数学文化 祖氏数学世家

数学文化（第三节）思考题：求函数的最小值（1）y=|x+1|+|x-1|（2）y=|x-1|+|x-2|+|x-3|（3）y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|

（4）y=|x+10|+|x+9|+|x+8|+

……|x|+|x-1|+|x-2|+……+|x-10|数学思想与方法1.逻辑划分的思想（分类讨论）2.数形结合的思想引申1若a<|x-1|+|x-2|恒成立，求a的取值范围。2若a>|x-1|-|x-2|恒成立，求a的取值范围。二、祖氏数学世家

祖冲之（公元429~500），字文远，祖籍河北省涞源县，南北朝宋、齐时代的一位杰出的数学家、天文学家。他的先世迁入江南，祖父祖昌曾任“大匠卿”,掌管土木建筑，父亲祖朔之学识渊博，也在朝中做官。祖冲之自幼好学，接受家传科学知识，尤喜历算，青年时曾任南徐州（今镇江）从事史，后来回健康（今南京）任公府参军，任娄县（今昆山县东北）县令、谒者仆射、长水校尉等职。

祖冲之父子及其数学思想

公元265年，继秦朝以后中国获得了第二次统一，魏国的司马炎建立了晋朝（西晋）。经济的发展和日益增加的跨地域交往刺激了地理学的发展，并产生地图学家裴秀，他提出了比例尺、方位、距离等基本原则，奠定了中国制图学的理论基础。一些新的风俗习惯随之出现了，如喝茶，还发明了若干新的节约劳动力的工具，如独轮车和水磨。公元283年，道家中的博物学家兼炼丹术士葛洪也出世了。可是，北方的经济区仍面临着多个外来民族入侵的危险，公元317年，晋室被迫迁到长江以南，建都建康（南京），史称东晋，一共延续了一百余年（北方则被分割成了16个小国）。此后南方的晋朝灭亡，相继被4个军人篡权并改国号，即宋（刘宋）、齐、梁、陈，史称南朝，历时约170年，依然设都建康。就在刘宋10年，即公元429年，祖冲之出生在首都建康的一个历法世家。虽然他后来只在徐州做过几次小官，却是中国数学史上第一个名列正史的数学家。

三国两晋南北朝时期，社会动荡不定，人民饱受战乱之苦，许多问题找不到现实的解答，因而极易接受佛教的宣传。封建统治者希望佛教成为麻醉人民的精神鸦片，以巩固自己的统治地位；统治者自身也希望死后进入极乐世界。由于以上原因，佛教在魏晋时期得到广泛传播，并在南北朝时期空前盛行。陈寅恪在《崔浩与寇谦之》一文中提出寇谦之采用释家（天竺）之天算医药之学以改进中国传统道教的观点，颇有道理。中国古代的天文与算数虽然发达，但古代印度在这方面可能还要先进。三国两晋南北朝时期大量天竺人以及深受天竺文化影响的西域人进入中国南北方，给中国带来了丰富的天算医药新知识，这可能对促进祖冲之的学术成就有一定作用。

同佛教有关的建筑和石窟艺术得到迅速发展。随着佛教的传播，佛教寺庙大量兴建，建筑技巧日益高超。例如大同云冈、洛阳龙门等；有的是壁画和塑像，例如敦煌千佛洞等。

“南朝四百八十寺，多少楼台烟雨中”（一）、祖冲之及其成就1.著《缀术》、《大明历》、《重差注》《缀术》是我国极为重要的数学著作。祖冲之父子的数学研究成果汇集于他的《缀术》中。这本书及其高深，以至于“学官莫能究其深奥，是故废而不理”。在隋唐的官学中，《缀术》也被列为必读的十部算经之一，且需学习4年，年限为各经之首。后来，《缀术》渐渐在各国失传了。尽管今天已无从知道《缀术》的具体内容，但从该书在唐代官学中的学习年限及史书中的相关的零星记载，我们仍可以想见其学术价值。

2.关于圆周率的计算圆周率并不是祖冲之发现的,他之前,刘徽就就计算过圆周率.

作为数学家,研究计算圆周率应该是他们的专业方向之一.我国古代数学家对圆周率方面的研究工作，成绩是突出的。秦汉以前,人们以"径一周三"做为圆周率,这就是"古率".后来发现古率误差太大,圆周率应是"圆径一而周三有余",不过究竟余多少,意见不一.

直到三国时期刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术",用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长.刘徽计算到圆内接96边形,求得π=3.14,并指出内接正多边形的边数越多,所求得的π值越精确.南北朝时期的祖冲之在刘徽研究的基础上，将圆周率精确到了小数点后7位，这一成就比欧洲人要早一千多年。祖冲之是和他儿子一起从事这项研究工作的，当时条件很差。他们在一间大屋的地上画了一个直径1丈的大圆。从内接正6边形开始计算，12边形，24边形，48边形的翻翻，一直算到96边形，计算的结果和刘徽的一样。接着，内接边数再逐次翻翻，边数每翻一次，要进行7次加减运算，2次乘方，2次开方，运算的数字都很大，很复杂，在当时的条件下，是十分困难的。祖冲之父子一直把边数算到24576边，得出了圆周率有3.1415926<π<3.1415927，精确到了小数点后7位。

并得出了π分数形式的近似值:如果将π表示成连分数，则其渐进分数为，3/1，22/7，333/106，355/113，……第一项与巴比伦人和《九章算术》里的结果相同，可称3/1作古率，第二项是约率(约3.1428571),，第四项是密率(约3.1415929)，这是分子和分母都不超过1000的分数里最接近π真值的分数。究竟祖冲之用什么方法得出这一结果?现在无从考查.德国数学家奥托在1573年重新得出这个近似分数。当时，欧洲人还不知道在一千多年之前祖冲之就己经算出来了。后来荷兰人安托尼兹也算出这个近似分数，于是欧洲人就把这个称为"密率"的近似分数叫着"安托尼兹率"。日本数学家认为应该恢复其本来面目，肯定祖冲之在圆周率方面研究的贡献，改称"祖率"才对。3.关于球体积的计算

祖冲之在刘微指出的“牟合方盖”与球体积之比才是方与圆的比，从而更正了《九章算术》中关于球体积与外切等高圆柱体体积之比等于圆率与方率之比（π：4）的错误的基础上，进一步努力，与其子祖暅（geng）一起，巧妙地解决了球体积问题。其次是天文上。他编的大明历是当时最科学、最进步的历法，391年内和现在误差不超过50秒，并且用大明历推算了从元嘉十三年（公元436年）到大明三年（公元459年），23年间发生的4次月食时间，结果与实际完全符合。得出木星每84年超辰一次的结论，即定木星公转周期为11.858年（今测为11.862年）。给出了更精确的五星会合周期，其中水星和木星的会合周期也接近现代的数值。提出了用圭表测量正午太阳影长以定冬至时刻的方法。

再次，他设计制造过水碓磨、铜制机件传动的指南车、千里船、定时器等等。此外，他在音律、文学、考据方面也有造诣，他精通音律，擅长下棋，还写有小说《述异记》。是历史上少有的博学多才的人物。

为纪念这位伟大的古代科学家，人们将月球背面的一座环形山命名为“祖冲之环形山”，把小行星1888命名为“祖冲之小行星”。

4.“开差幂”和“开差立”祖冲之还研究过“开差幂”和“开差立”问题，“差幂”一词在刘徽注中已经用过，是面积差，“差立”不见记载，以理推之应是体积差。“开差幂”“开差立”应是由面积差或体积差求有关边长或直径，其中包括与圆、球有关的问题。涉及了二次、三次方程求根的问题，祖冲之在求解中甚至“兼以正负参之”，可见其研究水平之高。5.在天文历法上成就卓著祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现何承天“元嘉年”误差太大而用于改进和修改，于大明六年（462年）终于完成《大明历》，书中首次应用了“岁差”理论，开辟了中国历法史的新纪元。祖冲之以不畏权势的胆识，与戴兴法开展了坚决的斗争，坚持其大胆改革的正确主张，捍卫真理。6.在机械制造上多有贡献还可以说，祖冲之是著名的机械专家。他重造了当时已经失传的了的指南车；创制了利用水力舂米、磨面的水硾磨，是当时世界上先进的粮食加工机械；又制造了历史上有名的能日行百里的“千里船”，在我国造船史上谱写出了引人注目的一页。

另外，祖冲之对音律、文学、考据等方面也有造诣，他还撰写过文学作品《述异记》十卷。祖冲之是历史上少有的博学多才的人物。总之，祖冲之是我国杰出的数学家、天文学家和机械制造家，他不仅受到中国人民的敬仰，同时也受到世界各

国科学界人士的推崇。1960年，前苏联科学家们在研究月球背面的照片以后，用世界上一些最有贡献的科学家的名字来命名那上面的山谷，其中有一座环形山被命名为“祖冲之环形山”。在前苏联莫斯科大学塑有“祖冲之”全身像，作为世界优秀科学家而纪念他。（二）、祖暅及其学术成就祖暅（geng）（5~6世纪），又称祖暅之，著名数学家、天文学家，祖冲之之子，字景烁。从小受家学熏陶，曾在梁朝做过员外散骑侍郎、太府卿、南康太守、材官将军、奉朝请等官职。青年时对数学、天文造诣很深，是祖冲之科学事业的继承人。他的主要贡献有：

1.修补编辑《缀术》

《缀术》实际上由祖氏父子共同创造，可惜现已失传。估计《缀术》的内容主要是与《九章算术》各章有关的问题，也肯能是若干篇天文历法的计算问题，其中包括圆周率的计算和球体积公式推导。2.祖暅原理

《九章算术》少广章李淳风注所引祖暅之“开立圆术”，详细记载了祖氏父子解决球体积的方法。刘徽注释《九章算术》时指出球与外切“牟合方盖”的体积比为(π：4)，但他未能求出牟合方盖的体积。祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体积公式，并提出两立体等高处截面积相等则两体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理，解决了这个问题，给出了球体积的正确公式。这一原理后人称之为“祖暅原理”。西方直至17世纪才被意大利数学家卡瓦列利重新发现，西方称为“卡瓦列利原理”公理

夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。PQ幂势既同，则积不容异祖暅原理类比把夹在两条平行线间的两个平面图形的面积相等的条件，用祖暅原理的形式叙述出来，并根据矩形面积公式，求平行四边形的面积公式。夹在两条平行线间的两个平面图形,被与这两条平行直线平行的直线所截,如果截得的线段总是相等的,那么这两个平面图形的面积相等.hQ1p1p2Q27/1/2024二、几何体的体积柱体的体积结论：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积相等．即底面积为S，高为h的柱体的体积为

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似；并且它们的面积的比等于顶点要截面的距离和已知棱锥的高的平方比。定理：棱锥的体积棱锥体积：探究锥体的体积公式结论1：等底面积等高的两个锥体的体积相等。结论2：三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一。归纳：锥体的体积计算公式：

S为底面面积，h为高。用“祖暅原理”得到球体积公式R

高等于底面半径的旋转体体积对比AOO.2、球的体积B2C2BiCiAO已知球的半径为R问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.球的体积公式球的表面积公式推导球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?从球的体积公式的推导方法,得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式。则球的体积为：OO球的表面积公式推导3.天文学上的贡献

祖暅著《漏刻经》、《天文录》等。前者已失传，后者存有残篇。他曾于504年，509年和510年3次上书建议采用祖冲之的《大明历》，终于被梁武帝钦天监采用颁行，实现了父亲的遗愿。他还亲自监造八尺铜表，测量日影长度，改进了当时通用的计时器---漏壶。三、悖论：“兔子永远追不上乌龟”

乌龟：“你别想抓住我，老朋友。只要你一到我原先所在的地方，我就已经跑到前面一截了，那怕这个距离比头发丝还小”。

乌龟和兔子的赛跑中，兔子速度为乌龟的十倍，所以让