5.1平面向量的概念及线性运算-高考复习

§5.1平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(√)(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(√)(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(×)(4)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(√)(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(×)题组二教材改编2．[P86例4]已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝________，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.(用a，b表示)答案b－a－a－b解析如图，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－a－b.3．[P108B组T5]在平行四边形ABCD中，若|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，则四边形ABCD的形状为________．答案矩形解析如图，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．题组三易错自纠4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.答案eq\f(1,2)解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq\f(1,2).6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案eq\f(1,2)解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2).题型一平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．答案③解析①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b＝0，则a与c不一定共线；③正确，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故填③.2．判断下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4答案A解析只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例1(2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|答案A解析方法一∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.方法二利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|知，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.命题点2向量的线性运算例2(1)(2019·运城模拟)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(BF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B．－eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)bC．－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b D.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b答案C解析eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b，故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析作出示意图如图所示．eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).故选A.命题点3根据向量线性运算求参数例3在锐角△ABC中，eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(x,y)＝________.答案3解析由题意得eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝3(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))，即4eq\o(AM,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，亦即eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，则x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4).故eq\f(x,y)＝3.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝3eq\o(EA,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(5,12)b B.eq\f(1,3)a－eq\f(13,12)bC．－eq\f(1,3)a－eq\f(5,12)b D．－eq\f(1,3)a＋eq\f(13,12)b答案C解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,12)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a－eq\f(5,12)b，故选C.(2)(2018·威海模拟)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x－y＝________.答案2解析由题意得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋y))eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝1，,\f(x,2)＋y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝－\f(2,3)，))所以x－y＝2.题型三共线定理的应用例4设两个非零向量a与b不共线．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．(1)证明∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共线．又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)解假设ka＋b与a＋kb共线，则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.引申探究1．若将本例(1)中“eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b”改为“eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？解eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，即eq\o(BD,\s\up6(→))＝4a＋(m－3)b.若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→)).即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝λ，,m－3＝λ，))解得m＝7.故当m＝7时，A，B，D三点共线．2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,kλ＝1，))所以k＝±1.又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.故当k＝－1时两向量反向共线．思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．跟踪训练2已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明(1)若m＋n＝1，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，即eq\o(BP,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))共线．又∵eq\o(BP,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))有公共点B，则A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．又eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→)).故有meq\o(OA,\s\up6(→))＋(n－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→))，即(m－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(n＋λ－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.∵O，A，B不共线，∴eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))∴m＋n＝1.

1．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线答案B解析∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))共线，由于eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))有公共点B，因此A，B，D三点共线，故选B.3.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那么eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))答案D解析在△CEF中，有eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)).因为点E为DC的中点，所以eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→)).因为点F为BC上的一个靠近点B的三等分点，所以eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→)).所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故选D.4．(2018·唐山模拟)在△ABC中，点G满足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.若存在点O，使得eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))，则m－n等于()A．2B．－2C．1D．－1答案D解析∵eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))－\o(OB,\s\up6(→))))，可得eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴m＝－eq\f(3,2)，n＝－eq\f(1,2)，m－n＝－1，故选D.5.如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．a－eq\f(1,2)b B.eq\f(1,2)a－bC．a＋eq\f(1,2)b D.eq\f(1,2)a＋b答案D解析连接OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，可得∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，故选D.6.如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为()A.eq\f(9,11) B.eq\f(5,11)C.eq\f(3,11) D.eq\f(2,11)答案B解析注意到N，P，B三点共线，因此eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(6,11)eq\o(AN,\s\up6(→))，从而m＋eq\f(6,11)＝1，所以m＝eq\f(5,11).7．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________.答案2eq\r(3)解析因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).8．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状为________．答案直角三角形解析因为eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，故eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，△ABC为直角三角形．9．若M是△ABC的边BC上的一点，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(MB,\s\up6(→))，设eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ的值为________．答案eq\f(3,4)解析由题设知eq\f(CM,MB)＝3，过M作MN∥AC交AB于N，则eq\f(MN,AC)＝eq\f(BN,BA)＝eq\f(BM,BC)＝eq\f(1,4)，从而eq\f(AN,AB)＝eq\f(3,4)，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(3,4).10．(2019·钦州质检)已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________.答案－4解析因为M，N，P三点共线，所以存在实数k使得eq\o(MN,\s\up6(→))＝keq\o(NP,\s\up6(→))，所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2为平面内两个不共线的向量，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝kλ，,－3＝6k，))解得λ＝－4.11．如图所示，设O是△ABC内部一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OB,\s\up6(→))，求△ABC与△AOC的面积之比．解取AC的中点D，连接OD，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))，∴O是AC边上的中线BD的中点，∴S△ABC＝2S△OAC，∴△ABC与△AOC面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示向量eq\o(AO,\s\up6(→)).解方法一由D，O，C三点共线，可设eq\o(DO,\s\up6(→))＝k1eq\o(DC,\s\up6(→))＝k1(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝k1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a))＝－eq\f(1,2)k1a＋k1b(k1为实数)，同理，可设eq\o(BO,\s\up6(→))＝k2eq\o(BF,\s\up6(→))＝k2(eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b－a))＝－k2a＋eq\f(1,2)k2b(k2为实数)，①又eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)k1a＋k1b))＝－eq\f(1,2)(1＋k1)a＋k1b，②所以由①②，得－k2a＋eq\f(1,2)k2b＝－eq\f(1,2)(1＋k1)a＋k1b，即eq\f(1,2)(1＋k1－2k2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k2－k1))b＝0.又a，b不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)1＋k1－2k2＝0，,\f(1,2)k2－k1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝\f(1,3)，,k2＝\f(2,3).))所以eq\o(BO,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a＋\f(1,3)b))＝eq\f(1,3)(a＋b)．方法二延长AO交BC于点E，O为△ABC的重心，则E为BC的中点，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)．13．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于()A.eq\f(5,8)B.eq\f(1,4)C．1D.eq\f(5,16)答案A解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(e