角与顶点在棱上且前两边分别在二面角面内的前的

联系与区别.

3.可利用实物模型，作图帮助判断.

跟踪训练1若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个

半平面，那么这两个二面角()

A.相等B.互补

C.相等或互补D.关系无法确定

5.题型2求二面角的大小

例2如图，在正方体48。。-49。。中:

(1)求二面角D'-AB-D的大小;

(2)求二面角A'-AB-D的大小.

解决二面角问题的策略

清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选

择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法：一作，即先作出二面角的

平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面

角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”.

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跟踪训练2在四棱锥V-ABC。中，底面ABC。是边长为2的正方形，其

他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角V-AB-C的余弦值的大小为

()

A.涯B.比

34

C.立D.亚

33

6.题型3平面与平面垂直的证明

角度1利用面面垂直的定义证明

例3如图，四面体A-3CO中，△A3C是正三角形，/XAC。是直角三角

形，NABD=NCBD,AB=BD.

证明：平面ACO_L平面ABC

【方法何的】

证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：

(1)找出两相关平面的平面角；

(2)证明这个平面角是直角；

(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直.

角度2利用面面垂直的判定定理证明

例4如图，在四棱锥S-ABC。中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC1

ABCD,E为SA的中点.求证：平面平面A8CD

【方破旧向】

利用判定定理证明面面垂直的一般方法

先从已知条件的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线

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面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来解决.

跟踪训练3如图，三棱柱ABC-A闰C中，侧棱垂直底面，ZACB=90°,

AC=BC=^AA\,。是棱A4i的中点.

证明：平面平面BOC.

7.易错辨析判断面面位置关系时主观臆断

例5如图所示，已知在长方体中，底面ABC。为正方形,

试问截面ACB\与对角面BBiDiD垂直吗？试说明理由.

解析：因为四边形A8CD是正方形，所以AC_L8D,

因为B81，底面ABC。，ACu底面ABC。，

所以ACLBB,又因为反加BBi=8,

所以AC_L平面又因为ACu截面ACB,

所以截面ACBi,平面BBiDiD.

8.易错警示

易错原因纠错心得

判断两个平面垂直，只需说明其中一个平面经过另一个

选错直线D1B1,推导出A1B1与平

平面的垂线即可，判断线面、面面位置关系时，必须给

面ACB1不垂直，得到平面BB1D1D

出严格的推理过程，不能只凭图形直观妄加判断，要全

与平面ACB1不垂直.

面理解垂直关系的实质.

9.【课堂十分钟】

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1.已知Ua,则过/与a垂直的平面()

A.有1个B.有2个

C.有无数个D.不存在

2.从空间一点尸向二面角a-/-4的两个面a,4分别作垂线PE,PF,E,

尸为垂足，若NEPr=30。，则二面角a4的平面角的大小是()

A.30°B.150°

C.30。或150°D.不确定

3.已知在△ABC中，NBAC=90。，尸为平面ABC外一点，且PA=PB=PC,

则平面PBC与平面ABC的位置关系是.

4.在四面体A8CO中，BD=y［2a,AB=AD=CB=CD=AC=a,求证：平

面A8D，平面BCD.

10.答案

10.1.要点一

两个半平面棱面［0。，180。］

10.2.要点二

1.直二面角a邛

2.垂线

10.3.［基础自测］

1.(1)V(2)X(3)V(4)X

2.解析：因为ADLBD,BCClBD=B,

所以AOJ_平面DBC.

又因为AOu平面ADC,

所以平面A£>C_L平面DBC.

故选D.

答案：D

3.解析：由二面角的平面角的定义可知，选D.

答案：D

4.解析：由必_1_矩形A8CD知，平面玄平面ABC。，平面山3,平面

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ABCD；由A3,平面心。知，平面出8,平面%O；由平面818知，平

面P8C，平面R18；由0cL平面布。知，平面POC，平面布。.故题图中互相

垂直的平面有5对.

答案：5

10.4.题型探究•课堂解透

例1解析：由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形

叫做二面角，所以A不对，实质上它共有四个二面角；由a,8分别垂直于两个

面，则。，人都垂直于二面角的棱，故B正确；C中所作的射线不一定垂直于二

面角的棱，故C不对；由定义知D正确.

故选BD.

答案：BD

跟踪训练1解析：如图所示，平面EFDG，平面ABC,当平面HDG绕

OG转动时，平面"OG始终与平面3CO垂直，所以两个二面角的大小关系不确

定，因为二面角"-OG-尸的大小不确定.

故选D.

答案：D

例2解析：⑴在正方体ABCD-AEC。中，AB1,平面A。,所以ABLAD',

ABLAD,因此N0AO为二面角的平面角.在RtA/XDA中，ZD'AD

=45°,所以二面角。-A5-D的大小为45。.

(2)因为AB_L平面AO,所以ABLAA',NAA。为二面角4-A3

-O的平面角.

又因为NANO=90。，所以二面角A—A8-。的大小为90°.

跟踪训练2解析：如图所示，取的中点E,连接VE,过V作底面的

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垂线，垂足为0,连接。£根据题意可知，NVEO是二面角V-AB-C的平面角.因

为0E=l,VE=V32-1=2V2,所以cosN丫七。=四=2=它.故选B.

VE2V24

答案：B

例3证明：由题设可得△A8D也△C8O,从而AO=CD

又因为△ACO是直角三角形，所以NAOC=90。.

如图，取AC的中点。，连接。。，B0,则。OLAC,DO=AO.

又因为△ABC是正三角形，故80LAC,

所以NOOB为二面角O-AC-8的平面角.

在RtAAOB中，BO2+AO2=AB2,

又AB=BD,所以故N£>OB=90。.

所以平面ACD_L平面ABC.

例4证明：如图，连接AC,与BD交于点F,连接EF.

,：F为口ABCD的对角线AC与3。的交点，，E为AC的中点.

TE为SA的中点，为△S4C的中位线，C.EF//SC.

'：SC±平面ABCD,：.EF1,平面ABCD.

又,/EFu平面EBD,：.平面EBD1.平面ABCD.

跟踪训练3证明：由题设知8C_LCC,BC1AC,CCiOAC=C,

平面AC