数学建模 2章基本方法教材

第二章基本方法2.1概论2.2几种创造性思维方法2.3问题分析2.4建立模型现实世界数学世界建立数学模型翻译为实际解答始于现实世界并终于现实世界数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁*数学建模没有普遍适用的方法与技巧.

*

数学建模工作与问题的性质、建模的目的以及建模工作者自身的数学基础知识和专长有关.*有一些普遍适用的思想方法与思维方式.

整个数学建模过程由若干个有明显差别的阶段性工作组成

怎样构架这座桥梁？求解数学模型

实际问题分析建立数学模型提交论文与报告

模型与模型解的分析及检验

2.2几种创造性思维方法

数学建模过程是一种创新过程，在思考方法和思维方式上与学习其他课程有很大差别.数学创新思维…….等等.要注意培养和训练自己的创新思维类比思维归纳思维逆向思维发散思维猜测思维

问题解决法、思想表达法、创造发明法等方法对于创造能力的培养不可或缺.方法的共同特点：

不轻易否定别人的意见，怀疑一般常识，努力发现别人尚未察觉的事物等介绍几种（个体和集体的）创造性思维方法

一、集体思考法（BrainStorming，简称BS法）类似于现代科研工作，数学建模活动是群体的合作活动.*现行的传统教育模式使学生,善于独立思考，却拙于交流、与人合作.

*数学建模是一种集体创新过程,需要一种集体创新思维方式.集体思考法是一种较好的集体创新思维方式。*在合作过程中相互理解、相互协调、相互交流、从而集思广益。

为使合作者互相启发，互相学习，发挥特长要求有良好合作的要素：需要、提倡、避免需要：相互尊重、平等相待；

提倡：积极思考、奋力拼搏、学会倾听、勇于争辩、懂得妥协；避免：武断评价、回避责任、孤高自傲、丧失信心.突破问题的灵感与思想的火花往往产生于激烈的争论之中

二、发散性思维方法发散性思维和猜测思维是创造性思维方式的重要组成部分

面对新问题，应尽量打开自己的思路：

1.不要有一点想法,就轻易沿一条思路深入，不要轻易做出结论.

2.

尽量多一些想法，多一些猜测，对问题反复思考、思考、再思考.帮助展开思路的方法：

关键词联想法提问题法1.提问题法：借助于一系列问题来展开思路

面临难题,束手无策时通过提出一系列问题来导出一些想法或一个好的方案.如：

（l）这个问题和什么问题相类似？（2）假如变动问题的某些条件将会怎样？(4)重新组合又会怎样？(3)将问题分解成若干部分再考虑会怎样？为进一步打开思路可提以下问题：

(7)可否换一种数学工具来解决此问题？(5)我们还可以做什么工作？(6)有无需要进一步完善的内容？针对问题和初始方案可以先设计出类似的问题清单，然后反复展开.

例1穿越公路模型一条公路交通不太拥挤,以致人们养成“冲”过马路的习惯,不愿行走到邻近较远处的“斑马线”.当地交通管理部门不允许任意横穿公路,为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”,让行人可穿越公路,并且还要保证行人的平均等待时间不超过15秒.增设“斑马线”需考虑哪些方面的问题？1.考虑问题的立场,司机或行人的哪方面的利益更为重要？公路情况:是否有弯道？车道间是否设有安全隔离带？……3.车流情况：车流的密度大小？4.行人情况:穿越公路的速度大小？穿越公路的人群密度？

问题分析

此问题的特点是机理复杂,受到较多随机因素的影响,可采用统计模拟方法加以解决.一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各种措施促进销售，比如不惜血本大做广告等等.他们都希望对这种新产品的推销速度做到心中有数,厂家用于组织生产，商家便于安排进货.例2新产品销售模型怎样建立一个数学模型描述新产品(电饭煲)推销速度，并由此分析出一些有用的结果以指导生产.想一想此问题与我们遇到的哪一个建模问题相类似？重新分析Logistic人口模型，t

时刻的人口数为t≥0

Logistic模型特点：初期高速增长，过一个特定时间点后增长速度减缓，且有上界控制.对原问题的分析：（1）一般每户只需用1～2只电饭煲就足够,一个地区的需求量是有限的；（2）初期在广告之类推销作用下销售速度较快,商品趋于饱和时销售速度会减缓.电饭煲的销售情况类似于人口增长情况,可利用类比方法建立模型.记x(t)为t时刻已售出的电饭煲总数,市场的饱和量(最大需求量)为M,利用Logistic模型来描述电饭煲的销售速度变化情况.实际情况与Logistic销售曲线十分吻合

思考请考虑现实中哪些变量的变化可用

Logistic模型进行描述？例3：“9.11”事件的反思现代化都市里大楼林立,这些拔地而起的摩天大楼安全性不容忽视,我们经常耳闻目睹大楼内发生意外情况,造成令人震惊的人员伤亡和财产损失.大楼内居住人员的安全保障在于无论发生什么情况,都能使人员有组织,有秩序地进行疏散撤离.一座大楼的管委会想进行一次紧急疏散人员的演习.问题分析演习之前需要考虑许多方面,如大楼内的设施、人员的分布情况、撤离路线的设计、撤离的步骤等等，这是一个较庞大的系统工程.应考虑将此问题分解成为若干个子问题，如*一个房间内人员的撤离；*一个通道的撤离；*一层楼人员的撤离；……然后，再将各个子问题重新组合起来2.关键词联想法一种有效的发散思维方式

主要步骤如下：

(1)抓住问题或方案的关键词,不受任何约束地进行联想；

(2)把联想到的内容用关键词的方式登记在卡片上,进一步激发产生新的想法,进一步想出新的主意；

(3)再把积攒的卡片相互搭配,形成解决问题的初步思路与步骤.例4

一个飞行管理模型在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行.区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘,记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞,则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰撞.现假定条件如下：……请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度).要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小.记录数据为：……

试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广.*对问题仔细阅读,首先抓住题目中的关键词“管理”进行联想.

*抓住诸如“碰撞”、“调整”、“避免碰撞”、“立即”、“判断”等等词语.

*联系到解决问题的方案,不加约束继续联想，再将关键词搭配起来.

立即判断

碰撞

条件

实时

算法

避免碰撞

调整方向角

实时

幅度尽量小

相对距离优化问题优化算法优化调整方案问题的初步理解和想法：三、

从整体上把握问题的方法有两种把握住问题的全貌的有效方法：

(1)层次结构法

(2)问题分解法

飞行管理问题是优化问题,在调整方向角的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案及算法的实时性.着眼点是对各类推销队伍的工作效果进行分析

原问题“推销员人数问题”明确为：(1)不同规模的销售队伍会有什么影响；

(2)怎样从他们的销售工作中获取最大的收益.

明确了工作的目标,即设置好问题的目标态.

1.

公司的规模有多大？

2.

该公司的推销员的工作方式？

例1

一家大商业印刷公司的经理就关于应该雇多少推销员的问题征询你的意见.

(1)层次结构法

推销员人数获取最大收益顾客地域分析确定出各有关因素,画出问题的层次结构图

顾客容量

市场份额

现有定货量潜在

转移概率

转变概率

现有潜在问题分解三要素

初态

目标态

过程

觉察到的现在状态(目前“有什么”，如条件、数据等).

觉察到的希望目标(想要什么、希望达到什么等).

能在“初态”和“目标态”之间发生作用的行动(能做什么).

（2）问题分解法：是一种简单而有效的把握问题整体的方法.

常见数学题目模式

已知求（证）解题初态目标态过程教师的主要教学目标

*解决实际问题时，分析出问题的初态和目标态很困难.

*未清晰地描述出问题的“初态”和“目标态”之前，过早地进入解决问题的阶段，会条件不清、目标不明.

尽量拓展思路的基础上,再进行充分分析得到的问题分解结果：例2．飞行管理问题

初态：现有飞机的飞行状态（数据）与碰撞条件

过程：建立碰撞的判别准则,优化管理方案及相应算法.

目标态：实时调整，避免碰撞。2.3问题分析问题的前期分析

包括：明确问题、分析条件、分析数据

为什么问题前期分析至关重要？数学建模问题往往含混不清,可能的原因有:*提出问题的人未能清楚地表述问题.*各领域的应用者提问题时,未给出恰当的条件.*未能准确理解问题.对问题进行充分的前期分析以前,过早着手解决问题,往往会陷入一些意想不到的陷阱,或者偏离解决问题的方向.一.明确问题例2.3.1

一家大商业印刷公司的经理就关于应该雇多少推销员的问题征询你的意见.

“究竟需要做什么？”

遇到一个新问题时,首先应问自己*这些情况反而为建模人提供了机遇和挑战！着眼点是对各类推销队伍的工作效果进行分析

原问题“推销员人数问题”明确为：(1)不同规模的销售队伍会有什么影响；

(2)怎样从他们的销售工作中获取最大的收益.

明确了工作的目标,即设置好问题的目标态.

为明确问题

,可向有关人员询问如下问题：1.

公司的规模有多大？

2.

该公司的推销员的工作方式？

推销员人数获取最大收益顾客地域分析确定出各有关因素,画出问题的层次结构图

顾客容量

市场份额

现有定货量潜在

转移概率

转变概率

现有潜在二.条件及数据分析

设置好问题的目标态,还需要做以下工作：1.

收集必要的资料和数据。

2.

分析现有的数据和条件,使问题进一步明确化.

例2.3.2节水洗衣机（96年B题）我国淡水资源有限.节约用水人人有责,洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣机已非常普及,节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水—漂洗—脱水—加水—漂洗—脱水—…—加水—漂洗—脱水(称“加水—漂洗—脱水”为运行一轮).请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加水量等),使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少.选用合理的数据进行运算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果出评价.*衣服的洗净效果指标(包括污物和残留洗涤剂)；

*不同质地衣物的脱水率或衣物的含水量C；

*洗衣机的最高水位H、最低水位L；

*各类污物(泥土、油腻等)和洗涤剂在水中的溶解特性。

怎样收集数据和资料？

分析：题目中没有一个数据,但问题却需要比较多的数据及条件,如

可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、通过试验来得到。

收集数据应列入工作计划，并注意：

1.

向有关人员调查情况应事先设计好问题；

2.

事先确定所需资料清单、资料来源、收集方式。有条理地收集计划可以为后期的工作创造良好的条件

2.4建立数学模型数学模型的建立与建模目的密切相关几类常见建模目的:

1.

描述或解释现实世界的各类现象

(常采用机理分析的方法,探索研究对象的内在规律性)；

2.

预测感兴趣的事件是否会发生,或者事物的发展趋势.

(常采用数理统计或模拟的方法)；需合理地定义可量化的评价指标及评价方法.

建模过程中的几个要点模型的整体设计合理的假设建立数学表达式建立数学结构3.

优化管理、决策或者控制

事物时刻牢记建模目的完整的数学模型应该同时描述出有关因素之间的数量关系和结构关系

应清楚变量、变量之间的数学表达式在整个模型中的地位和作用.

例2.4.1

考虑一个简化的城镇供水系统,水是由水库经由管道流入水箱,再由水箱向各用户供水.问题怎样才能有效地保障各用户的正常用水？一.模型的整体设计按下述步骤对模型进行整体设计

1.

分析系统的组成部分（研究对象、实体）

相关实体有：水库,管道,水箱和用户.

*

实体间的结构关系可表示如下：

水库管道水箱用户*

以上各实体都可能是我们的研究对象.

*应分析相对于各个实体的因素对供水的影响2.

分析各实体之间的关系,找出联系各实体的变量.实体之间的作用关系图

各实体之间的关系

管道与水箱：管道的水流量水库与管道：水库的水深水箱与用户：出水口的水流量（或有效水深）用户：总用水量

3.

根据各实体的相互关系，提炼整理需考虑的变量以及变量之的关系表达式.

假设“水库能保证管道所需的水流量”，现需考虑t时刻以下变量：

*

总需水量D(t)；*

水箱的有效储水量Q(t)及QM

；

或流出水流量F(t)及FM；*

管道能提供的供水量G(t)及GM.分析各变量的特征：*D(t)不可控，但可以对其进行描述；*G(t)是可控变量.4.

用数学语言描述要解决的问题

选择适当的函数G(t)，使得有

Q(t)=G(t)－F(t),F(t)=D(t),

0＜G(t)＜GM，0＜Q(t)＜QM，同时成立.建模工作的整体设计:

1)确定需求函数D(t),是保证有效控制的基础；2)制定恰当的评价指标，以评价方案的优劣；

3)求出相对于评价指标最优的水箱供水方案；

4)分析各种参数对方案的影响；

5)分析随机因素的影响.

模型整体设计的作用

1)可将整个建模过程分解为一些可串行或并行的子任务。

2)可把握住工作的重点、要点和难点.

做出模型的整体设计后,着手建立模型之前，撰写一份工作提纲.

建议:二.做出假设

根据对象的特征和建模的目的对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，是建模的关键步骤。合理假设的作用

简化问题

明确问题

限定模型的适用范围

一个实际问题不经过简化假设,很难抽象转化为数学问题。例2.4.2飞行管理问题中有叙述:“对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）”如何理解？通过假设：

*所给飞行方向角数据的误差不超过0.01度.

或*数据的运算结果误差限控制为0.01度.

使问题完全明确.

例2.4.3渔业管理问题中关于“季节性集中产卵繁殖”,如何理解“产卵孵化期是一年的最后四个月”？有以下几种假设:

*产卵是均匀地分布在整个四个月的期间内，从而孵化也是均匀进行.

*产卵时间服从方差很小的正态分布.

*鱼群的个体在后四个月的第一天集中产卵,在最后一天孵化出来.

哪一条“最好”？第三种与第二种没有本质的差别，处理较容易.分析：

第一种不符合鱼类的生物学实际；第二种比较符合实际，但大大增加了解决问题的难度；假设起到简化问题的作用

假设“渔场是非开放式的,不与其它水域发生关系，从而构成独立的生态群落”

设计假设应遵循的原则

*假设应是有依据的,基于对问题内在规律的认识和对数据及现象的分析；

*善于辨别问题的主次，抓主要因素，尽量使问题简化.

*避免过于简单、过于详细或不合理.

将建立的数学模型限定在一定的适用范围.

例2.4.4

渔业管理问题中有条件：“平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105个,3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵”.分析:为了计算鱼群的产卵量，需明确此条件.

有两种假设：*雌雄鱼的比例是1:1；

*“平均每条鱼的产卵量”理解为对所有鱼的平均,故在计算总产卵量时,不考虑雌雄区别.哪一种较为合理？可假设：

*每到次年初，头一年的1、2、3

龄鱼均增1岁，将5龄鱼归并为4龄鱼.问题：当年的4龄鱼,第二年如何处理？

合理性解释：事实上，资料表明此种鱼的寿命一般为3年，另一方面经过捕捞后4龄鱼的数量很少，可以忽略不计.

对于假设：*有时需要对假设以及假设的推论进行检验；*应意识到隐含的假设.三.

现实问题与数学表达式绘图法表格法数学解析式建立变量间的关系是建立数学模型的一项重点工作

三种形式可以相互转换

翻译能力：将变量间关系的中文语言描述转化为教学表达式

例2.4.5

突然间下了20分钟雨，收集到1/2英寸(约1.27厘米)的雨量。现要建立一个函数R(t),用来描述降雨量随时间变化的规律.

用中文语言描述数量现象往往是含混的.许多可能的选择,譬如：

（1）假设雨连续稳定地下落.可理解成降雨保持恒定速度，即,0≤t≤20

(2)降雨开始较慢,中间逐渐地加快,达到最大速度后又减小.

若假设降雨速度先线性增长后又线性减小,得

线性降雨模型：

或考虑另一个降雨模型：

模型中有两个待定参数a和b.

2.5求解数学模型求数学模型的解重要而困难求解纯数学问题求解数学模型*涉及不同数学分支的知识，同时还需借助背景知识.

*针对现实问题建立的数学模型,往往仅可求数值解.

*有类问题可采用分析法得到问题的实际解答(如微分方程定性分析).

例2.5.1．稳定的椅子问题：

将一张四条腿一样长的椅子放在不平的地面上,问是否总能设法使它的四条腿同时着地？一、问题分析（1）椅子有四条腿，且每条椅腿长度相同，四个椅腿的连线呈正方形，每个椅腿与地面的接触处视为一个点，这样，可以描述为：寻求四个点均在同一平面的方法。（2）椅子所处的地面虽不绝对平坦，但其高度应是连续变化的，沿任何方向都不存在有间断层面现象，这样，地面就可以视为一个连续曲面，不会出现台阶式的地面，在这样的地面上，椅子总能保证至少有三条腿着地。

以正方形的中心为坐标原点，两条对角线分别为x轴，y轴，当正方形绕着中心旋转时，正好表示椅子所处的位置，因而可以用旋转角度来表示椅子在某一时刻的位置。

BB’A’CθA

C’DD’（3）用变量表示椅子的位置（4）用数学方法表示椅脚着地

当某个椅脚与地面之间的垂直距离为零时，表示椅脚着地，因而可以用某个变量来表示椅脚与地面之间的垂直距离，而这个距离大小的不同就说明椅子在时刻t所处的位置，因而这个距离实质上是旋转角度的函数。由于正方形的中心对称性，只需设两个距离函数即可。二、假设及符号：*1

地面为一个连续曲面，在Oxyz坐标系中，设地面z=z(x,y)。*2

相对于地面的弯曲程度,方桌的腿足够长.*3

将与地面的接触看成几何上的点接触.*4

假设桌子绕中心O点旋转，转动角度记为θ.*5引进函数变量：f(θ)—A、C两腿到地面的距离之和；g(θ)—B、D两腿到地面的距离之和；且f(θ)、g(θ)都是连续函数。三、建立模型：进一步分析：对任意的θ、f(θ)、g(θ)中至少有一个为0（即有两条腿同时着地），且至少有三条腿总能同时着地，故有f(θ)g(θ)=0，θ∈[0，2π]

不妨设

f(0)=0、g(0)＞0

，椅子问题归结为以下数学问题：

已知

f(θ)和

g(θ)都是连续函数；f(0)=0、g(0)＞0，且对任意θ，都有

f(θ)g(θ)=0，求证：存在θ0，使得f(θ0)=g(θ0)=0.

四、模型求解：当θ=π/2时,即AC和BD互换位置,

故有

f(π/2)＞0，g(π/2)=0令

h(θ)=f(θ)－g(θ)，则有h(0)＜0，h(π/2)＞0，因h(θ)在[0,π/2]上连续，根据闭区间上连续函数的介值定理，存在θ0∈[0,π/2]，使f(θ0)=g(θ0)因对任意θ有,f(θ)g(θ)=0

f(θ0)g(θ0)=0f(θ0)=g(θ0)=0h(θ0)=f(θ0)－g(θ0)=0

结论对于四条腿等长,四脚呈正方形的椅子,在光滑地面上做原地旋转,在不大于π/2的角度内，必能放平.延伸：四脚着地点呈任意矩形的椅子会怎样？模型求解需要一定的技巧

例子中的建模及求解技巧：

1.用一元变量表示位置；2.用θ的函数表示距离；3.利用问题的背景条件来求解.建立坐标一.近似求解

1.减少模型中变量个数初建立的模型往往包含许多变量，一些变量对最终结果的影响会大于其他变量的影响；减少模型中变量个数,简化模型,便于求解

比较变量的数量级,估计变量在模型中的作用与地位.用记号

x～O(1