高中数学新人教A版选修《立体几何中的向量方法》同步练习5 试题

立体几何中的向量方法

说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题

时间120分钟.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代

号填在题后的括号内（每小题5分，共50分.

1.在正三棱柱/戊/45G中，若则48与G6所成的角的大小为（）

A.60°B.90°C.105°D.75°

AB

2.如图，48（第一484〃是正方体，B\E、=D1M,则

4

与的所成角的余弦值是（）

151

A.—B.-

172

8D.也

C.—

172

3.如图，45G—是直三棱柱，/6。=90°,点〃、△分别是45、

4G的中点，若叱0=CG,则能与所成角的余弦值是（）

A.叵1

B.-

102

cV30V15图

C.--------D.----

1510

4.正四棱锥S-ABCD的高S。=2,底边长AB=4i,则异面直线BD和SC之间的距离（)

RV5

4叵D.-------c拽

55

5.改口ABC-ABG是各条棱长均等于〃的正三棱柱，。是侧

棱CG的中点.点Ci到平面4月。的距离（）

A.七B.与

48

D.名

C,迎a

42

6.在棱长为1的正方体ABCO-4BGR中，则平面AB。与平面AG。间的距离（)

.273

A.旦

63

7.在三棱锥产一4%中，ABVBC,AB=BC=LpA,点、0、〃分别是4C、q'的中点，》工底

2

面则直线勿与平面阳。所成角的正弦值（）

AV21D8730V210nV210

636030

8.在直三棱柱ABC—AgG中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90\侧棱AA1=2,

D,E分别是CG与AB的中点，点E在平面/加上的射影是A4B。的重心G.则4避

与平面4©所成角的余弦值（）

A,也V7°6"6

Bn.—C.—D.—

3327

9.正三棱柱ABC-的底面边长为3,侧棱A4D是C8延长线上.•点，且

BD=BC,则二面角与一4。一8的大小（）

TC八万八5乃八2)

A.—B.—C.—D.----

3663

10.正四棱柱ABCD—ABGA中，底面边长为2后，侧棱长为4,E,F分别为棱/昆

CD的中点，EFcBD=G.则三棱锥与一EFR的体积V()

AV6n16616

A.B・-------pC.—nD.]1Ao

633

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.

11.在正方体A3C0-A£CQ中，E为的中点，则异面直线。E和BC；间的距

禺•

12.在棱长为1的正方体ABCD-ABCA中，E、尸分别是4用、CD的中点，求点B到

截面AEQF的距离.

13.已知棱长为1的正方体/反D一/心CD中，E、F分别是5G和CD的中点，点4到平面

D5EF的距离.

14.已知棱长为1的正方体4氏D—48CD中，E是4a的中点，求直线花与平面加CD所

成角的正弦值_________________.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分.

15.（12分）已知棱长为1的正方体力反D-46CDi,求平面与平面4CD所成的二面

角的大小

16.（12分）已知棱长为1的正方体力1D-45CD中,E、F、M分别是4G、4D和凡4上任

一点,求证：平面4EF〃平面81MC.

17.（12分）在四棱锥―/比》中，底面48（力是一直角梯形，/阴庐90°,AD//BC,AB-BOa,

A庐2a,且为J_底面4仍9,必与底面成30°角.

（1）若AELPD,£为垂足，求证：BE1PD；

（2）求异面直线如■与切所成角的余弦值.

18.（12分）已知棱长为1的正方体4G,E、F分别是5）、3D的中点.

（1）求证：E、F、D、6共面；

（2）求点4到平面的加EF的距离；

（3）求直线4D与平面加EF所成的角.

19.（14分）已知正方体48以一48C〃的棱长为2,点£为棱45的中点，求:

（I）。历与平面比他所成角的大小；

（II）二面角〃•—8G—C的大小；

（III）异面直线与BC\之间的距离.

20.（14分）如图5：正方体45CD-4劣CD,过线段反h上一点P（P史平面4c3）作垂直于》蹶平

面分别交过》的三条棱于E、F、G.

（1）求证：平面EFG〃平面/ICB、,并判断三角形类型；

(2)若正方体棱长为a,求AEEG的最大面积，并求此时EF与8c的距离.

参考答案

一、1.B；2.A；3.A；4.C；

分析：建立如图所示的直角坐标系，则

(”1).(6"0)=0rx+y=0

(x,y,l)•(乎，-#,2)=0\x-y+2y/2=0

-X，，n=(->/2,A/2,1).

,y=V2

异面直线BD和SC之间的距离为：

\0C-n\(等孝，

二时=卜"切

|1+1+0|245

J(-何+(后+/5'

5.A；分析:

:A881a为正方形，,又平面ABQ_L平面,4B±fflAB.D,AtB>

平面ABQ的一•个法向量，设点C到平面AB"）的距离为d,则

,，；1例“.（八71八加|

d=

B近a

|XC-4A+AC-AB)||0+axaxcos60°|V2

42a甚=7,

6.6；分析：建立如图所示的直角坐标系，

.人pk.人、+1良-fn-DA=0

设平面4G。的一个法向量"=(x,y,l),则nl「二,，H即n

n-DC,=0

f(x,y,l)(l,0,l)=0fx=-l

1(x,y,1).(0/,1)=0=卜=-1'

,-.n=(-l,-1,1),平面ABtC与平面A£O间的距离

d府臼|(_LO,O)-(-I,-I.I)LA/3

|«|y/(-l)2+(-l)2+l23-

7.D；

WL,,ABCOA=OCAB=BC

OA1OBOA1OPOB±OP.

以的原点，射线为俳负轴，建立空间直角坐标系如图,0-^z（)

设0以生〃尸(0,0,〃).

(I)v的的电点，

Oil=(—-0,—/i,PA-f—~-£j,0,—/i

ODII丽.ODPAB.

（II）­••PA=2a,

设财面所成他角为，0

8.8；解以C为坐标原点，C4所在直线为x轴，C8所在直线为），轴，CG所在直线为Z轴,

建立直角坐标系，

设CA=CB=a，

则A（。,0,0）,B（0,。,0）,4（。,0,2）,D（0,0,1）

呢契G.沾，区吗睛,

BD=（0,—。,1）,

•••点E在平面/加上的射影是AA8O的重心G,

近，平面力加，GE~BD=Q,解得a=2.

112

=雨

GE3-3-3-

GE_L平面/I5D,，GE为平面/加的一个法向量.

4

由cos<GE,BAt>-二一「J----=二

\GE\-\BAiI，6263

A/与平面/加所成的角的余弦值为J.

3

TT

评析因规定直线与平面所成角0G[0,—],两向量所成角«£[0,7t\,所以用此法向量求

TT

出的线面角应满足—al.

2

9./；取用的中点0,连加.由题意平面ABC_L平面BCG4，AO±BC,

：.A。_L平面BCC[B],

以0为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，

则A(0,0,-V3)«B(-,0,0),D(-,0,0),B.(-,-V3,0),

22222

/.AD=(-,0,--V3),而=(3,-3叵0),函=(02图)),

2222

由题意画，平面力施，；.函=(。,36,0)为平面/团的法向量.

2

设平面的法向量为«2=(x,y,z)，

,—•.—x--V3z=0

n_LADn^-AD=0

则222

3x--10

n2.LB}D=0Cy=

即；・不妨设n2=

z-百x

J±

BB、•n21

由cos<BB],几2>=

两I.凡I2

-V3X2

2

得＜BB[,%＞=60°.故所求二面角B,-AD-B的大小为60°.

评析：(1)用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找一

一证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实

质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现

了教育改革的精神.

(2)此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取

区=(—1,—3)时，会算得cos〈函,三＞=」，从而所求二面角为120°,但依题意

222

只为60°.因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角.所以在计算之前不妨先依

题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相

等角”或取等卜角”.

10.C；解以D为坐标原点，建立如图10所示的直

角坐标系，

则B,(2V2,272,4),A(0,0,4),

E(2V2,V2,0),F(V2,2A/2,0),

^£=(272,72,-4),~D^F=(V2,2A/2-4),

病=(272,272,0),图10

D\E・D、F_2412

cos<D[E,D】F>=

I^EIID7IV26-V2613

----*»5

sin<D,E,D,F>=一,

1--------1-------13

所以SAD、EF^-\DE\\DF\-Sin<DE,DF>=-xV26x726x—=5,

2213

设平面的方程为：x+By+Cz+D=0,将点。”瓦/代入得

'4C+0=05=1

<2A/2+V2B+0=0,C=-V2,

4

应+2同+0=0

D=—3人

平面尸的方程为：x+y+1后z-3五=0,其法向量为

n=(1,1,-V2),.♦.点B,到平面D,EF的距离d=⑺.⑴=—,

4Ini5

，VOBjYcFrzD7j=3'S4A3EcFrz。7|M=23x5x更5=33即为所求・

评析(1)在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式

IAx。+By。+Cz+DI

0计算得到.

VA2+B2+C2

(2)法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间

的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等.

11.学分析：设正方体棱长为2,以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

麻=(2,1,0),不=(2,0,2),设RE和BG公垂线段上的向量为7=(1,九〃)，贝")竺=°

n-C{B=0

2+2.=0J/l=-2|Qici-«|4276

.•.«=(1,-2,-1),又配=(0,2,0),所以

2+2〃=0',*[//=-1W5/63

异面直线和BG间的距离为­■

12.如分析：以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

3

则A(1,0,(HF(0,1,(nE

22

一1一1

AE=(0,-,l),A尸=(一1,一,0)；

22

设面AEC.F的法向量为3=(1",〃)，

则有：n-A£=O,n-AF=0,

—2+〃=0

2nA,=2

—14—A=0〃二T

2

.•.n=(l,2,-I),又而=(0,1,0),所以点8到截面AEC尸的距离为兽%=/7==如.

网对1x763

13.1；解：如图建立空间直角坐标系，

—*1----

DB=(1,1,0),DF=(0,1),DA,=(1,0,1)

21

设平面D庞F的法向量为〃=(x,y,z),则有:

即Cx+y=0

rn-5B=0

[nDF=0\—y+z=0

L2

1-*工),则4到平

令x=l,尸―1,z=—,取〃=(1,-1,

22

面D用F的距离h=—同一二1

H

14.--解：如图建立空间直角坐标系，AB=(0,1,0),

5

,---1

AD,=(―1,0,1),AE=(0,—,1)

12

设平面力氏D的法向量为〃=(x,y,z),

A

X

由n-AB=0可解得〃=(1,0,1)

£瓯=0

AE-nVio

设直线力E与平面力5CD所成的角为0,贝ijsin。

AE-n

15.解：如图建立空间直角坐标系，A|G=(-1，1，0)，A出

=(0,1,-1)

设］、区分别是平面4尻।与平面4CD的法向量，

「—►.—►

由3•A|8=0可解得小=(1,1,1)

Y

X.n,I-A,1C.1=0

易知/=(。，1)，

所以平面4反।与平面/WCD所成的二面角大小为arccosN」或71-arccos-V--3-.

33

注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相

反的方向，取的方向不同求

出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际

形态确定其大小.

16.证明：如图建立空间直角坐标系，

则4G=(一1，1，0),B£=(-1,0,-1)

AtD=(1,0,1),BtA=(0,—1,—1)

设A]E=A,AiCitA{F=RA[D，BXM=vBxA(2、〃、

VGR,且均不为0)

设％、n2分别是平面J1EF与平面BMC的法向量,

由n}•A}E=0可得[n[•AAjC,=0即，n]*\=0

-n}tA}F=01%•piAxD—0n]-A}D=0

解得：n\~(1,1,—1)

由「小丽=0可得[n^-vB^A=0即Cn?-^4=0

[n-y-BtC=0[〃，•B]C=0[1.布=0

解得〃2=(-1,1>—1).所以%=—%，%〃%，

所以平面4EF〃平面6MC.

注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用］_L

%=%•%=0来证明.

17.(1)证明：：为，平面4?徵，：.PALAB,又ABLAD.平面为切.又•：AE1PD,

...勿_L平面/必，故BELPD”

(2)解：以4为原点，AB,AD,/0所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C.D

的坐标分别为(a,a,0),(0,2a,0).

平面48G9,NR%是外与底面46缪所成的角，.•./物=30°.

于是，在RtZ\/以中，由/介2a,得/月a.过£作甑！/〃，垂足为凡在RtA/inS'中，由

a61V3

AE=a,N£4六60°,得44一，EF-——a,：.E(0,-a,—a)

2222

―•1V3—•

于是，AE—{0,~Cl},CD~{—a,a,0}

设AE与CO的夹角为夕，则由

AE-CD0C叵

coso=^=~1Z--------------=—

\AE\-\CD\FXV32I;~~Q4

.J()~+(―ci)~+(-.a)~•J(-a)~+a~+0"

AE与必所成角的余弦值为——.

4

评述：第(2)小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的

角是立体儿何中的常见问题和处理手段.

18.解：(1)略.

(2)如图，建立空间直角坐标系D—xyz,

则知8(1,1,0),£(-,l,l),F(0,-,l).

22

设〃=(x,y,z)是平面/的法向量.

由71~DB^I15F,5B=(1,1,0),OF=(o,-,i)

2

n-DB=x+y=0„,x=_y

得,则

-------11

n-DF=-y+z=0

2

,一1

令y=1,得〃=(-1,1,--).

设点4在平面加FE上的射影为H,连结4D,知4D是平面加FE的斜线段.

-----*-13

・・・AD=(-1,0-1),ADn=(-1)(-1)+0x1+(-1)(__)=

22

又'.,I4]01=+。2+(-1)-=V2,ln1=+124-(—―)2——,

_____3

...cos〈丽，丽>=3=旦.

IAQIxl"lV2xl2

2

.'.IA,H1=1AyDIxcos<A^D,AXH>==1.

即点4到平面即FE的距离为1.

(3)由(2)知，411=1,又4D=J5,则△4HD为等腰直角三角形,

NA、DH=ZDAtH=45"

A"_L平面BDFE,，。是儿。在平面B。尸E上的射影,

乙4QH就是直线用。与平面BDFE所成的角，

NA。，=45".

19.解:建立坐标系如图,则A(2,0,0)、8(2,2,0),C(0,2,0),

A(2,0,2),用(2,2,2),2(0,0,2),E(2,l,0),

屏=(2,1,-2),而=(0,2,0),BBt=(0,0,2).

(I)不难证明“为平面比以的法向量，

〃总与平面比;〃所成的角的大小为与-arccos噌(即arcsin叁).

2.9y

(II)而、而分别为平面夕6〃、比9的法向量,

二面角〃一5G—。的大小为arccos^^.

cos丽画:韬哼

〔AC网=26

(Ill)BD〃平面BCD，B业与阳之间的距离为d=

20.（证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF〃“，EG〃劣C,FG〃/为来证明，而我们

借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了.）

（1）分析：要证平面EFG平面JC区，由题设知只要证加।垂直平面/IC8即可.

证明：以D为坐标原点，建立空间直角